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\input exos

\fiche{Fiche d'exercices}


\ex Applications antisymétriques
Soit $E$ un ev euclidien orienté de dimension 3, $𝓑$ une base orthonormée
directe de $E$ et $f ∈ 𝓛(E)$ de matrice dans $𝓑$ :
$M = \mat( 0 &-γ &β  \cr
           γ &0  &-α \cr
          -β &α  &0  \cr)$.

\qq Reconaître $f$.
    \reponse{$f(x) = u∧x$ avec $u = (α,β,γ)$.}
\qq Montrer que $\id_E + f$ est une bijection et calculer la bijection
    réciproque.
    \reponse{$y = \dfrac{x + (u│x)u-u∧x}{1+∥u∥²}$.}
\qq Montrer que $g = (\id - f)∘(\id + f)^{-1}$ est une rotation et
    préciser son axe et son angle.
    \reponse{axe dirigé par $u$,
             $\cos\theta = \dfrac{1-∥u∥²}{1+∥u∥²}$,
             $\sin\theta = \dfrac{-2∥u∥}{1+∥u∥²}$.}

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\ex Homographies

Pour $M = \mat(a&b\cr c&d) ∈ GL₂(ℝ)$, on note
$\application {f_M} {ℝ ∪ ⦃∞⦄} {ℝ ∪ ⦃∞⦄} x {\dfrac {ax+b}{cx+d}.}$

Montrer que $M ↦ f_M$ est un morphisme de groupes de $GL₂(ℝ)$ dans
$𝓢_{ℝ ∪ ⦃∞⦄}$. Quel est son noyau ?

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\ex Calcul de limite

Chercher $\lim_{x→0⁺}\left(\displaystyle
∫_{t=x}^{2x}\dfrac{\cos t\,\ln(1+t²)}{\sin²t\,\sh t}\,𝕕t\right)$.

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\bye
