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\input exos

\fiche{Fiche d'exercices}

\ex $f(x+y)f(x-y) \le f^2(x)$

Soit $f:ℝ→ℝ$ de classe $𝓒^2$ telle que :
$\forall\ x,y \in ℝ,\ f(x+y)f(x-y) \le f^2(x)$.

Montrer que : $\forall\ t \in ℝ,\ f(t)f''(t) \le f'^2(t)$.


\ex lignes trigonométriques algébriques

                               %+-------+
                               %|  π/8  |
                               %+-------+
\qq calculer $\cos\fracπ8$, $\sin\fracπ8$ et $\tan\fracπ8$.
\reponse{%
$\fracπ8 = \fracπ{2×4}  ⇒
 \cos\fracπ8 = \frac{√{2+√2}}2$,
$\sin\fracπ8 = \frac{√{2-√2}}2$,
$\tan\fracπ8 = √2 -1$.}


                               %+--------+
                               %|  π/12  |
                               %+--------+
\qq calculer $\cos\fracπ{12}$, $\sin\fracπ{12}$ et $\tan\fracπ{12}$.
\reponse{%
$\fracπ{12} = \fracπ3 - \fracπ4 ⇒
 \cos\fracπ{12} = \frac{√6+√2}4$,
$\sin\fracπ{12} = \frac{√6-√2}4$,
$\tan\fracπ{12} = 2-√3$.}


                               %+-------+
                               %|  π/5  |
                               %+-------+
\qq calculer $\cos\fracπ5$, $\sin\fracπ5$, $\cos\frac{2π}5$ et
    $\sin\frac{2π}5$.
\reponse{%
$\cos\frac{2π}5 + \cos\frac{3π}5 = 0 ⇒
\left⦃\matrix{
 \cos\fracπ5 = \frac{√5+1}4,
&\sin\fracπ5 = \frac{√{10-2√5}}4.     \cr\noalign{\vskip 2mm}
 \cos\frac{2π}5 = \frac{√5-1}4,
&\sin\frac{2π}5 = \frac{√{10+2√5}}4.  \cr}\right.$}


                               %+--------+
                               %|  π/14  |
                               %+--------+

\qq Montrer que
$\sin\fracπ{14} \sin\frac{3π}{14} \sin\frac {5π}{14} = \frac 18$
(on pourra multiplier les deux membres par $\cos\fracπ{14}$).

\ex Supplémentaire commun, X MP$^*$ 2005

\qq Soit $A = ⦃P∈ℝ[X]$ tq $P=(1-X)Q(X²)$ avec $Q∈ℝ[X]⦄$.
    \sq Montrer que $A$ est un $ℝ$-ev et que l'on a
        $ℝ[X] = A ⊕ ⦃$polynômes pairs$⦄$.

        A-t-on $ℝ[X] = A ⊕ ⦃$polynômes impairs$⦄$~?
        \reponse{Soit $P∈ℝ[X]$ que l'on décompose en $P=P₁(X²) + XP₂(X²)$ .

                 Alors $P = (P₁+P₂)(X²)-(1-X)P₂(X²) = (1-X)P₁(X²)+X(P₁+P₂)(X²)$,
                 ce qui prouve que les deux sommes sont égales à $ℝ[X]$.
                 Le caractère direct est immédiat.}

    \sq Que peut-on dire si l'on remplace $Q(X²)$ par une fonction $f$ paire~?
        \reponse{Cela ne change pas~$A$~: les éléments de~$A$ sont ceux dont
                 les parties paire et impaire sont opposées (au facteur $X$
                 près), indépendament du fait (vrai) que ces parties sont
                 des polynômes.}

\qq Soient $E₁,E₂$ deux sev d'un ev~$E$ tels que $E₁$ et $E₂$ sont isomorphes
    et $E = E₁ ⊕ E₂$. Montrer que $E₁$ et $E₂$ ont un supplémentaire commun.
    \reponse{Soit $f$ un isomorphisme de $E₁$ sur $E₂$ et $F = ⦃x - f(x)$ tq
             $x∈E₁ ⦄$. Alors $E = E₁⊕F = E₂⊕F$.}

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\ex Équations à coefficients entiers
Soient $a,b,c$ trois entiers relatifs. On considère l'équation : $ax+by=c$,
dont on recherche les solutions dans $ℤ²$.

\qq Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que cette équation
    admette une solution.
\qq Soit $(x₀,y₀)$ une solution du problème de Bézout : $ax₀ + by₀ = d$.
    Déterminer toutes les solutions de $ax + by = c$ en fonction de $a$, $b$,
    $c$, $d$, $x₀$ et $y₀$.
\qq Résoudre dans $ℤ²$ : $2520x - 3960y = 6480$.
    \reponse{$x=1+11k$, $y=-1+7k$.}

%---------------------------------------------------------------
\ex Série des restes

\qq Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $⅀|u_n|$ et $⅀n|u_n|$ convergent.
    On note $v_n = ⅀_{k=n}^∞ u_k$.

    \sq Montrer que $nv_n ⟶_{n→∞} 0$.
    \sq Montrer que $⅀_{n=1}^∞ v_n = ⅀_{n=1}^∞ nu_n$.

\qq Application : Calculer lorsque c'est possible : $⅀_{k=1}^∞ kr^k$.
    \reponse{$\dfrac r{(1-r)²}$.}

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\ex Sous-groupes de $ℝ$
Soit $H$ un sous-groupe additif de $ℝ$, $H ≠ ⦃0⦄$.
On pose $H^{+*} = H∩ℝ^{+*}$, et $α = \inf(H^{+*})$.

\qq Si $α∈H^{+*}$, montrer que $H = αℤ$.
\qq Si $α∉H^{+*}$, montrer que $α = 0$ et en déduire que $H$
    est dense dans $ℝ$.


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\ex ${\bin{2n}n}/{n4ⁿ}$

L'une au moins des deux séries : $⅀\dfrac{\bin{2n}n}{n4ⁿ}$ et
$⅀\dfrac{n4ⁿ}{\bin{2n}n}$ diverge. Dire pourquoi et dire laquelle.


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\ex Logarithme et exponentielle
\lineskip=1mm\lineskiplimit=\lineskip

\qq $\dfrac 1x\ln\Bigl(\dfrac {e^x-1}x \Bigr)                  ⟶_{x→0}\dfrac 12$.
\qq $\dfrac {x^x-1}{\ln x - x + 1}                             ⟶_{x→1}\pm\infty$.
\qq $\dfrac {x^a - a^x}{\log_a(x) - \log_x(a)}                 ⟶_{x→a}\dfrac{a^{a+1}\ln a(1-\ln a)}2$.
\qq $\left(\dfrac{a^x+b^x}{1+c^x}\right)^{1/x}                 ⟶_{x→0}\exp\left(\dfrac{a+b-c}2\right)$.
\qq $\dfrac{x^{x^x}}{x^x-1}                                    ⟶_{x→0⁺}0$.

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\ex DL de $(\ch x)^{1/x}$

\qq Montrer que $\dfrac1x\ln(\ch x)$ admet en $+\infty$ un développement limité
    généralisé à tout ordre.
\qq En déduire le développement limité de $(\ch x)^{1/x}$ en $+\infty$ à
    un ordre $n$ quelconque.
    \reponse{$e\left(1 - \dfrac{\ln2}x + \dfrac{\ln^22}{2!\,x^2} - \dots
                       + (-1)^n\dfrac{\ln^n2}{n!\,x^n}\right)
                       + o (x^{-n})$.}

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\ex lignes trigonométriques algébriques

                               %+-------+
                               %|  π/8  |
                               %+-------+
\qq calculer $\cos\fracπ8$, $\sin\fracπ8$ et $\tan\fracπ8$.
\reponse{%
$\fracπ8 = \fracπ{2×4}  ⇒
 \cos\fracπ8 = \frac{√{2+√2}}2$,
$\sin\fracπ8 = \frac{√{2-√2}}2$,
$\tan\fracπ8 = √2 -1$.}


                               %+--------+
                               %|  π/12  |
                               %+--------+
\qq calculer $\cos\fracπ{12}$, $\sin\fracπ{12}$ et $\tan\fracπ{12}$.
\reponse{%
$\fracπ{12} = \fracπ3 - \fracπ4 ⇒
 \cos\fracπ{12} = \frac{√6+√2}4$,
$\sin\fracπ{12} = \frac{√6-√2}4$,
$\tan\fracπ{12} = 2-√3$.}


                               %+-------+
                               %|  π/5  |
                               %+-------+
\qq calculer $\cos\fracπ5$, $\sin\fracπ5$, $\cos\frac{2π}5$ et
    $\sin\frac{2π}5$.
\reponse{%
$\cos\frac{2π}5 + \cos\frac{3π}5 = 0 ⇒
\left⦃\matrix{
 \cos\fracπ5 = \frac{√5+1}4,
&\sin\fracπ5 = \frac{√{10-2√5}}4.     \cr\noalign{\vskip 2mm}
 \cos\frac{2π}5 = \frac{√5-1}4,
&\sin\frac{2π}5 = \frac{√{10+2√5}}4.  \cr}\right.$}


                               %+--------+
                               %|  π/14  |
                               %+--------+

\qq Montrer que
$\sin\fracπ{14} \sin\frac{3π}{14} \sin\frac {5π}{14} = \frac 18$
(on pourra multiplier les deux membres par $\cos\fracπ{14}$).

\ex Ensae MP$^*$ 2000
Soit $q$ une forme quadratique non nulle sur $𝓜_2(ℂ)$ telle que
$q(AB)=q(A) q(B)$. Déterminer $q$.
\reponse{Soit $(E_{ij})$ la base canonique de~$𝓜_2(ℂ)$~:
$E_{12}²=0$ donc $q(E_{12}) = 0$ et si $A$ est une matrice quelconque
de rang~$1$, $A$ est équivalente à~$E_{12}$ d'où $q(A) = 0$.
Si $A=0$ on a aussi $q(A)=0$ et si $A$ est inversible alors toute matrice
est multiple de~$A$ donc $q(A)≠0$, en particulier $q(I)=1$
car $q²(I)=q(I)$. On en déduit $q(A) = 0 ⇔ \det(A)=0$.
\medskip
Pour $A$ quelconque, les applications~: $z↦\det(A-zI)$ et $z↦q(A-zI)$
sont polynomiales de degré~$2$, avec le même coefficient de~$z²$
et les mêmes racines, donc sont égales d'où $q=\det$.
\medskip
Rmq~: le même raisonnement est applicable sur un corps quelconque en se limitant
aux matrices triangulaires, et toute matrice est produit de triangulaires
(algorithme du pivot de Gauss).}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Vrai ou faux~?
    Dire si chaque affirmation est vraie (alors la prouver)
    ou fausse (donner un contre-exemple)~:
\qq Si $Ω$ est un univers et $A,B⊂Ω$ alors
    $⦃∅,Ω,A,\overline A,B,\overline B⦄$ est une tribu sur~$Ω$.
    \reponse{faux, ne contient par $A∪B$.}
\qq Si $Ω=⦃1,2,3,4⦄$, la tribu engendrée par~$⦃1⦄,⦃1,2⦄,⦃2,3⦄$
    est égale à~$𝓟(Ω)$.
    \reponse{Vrai, elle contient tous les singletons.}
\qq Si $ℙ(A)+ℙ(B)=1$ alors $B = \overline A$.
    \reponse{Faux, prendre $A=B$ de probabilité $\frac12$.}
\qq Si $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants alors $ℙ(A∪B)=ℙ(A)+ℙ(B)$.
    \reponse{Faux lorsque $ℙ(A)ℙ(B)>0$.}
\qq Si $ℙ(A∪B)=ℙ(A)+ℙ(B)$ alors $A$ et $B$ sont incompatibles.
    \reponse{Faux, $A∩B$ est négligeable.}
\qq Si $(A_k)_{k∈ℕ}$ est un système complet d'évènements de probabilités non
    nulles alors pour tout évènement $A$ la série $⅀_{k∈ℕ}ℙ(A│A_k)$ est
    convergente.
    \reponse{Faux, prendre $A=Ω$.}


%---------- Tribu sur~$ℕ$
\ex Ordre d'un élément

\qq Soient $G$ et $G'$ deux groupes et $f$ un morphisme de $G$ dans $G'$.
    Pour $a∈G$, comparer l'ordre de $a$ et celui de $f(a)$.
\qq Soient $a,b∈G$. Comparer les ordres de $a$ et de $bab^{-1}$.
\qq Soient $a,b∈G$. Comparer les ordres de $ab$ et de $ba$.

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\ex Décomposition d'une matrice en matrices inversibles

Soit $𝕂$ ayant au moins trois éléments et $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$. Montrer qu'il existe
$U,V ∈ GL_n(𝕂)$ telles que $A = U+V$. Donner un contre-exemple si
$\card(𝕂)=2$.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Calcul de limite

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Chercher $\lim_{x→0⁺} ∫_{t=0}¹ \dfrac{xf(t)}{x²+t²}\,𝕕t$.
\reponse{$\fracπ2f(0)$.}

%-------------------------------------------------------------------
\ex $f$ continue décroissante $⇒$ point fixe

Soit $f:ℝ→ℝ$ continue décroissante. Montrer qu'il existe un unique réel $x$
tel que $f(x) = x$.

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\ex Supplémentaire d'un hyperplan

Soit $E$ un $𝕂$-ev et $f:E→𝕂$ une forme linéaire non identiquement
nulle. On note $H = \Ker f$.

\qq Montrer que $\Im f = 𝕂$.
\qq Soit $u∈E∖H$ et $F = \vect(u)$. Montrer que $F ⊕ H = E$.

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\ex Endomorphisme tel que tout vecteur non nul est propre

Soit $E$ un espace vectoriel et $f∈𝓛(E)$ tel que pour tout
$x∈E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.

\qq Montrer que si $x≠0$, il existe un unique scalaire $λ_x$ tel que
    $f(x) = λ_xx$.
\qq Comparer $λ_x$ et $λ_y$ lorsque $(x, y)$ est libre.
\qq Montrer que $f$ est une homothétie.

%----------------------------------------------------------------------
\ex Puissances d'un $k$-cycle
Soit $σ$ un $k$-cycle de $𝓢_n$ et $p∈ℕ^*$.

\qq Si $p│k$, montrer que $σ^p$ est le produit de $p$ cycles à supports
    disjoints de longueur $k/p$.
\qq Montrer que pour $p∧k = 1$, $σ^p$ est un $k$-cycle
    (utiliser l'égalité de Bézout).
\qq Dans le cas général, étudier la décomposition en cycles de $σ^p$.

%-----------------------------------------------------------------
\ex pgcd $×$ ppcm

Soient $a_1, …, a_n ∈ ℕ^{*}$ et $b_i = ℿ_{j \ne i} a_j$.

Montrer que : $\pgcd( a_1, …, a_n ) × \ppcm( b_1, …, b_n) =
\ppcm( a_1, …, a_n ) × \pgcd( b_1, …, b_n) = ℿ a_i$.
\reponse{Décomposer en facteurs premiers.}

%-----------------------------------------------------------------------
\ex Équations homogènes

\qq $y-xy' = √{x²+y²}$.
    \reponse{$y = \dfrac{1-λ²x²}{2λ}$, $λ>0$.}

\qq $y' = \dfrac{x-y}{x+y}$.
    \reponse{$y = -x±√{2x²-λ}$ ou $y = x(-1±√2)$.}

\qq   $(x²+y²)y' = 2xy$.
      \reponse{$y = \dfrac {-1 ± √{1+4λ²x²}}{2λ}$
               ou $y = ± x$ ou $y=0$.}

\qq $(x+y)y' = 2x-y$.
    \reponse{$y = -x ± √{λ+3x²}$ et $y = x(-1±√3)$.}


%----------------------------------------------------------------------
\ex $a$ est premier à $b$ $⇒\pgcd(a,bc)=\pgcd(a,c)$

Soient $a,b,c ∈ ℤ$ tels que $a∧b = 1$. Montrer que $a∧(bc) = a∧c$.


%----------------------------------------------------------------------
\ex Fonction définie par une série

On pose pour $x∈ℝ$~: $f(x) = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{(-1)^{n-1}}{√{n²+x²}}$.

\qq Déterminer $\lim_{x→∞}f(x)$.
\reponse{CSA~: $0⩽f(x)⩽\dfrac1{√{1+x²}}$ donc $f(x)⟶_{x→+∞}0$.}
\qq Chercher un équivalent de~$f(x)$ en $+∞$.
\reponse{%
$$\eqalign{xf(x)
&= ⅀_{p=0}^∞ \dfrac{x}{√{(2p+1)²+x²}} - \dfrac{x}{√{(2p+2)²+x²}}\cr
&= ⅀_{p=0}^∞∫_{t=2p+1}^{2p+2}\dfrac{xt}{(t²+x²)^{3/2}}\,𝕕t\cr
&= ⅀_{p=0}^∞∫_{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u.\cr
}$$

On a $∫_{u=0}^∞\dfrac u{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u = 1 = a + b$ avec~:

$a = ⅀_{p=0}^∞∫_{u=(2p)/x}^{(2p+1)/x}\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u$ et
$b = ⅀_{p=0}^∞∫_{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}\,𝕕u = xf(x)$.

$h$ : $u↦\dfrac{u}{(u²+1)^{3/2}}$ est croissante sur~$\left[0,√{½}\right]$ et
décroissante sur $\left[√{½},+∞\right[$ donc $|a-b| ⩽\dfrac{3∥h∥_∞}x$,
et $xf(x)⟶_{x→+∞}½$.
}

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Images directes et réciproques

Soit $f : E→F$ une application, $A,A'⊂E$ et $B,B'⊂F$.

\qq Simplifier $f(f^{-1}(f(A)))$ et $f^{-1}(f(f^{-1}(B)))$.
\qq Montrer que $f(A∩f^{-1}(B)) = f(A)∩B$.
\qq Comparer $f(A\,Δ\,A')$ et $f(A)\,Δ\,f(A')$.
\qq Comparer $f^{-1}(B\,Δ\,B')$ et $f^{-1}(B)\,Δ\,f^{-1}(B')$.
\qq A quelle condition sur $f$ a-t-on : $∀A⊂E$, $f(E∖A) = F∖f(A)$ ?

%----------------------------------------------------------------------
\ex Composition de relations

Soit $E$ un ensemble, et $𝓕$ l'ensemble des relations binaires sur $E$.
Pour $R,S ∈𝓕$, on définit la relation $R*S$ par~:
$x\,(R*S)\,y ⇔ ∃z∈E \tq x R z \text{ et } z S y$.

A toute fonction $f:E→E$, on associe la relation : $y\,R_f\,x ⇔ y = f(x)$.
\qq Montrer que $*$ est associative, mais non commutative en général.
\qq Simplifier $R_f * R_g$.
\qq Est-ce que $*$ admet un élément neutre ?

\ex $(X-a)P'$

Soit $E = 𝕂_n[X]$ et $\application u E E P {(X-a)P'.}$
Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$.

%----------------------------------------------------------------------------
\ex Centrale 2017
Soit $(X_i)_{i∈ℕ}$ une famille de variables aléatoires mutuellement
indépendantes suivant une loi de
Bernouilli de paramètre $p$, et, pour $n∈ℕ$, $S_n = ⅀_{i=0}^nX_i$.

\qqsq Déterminez la loi de $S_n$.\reponse{$𝓑(n+1,p)$.}
  \sq Majorez $u : t↦ℙ(|S_n - 𝔼(S_n)| ⩾ t√n)$ à l'aide de l'inégalité de
      Bienaymé-Tchebychev.
      On nomme $φ$ cette majoration. Tracer à l'aide de Python sur un même
      graphe $u$ et $φ$ pour $n = 100$ et $p = 0.25$. Que constatez-vous ?
      \reponse{$u(t)⩽pq/t²$ avec $q=1-p$.}
      
\qq Soient $s⩾0$, $c < 0 < d$ et $y ∈ [c, d]$.
  \sq Montrez que $e^{sy}⩽\dfrac{d-y}{d-c}e^{sc} + \dfrac{y-c}{d-c}e^{sd}$.
      \reponse{Convexité de la fonction $t↦e^st$.}

  \sq Montrez que $\ln\Bigl(\dfrac{d}{d-c}e^{sc} - \dfrac{c}{d-c}e^{sd}\Bigr)
      ⩽\dfrac{s²(d-c)²}8$.
      \reponse{Soit $f(s) = \ln\Bigl(\dfrac{d}{d-c}e^{sc}
                     - \dfrac{c}{d-c}e^{sd}\Bigr)$.
               On a $f''(s) = … = \dfrac{-cde^{s(c+d)}}{(de^{sc}-ce^{sd})²}(d-c)²$
               et la fraction en facteur est inférieure ou égale à~$\frac14$
               (développer le dénominateur).
               Il vient par intégrations~:
               $f(s)⩽f(0)+sf'(0)+\dfrac{s²}2\dfrac{(d-c)²}4
               = \dfrac{s²(d-c)²}8$.}

  \sq On considère une variable aléatoire discrète $Y$ centrée à valeurs dans
      l'intervalle $[c, d]$.
      Montrez que $𝔼(e^{sY}) ⩽\exp(\frac{s²(d-c)²}8)$.

%-----------------------------------------------------------------------------
\ex Équation $XA = B$

Soient $A = \matr( 1&2&-1 \cr 2&-1&-1 \cr -5&0&3 )$ et
       $B = \matr(-2&1&1  \cr 8&1&-5  \cr 4&3&-3 )$.
Existe-t-il une matrice $X$ telle que $XA = B$ ?
\reponse{$X = \mat(a&2a-1&a \cr b+2&2b+3&b \cr c+2&2c+1&c)$.}

%----------------------------------------------------------------------
\ex Congruences simultanées
\qq Soient $a,b,a',b' ∈ ℤ$ avec $b ∧ b' = 1$.
    Montrer que le système : $\cases{x ≡ a \pmod b \cr x ≡ a' \pmod {b'} \cr}$
    possède des solutions et qu'elles sont congrues entre elles modulo $bb'$.
\qq Généraliser.

%---------------------------------------------------------------
\ex Centrale 2014
\qq Rappeler l'énoncé du théorème de Stone-Weierstrass polynomial.
\qq Soit $P_n(x)=x^{n+1}(1-x)²$ et $f$ continue de~$[0,1]$ dans~$ℝ$,
    telle que $∀n⩾1$, $∫₀¹fP_n''=0$.
    \sq Montrer qu'il existe $a,b∈ℝ$ tels que pour $g(x)=f(x)-ax-b$
        on ait $∫₀¹g=∫₀¹xg=0$.
        \reponse{On a un système linéaire en~$(a,b)$ de matrice
                $\mat(\frac12&1\cr\frac13&\frac12\cr)$ inversible.}
    \sq Montrer que que $∀n∈ℕ$, $∫₀¹x^ng=0$ et conclure.
        \reponse{La famille $(1,X,P₁'',P₂'',…)$ est de degrés étagés~; c'est une base
                 de~$ℝ[X]$ donc il suffit de prouver que $∫₀¹gP_n''=0$
                 ce qui résulte de la même propriété pour~$f$ en se débarrassant
                 de~$a,b$ par parties.
                 \medskip
                 Donc par linéarité, $∫₀¹Pg=0$ pour tout polynôme~$P$.
                 En prenant une suite de polynômes convergeant uniformément vers~$g$
                 on obtient $∫₀¹g²=0$ soit $g=0$ et $f$ est une fonction affine.}
\qq Montrer que si $f$ vérifie $∫₀¹fg''=0$ pour toute fonction $g$ de classe~$𝓒²$
    nulle avec $g'$ et $g''$ en $0$ et en~$1$ alors $f$ est affine.
    \reponse{En prenant $Q_n(x)=x^{n+3}(1-x)³$ et $a,b,c,d$ tels que pour
             $h(x)=f(x)-a-bx-cx²-dx³$ on ait $∫₀¹h=∫₀¹xh=∫₀¹x²h=∫₀¹x³h=0$, on
             trouve comme précédemment $h=0$ et donc $f(x)=a+bx+cx²+dx³$.
             Avec Maple, $0=∫₀¹fQ₀''=\frac3{140}d+\frac1{70}c$ et
             $0=∫₀¹fQ₁''=\frac1{84}d+\frac1{140}c$, d'où $c=d=0$.}
\qq Montrer que si $f$ vérifie $∫₀¹fg''=0$ pour toute fonction $g$ de classe~$𝓒²$
    nulle aux voisinages de $0$ et de~$1$ alors $f$ est affine.
    \reponse{Le problème consiste à approcher une fonction $g$ du type précédent
             par une fonction nulle aux voisinages de~$0$ et~$1$. On traite seulement
             le problème en~$0$ pour prouver à l'interrogateur qu'on a des
             idées.
             \medskip
             Soit $g$ de classe~$𝓒²$ telle que $g(0)=g'(0)=g''(0)=0$ et
             soit~$φ:ℝ⁺→[0,1]$ de classe $𝓒²$, nulle sur~$[0,1]$ et constante égale
             à~$1$ sur~$[2,+∞[$. On pose $g_n(x)=g(x)φ(nx)$~: fonction nulle
             sur~$[0,1/n]$ et coïncidant avec~$g$ sur~$[2/n,1]$. Il s'agit de
             prouver que $∥g''-g_n''∥_∞⟶_{n→∞}0$, donc de majorer
             uniformément $|g''(x)-g_n''(x)|$ si $0⩽x⩽2/n$.
             \medskip
             On a $g_n''(x)=g''(x)φ(nx)+2ng'(x)φ'(nx)+n²g(x)φ''(nx)$ avec $φ,φ',φ''$
             bornées.
             Soit $ε>0$ et $n$ suffisament grand pour que $0⩽x⩽2/n⇒|g''(x)|⩽ε$
             (continuité de~$g''$ en~$0$).
             Par intégration on obtient $|g'(x)|⩽εx⩽2ε/n$ et $|g(x)|⩽εx²/2⩽2ε/n²$
             d'où $|g''(x)-g_n''(x)|⩽\text{cste}×ε$ pour $0⩽x⩽2/n$ et aussi
             pour~$x⩾2/n$.}

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\ex Division de $1-X²$ par $1 - 2X\cosθ + X²$

\qq Effectuer la division suivant les puissances croissantes
    de $1-X²$ par $1 - 2X\cosθ + X²$  à un ordre queclonque.
    \reponse{$1-X² = (1-2X\cosθ+X²)(1 + 2X\cosθ + … + 2Xⁿ\cos nθ)
                    + 2X^{n+1}\cos(n+1)θ - 2X^{n+2}\cos nθ$.}

\qq En déduire la valeur de $1 + 2⅀_{k=1}ⁿ\cos kθ$ pour $θ \not≡0\pmod{2π}$.
    \reponse{$=\dfrac{\cos nθ - \cos(n+1)θ}{1-\cosθ}$.}

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\ex Centrale P' 1996

Comment peut-on trouver le rayon de convergence d'une série entière
dont la suite des coefficients admet une infinité de zéros~?

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\ex Équations à coefficients entiers
Soient $a,b,c$ trois entiers relatifs. On considère l'équation : $ax+by=c$,
dont on recherche les solutions dans $ℤ²$.

\qq Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que cette équation
    admette une solution.
\qq Soit $(x₀,y₀)$ une solution du problème de Bézout : $ax₀ + by₀ = d$.
    Déterminer toutes les solutions de $ax + by = c$ en fonction de $a$, $b$,
    $c$, $d$, $x₀$ et $y₀$.
\qq Résoudre dans $ℤ²$ : $2520x - 3960y = 6480$.
    \reponse{$x=1+11k$, $y=-1+7k$.}

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\ex Calcul de limite

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue.
Chercher $\lim_{n→∞} \left(\frac 1{n²}
          ⅀_{1⩽i<j⩽n} f(\frac in)f(\frac jn)\right)$.

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\ex Mines MP 2001

Soit une fonction $f$ de classe $𝓒²$ sur le disque unité du plan, telle que
son laplacien $∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²$ soit nul.

\qq Montrer $∫_{θ=0}^{2π}f(r\cosθ,r\sinθ)\,𝕕θ$
    ne dépend pas de $r∈[0,1]$.
    \reponse{On pose $g(r,θ) = f(r\cosθ,r\sinθ)$,
    $h(r) = ∫_{θ=0}^{2π}f(r\cosθ,r\sinθ)\,𝕕θ$ et l'on a

    $0=Δf = ∂²g/∂r² + \dfrac1r∂g/∂r + \dfrac1{r²}∂²g/∂θ²$
    d'où~:
    $$0=h''(r) + \dfrac1rh'(r) + \dfrac1{r²}\Bigl[∂g/∂θ(r,θ)\Bigr]_{θ=0}^{2π}$$
    Le crochet est nul par $2π$-périodicité de $g$ donc
    $h''(r) + \dfrac1rh'(r) = 0$
    soit $h'(r) = \dfrac Kr$ et $K=0$ par continuité de $h'$ en $0$.}

\qq Calculer alors $∬_{D_r} f(x,y)\,𝕕x𝕕y$ $D_r$ étant le disque fermé
    de centre $0$ et de rayon $r$.
    \reponse{$πr²f(0,0)$.}
 
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\ex Morphismes de $ℝ$

Soit $f:ℝ→ℝ$ non identiquement nulle telle que :
$∀x,y ∈ ℝ$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$ et $f(xy)  = f(x)f(y)$.
Montrer que $f$ est croissante, puis $f = \id_ℝ$.

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\ex Sous-groupes de $ℝ$
Soit $H$ un sous-groupe additif de $ℝ$, $H ≠ ⦃0⦄$.
On pose $H^{+*} = H∩ℝ^{+*}$, et $α = \inf(H^{+*})$.

\qq Si $α∈H^{+*}$, montrer que $H = αℤ$.
\qq Si $α∉H^{+*}$, montrer que $α = 0$ et en déduire que $H$
    est dense dans $ℝ$.


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\ex Somme de projecteurs

Soit $𝕂$ un corps de caractéristique nulle,
$E$ un $𝕂$-ev de dimension finie et $p₁,…,p_n$ des projecteurs
tels que $p₁ + … + p_n = \id_E$.

\qq Montrer que $\tr(p_i) = \rg(p_i)$.
\qq Montrer que $E = \Im(p₁) ⊕ … ⊕ \Im(p_n)$.

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\ex $X∪A = Y∪A$

Soit $E$ un ensemble et $A⊂E$. On définit la relation sur $𝓟(E)$ :
$X∼Y ⇔ X∪A = Y∪A$.

\qq   Montrer que c'est une relation d'équivalence.
\qq   Soit $\application φ {𝓟(E)} {𝓟(E∖A)} X {X∖A.}$

      Montrer que $φ$ est compatible avec $∼$, et que l'application
      quotient associée est une bijection.

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\ex Polytechnique MP$^*$ 2000
Soit~$E$ un espace euclidien, $(y_j)_{j∈I}$ une famille de vecteurs
de~$E$ telle qu'il existe $A$ et~$B$ strictement positifs vérifiant~:
$$∀x∈E,\ A∥x∥² ⩽ ⅀_{j∈I}(x│y_j)² ⩽ B∥x∥².$$

\qq Montrer que $(y_j)_{j∈I}$ engendre~$E$.
    \reponse{Le sev engendré a un orthogonal nul.}
\qq On choisit $E=ℝ²$. Montrer que $y₁=\mat(0\cr1)$,
    $y₂=\mat(-√3/2\cr-1/2)$, $y₃=y₂$ conviennent.
    \reponse{N'importe quelle famille génératrice convient
             (équivalence des normes).}
\qq Si $A=B=1$ et $∥y_j∥=1$ pour tout~$j$, montrer que $(y_j)_{j∈I}$ est une
    base orthonormale.
    \reponse{$1=∥y_i∥² = ∥y_i∥⁴ + ⅀_{j≠i}(y_i│y_j)²⇒∀j≠i,\ (y_i│y_j) = 0$.}
\qq Si $A=B$, montrer que pour tout~$x∈E$, $x=\dfrac1A⅀_{j∈I}(x│y_j)y_j$.
    \reponse{Par polarisation on a~:
    $∀x,y$, $⅀_{j∈I}(x│y_j)(y│y_j) = A(x│y)$ donc $⅀_{j∈I}(x│y_j)y_j-Ax∈E^┻$.}

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\bye