\centerline {\bf solutions}\bigskip 
\EX {2}{}
CV (vers 0) ssi $|ka₀| < 1$.
\EX {3}{}
$k∉ℤ$ : $y = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{n²(k²-n²)}
                        + a\cos kx + b\sin kx$.\par
         $k∈ℤ$ : remplacer $\dfrac{\cos kx}{k²(k²-k²)}$ par
                        $\dfrac{x\cos kx}{2k³}$.
\EX {4}{}
\QQ {1}
$X³-1 = (X²+1)(X³+X²-1) - X⁴(X+1)$.
\QQ {2}
$F(x) = \ln\Bigl(\dfrac x{\sqrt{x²+1}}\Bigr) - \arctan x
              + \dfrac 1{3x³} - \dfrac 1x$.
\EX {5}{}
\QQ {1}
$y=\dfrac1x+\dfrac1{x\ln|x|+λx}$ ou $y = \dfrac1x$.
\EX {8}{}
Pour $λ≠0$~:
$I_n = \Bigl[\dfrac{\exp(λn\sin²(x))}{2λn\cos(x)}\Bigr]_{x=0}^α
-∫_{x=0}^{α}\dfrac{\sin(x)}{2λn\cos²(x)}\exp(λn\sin²(x))\,𝕕x
= \dfrac{\exp(λn\sin²(α))}{2λn\cos(α)} - \dfrac1{2λn}
- \dfrac{J_n}{2λn}$
avec $0⩽J_n⩽\dfrac{I_n}{\cos²(α)}$.
Donc $I_n\sim \dfrac{\exp(λn\sin²(α))}{2λn\cos(α)}$ si $λ> 0$
et $I_n\sim - \dfrac1{2λn}$ si $λ<0$.
\EX {12}{}
\QQ {1}
$S_f(x) = ⅀_{n=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{2π a}-1}{2π(a-in)}e^{inx}$.
\QQ {2}
$⅀_{n∈ℤ}\dfrac{(e^{2π a}-1)²}{4π²(a²+n²)} = \dfrac1{2π}∫_{t=0}^{2π}|f(t)|²\,𝕕t
    = \dfrac{e^{4aπ}-1}{4aπ}$
    donc $⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²} = \dfracπ{2}\dfrac{e^{2aπ}+1}{e^{2aπ}-1}-\dfrac1{2a}$.
    \smallskip
    $⅀_{n⩾1}\dfrac{1}{a²+n²} = \dfrac1{2a}\Bigl(\dfracπ{\th(aπ)}-\dfrac1a\Bigr)
    ⟶_{a→0}\frac{π²}{6}$ et il y a convergence dominée.
    \smallskip
\QQ {3}
$\fracπ{2}$.
\EX {14}{}
$3^n$.
\EX {16}{}
Formule de Green : $A = \frac{3π}8a²$.
\EX {17}{}
$⦃a,b⦄ ∈ ⦃⦃1,192⦄,⦃3,32⦄,⦃7,126⦄,⦃14,63⦄⦄$.
\EX {18}{}
$⇔ \cos2θ = 0$.
\EX {19}{}
Si $n+1$ n'est pas un carré alors $u_n=0$ donc
$⅀_{n=1}^∞ u_n = ⅀_{k=2}^∞ u_{k²-1}
= ⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{k²-1} = \dfrac34$.
\EX {20}{}
Pour $u₀>0$ on a $u_n\searrow0$ et pour $u₀<0$ on a $u_n\nearrow0$.
         $f'(0)=½$ donc $u_{n+1}∼½u_n$ et la série $⅀u_n$ converge absolument
         (d'Alembert).
\EX {23}{}
Pour $1⩽kp$~: $k!\,\bin{p+k}k=(p+1)…(p+k) ≡ k! \pmod{p}$
         donc $\bin{p+k}k ≡ 1\pmod{p}$.
         De plus $\bin pk ≡ 0\pmod p$ d'où
         $\bin pk\bin{p+k}k≡ \bin pk\pmod{p²}$.
         \medskip
         Ensuite $$\eqalign{
         (p-1)!\,\bin{2p}p = 2(p+1)…(p+p-1)
         &≡ 2(p-1)!+2p⅀_{i=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}i \pmod{p²}\cr
         &≡ 2(p-1)!\Bigl(1+p⅀_{i=1}^{p-1}i'\Bigr) \pmod{p²}\cr}$$
         où $i'$ désigne l'inverse de~$i$ modulo~$p$.
         L'application $x↦x^{-1}$ est une permutation de $(ℤ/pℤ)^*$ donc
         $⅀_{i=1}^{p-1}i'≡ ½p(p-1)\pmod p ≡ 0\pmod p$,
         d'où $\bin pp\bin{2p}p ≡ 2\pmod{p²}$.
         \medskip
         Enfin $⅀_{k=0}^p\bin pk\bin{p+k}k ≡ 1 + ⅀_{k=1}^{p-1}\bin pk + 2
         \pmod{p²}≡ 2^p+1\pmod{p²}$.
\EX {25}{}
\QQSQ {2}{98}
$(I + E_{ij})^k = I + kE_{ij}$.
              Calculer le pgcd d'une ligne par opérations élémentaires à l'aide
              de Bézout. Ce pgcd vaut 1 sinon $M ∉ SL_n(ℤ)$.
\EX {26}{}
Échange des lignes $i$ et $j$.
\EX {27}{}
\qq $-\frac{2π}3 < θ\bmod{2π} < \fracπ3$. 
\qq $2α < θ \bmod 2π < 2π$ avec
             $\cosα = \frac2{√5}$, $\sinα = \frac1{√5}$.
\EX {29}{}
Soient $p_n$, $f_n$ les nombres de Pile et de Face obtenus
         au cours des $n$ premiers lancers et soit $x_n = 2p_n-f_n$ ($n∈ℕ$).
         Pour $k∈ℤ$ et $n∈ℕ$, on note $A_{k,n}$ l'évènement $⦃x_n=k⦄$ et
         $A_k = ⋃_{n∈ℕ}A_{k,n}$. $A_k$ est l'évènement~:
         $⦃${\it on aboutit en un nombre fini de lancers à la situation
         où }$2p_n-f_n = k⦄$ et la probabilité demandée est
         $1-\frac12ℙ(A_{-2})-\frac12ℙ(A_{1})$, par disjonction de cas
         selon le résultat du premier lancer.
         \medskip
         Toujours par disjonction de cas,
         $ℙ(A_k) = \frac12ℙ(A_{k-2}) + \frac12ℙ(A_{k+1})$, équation de récurrence
         ayant pour racines $a=1$, $b=\frac{√5-1}2$, $c=-\frac{√5+1}2$.
         Donc $ℙ(A_k) = α+βb^k+γc^k$ pour tout $k∈ℤ$ où $α,β,γ$ sont des
         constantes. Comme la suite $(ℙ(A_k))$ est bornée, $β=γ=0$ donc
         $α=ℙ(A₀)=1$ et la
         probabilité de ne jamais avoir $2p_n=f_n$ est nulle.
\EX {30}{}
$-\frac 53$.