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\fiche{Fiche d'exercices}

\ex Congruence des matrices de Gram

Soit $E$ un ev hermitien et $𝓑$, $𝓑'$ deux bases quelconques.
On note $P$ la matrice de passage de $𝓑$ à $𝓑'$, et $G,G'$ les
matrices de Gram de $𝓑$ et $𝓑'$.
Quelle relation y a-t-il entre $P$, $G$ et $G'$ ?

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\ex Convergence quadratique

Soit $k∈ℂ$ fixé. Étudier la convergence de la suite $(a_n)$ définie par :
$a₀∈ℂ$, $a_{n+1} = ka_n²$.
\reponse{CV (vers 0) ssi $|ka₀| < 1$.}

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\ex Équation différentielle

Soit $k ∈ ℝ$.
Résoudre l'équation différentielle $y'' + k²y = ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{n²}$.
\reponse{$k∉ℤ$ : $y = ⅀_{k=1}^∞ \dfrac{\cos nx}{n²(k²-n²)}
                        + a\cos kx + b\sin kx$.\par
         $k∈ℤ$ : remplacer $\dfrac{\cos kx}{k²(k²-k²)}$ par
                        $\dfrac{x\cos kx}{2k³}$.}

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\ex Division de $X³-1$ par $X²+1$

\qq Effectuer la division suivant les puissances croissantes de
    $X³-1$ par $X²+1$ à l'ordre 3.
    \reponse{$X³-1 = (X²+1)(X³+X²-1) - X⁴(X+1)$.}
\qq En déduire une primitive de $f$ : $x↦ \dfrac{x³-1}{x⁴(x²+1)}$.
    \reponse{$F(x) = \ln\Bigl(\dfrac x{\sqrt{x²+1}}\Bigr) - \arctan x
              + \dfrac 1{3x³} - \dfrac 1x$.}

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\ex Équations de Riccati

\qq $x²(y'+y²) = xy-1$.
    \reponse{$y=\dfrac1x+\dfrac1{x\ln|x|+λx}$ ou $y = \dfrac1x$.}


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\ex Tribu sur~$ℕ$
Montrer que $𝓣=⦃X⊂ℕ\tq ∀n∈ℕ,\ 2n∈X⇔2n+1∈X⦄$ est une tribu.

%---------- Inégalité ?
\ex Bases de numération
Soit $b ∈ ℕ∖⦃0,1⦄$ et $p∈ℕ$.
Montrer que pour tout entier $n∈ ⟦0,b^p-1⟧$, il existe
un unique $p$-uplet $(n₀,…,n_{p-1})$ d'entiers naturels tel que :
$∀k<p$, $n_k ∈ ⟦0,b-1⟧$, et $n = ⅀_{k=0}^{p-1} n_kb^k$.

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\ex Polytechnique MP 2002

Soit $α∈{]0,\fracπ2[}$ et $λ∈ℝ$.
Chercher un équivalent pour $n→∞$ de
$I_n = ∫_{x=0}^{α}\sin(x)\exp(λn\sin²(x))\,𝕕x$.
\reponse{Pour $λ≠0$~:
$I_n = \Bigl[\dfrac{\exp(λn\sin²(x))}{2λn\cos(x)}\Bigr]_{x=0}^α
-∫_{x=0}^{α}\dfrac{\sin(x)}{2λn\cos²(x)}\exp(λn\sin²(x))\,𝕕x
= \dfrac{\exp(λn\sin²(α))}{2λn\cos(α)} - \dfrac1{2λn}
- \dfrac{J_n}{2λn}$
avec $0⩽J_n⩽\dfrac{I_n}{\cos²(α)}$.
Donc $I_n\sim \dfrac{\exp(λn\sin²(α))}{2λn\cos(α)}$ si $λ> 0$
et $I_n\sim - \dfrac1{2λn}$ si $λ<0$.}

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\ex Développement factoriel

Soit $𝓢$ l'ensemble des suites croissantes d'entiers $(q_i)$ telles que
$q₀⩾2$.

\qq Si $s = (q_i)∈𝓢$, montrer que la série
$⅀_{k=0}^∞ \dfrac1{q₀… q_k}$ converge. On note $Φ(s)$ sa somme.

\qq Montrer que l'application $Φ:𝓢→]0,1]$ est bijective.
\qq Soit $s = (q_i)∈𝓢$. Montrer que $Φ(s)∈ℚ$ si et seulement
    si $s$ est stationnaire.

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\ex Adjoint

Soit $E$ un $ℝ$-ev de dimension finie et $f$ une forme bilinéaire symétrique
non dégénérée sur~$E$.

\qq Si $u∈𝓛(E)$ montrer qu'il existe un unique endomorphisme $v∈𝓛(E)$
    tel que~: $$∀x,y∈E,\ f(u(x),y) = f(x,v(y)).$$
    On note $v=u^*$.

\qq Montrer que l'application $u↦u^*$ est un anti-isomorphisme involutif
    de l'algèbre~$𝓛(E)$ (c'est-à-dire un isomorphisme linéaire
    tel que $(u∘v)^* = v^*∘u^*$ et $u^{**}=u$).

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\ex Ordre lexicographique

On note $E = [-1,1]²$, et on définit sur $E$ la relation :
$(x,y)≼(x',y') ⇔ ((x<x')$ ou $(x=x'$ et $y⩽y'))$
{\it (ordre lexicographique).}

\qq  Pour $(a,b)∈E$, représenter graphiquement l'ensemble des majorants
     de $(a,b)$.
\qq  Soit $A$ une partie non vide de $E$. Montrer que $A$ admet une borne
     supérieure.

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\ex $⅀_{n=1}^∞  \dfrac{a}{n²+a²}$ (Centrale MP 2000)

\qq Donner le développement en série de Fourier de la fonction $2π$-périodique
    définie sur~$]0,2π[$ par $f(x) = e^{ax}$ avec $a≠0$.
    \reponse{$S_f(x) = ⅀_{n=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{2π a}-1}{2π(a-in)}e^{inx}$.}
\qq Calculer $⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²}$. En déduire $⅀_{n⩾ 1}\dfrac1{n²}$.
    \reponse{$⅀_{n∈ℤ}\dfrac{(e^{2π a}-1)²}{4π²(a²+n²)} = \dfrac1{2π}∫_{t=0}^{2π}|f(t)|²\,𝕕t
    = \dfrac{e^{4aπ}-1}{4aπ}$
    donc $⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²} = \dfracπ{2}\dfrac{e^{2aπ}+1}{e^{2aπ}-1}-\dfrac1{2a}$.
    \smallskip
    $⅀_{n⩾1}\dfrac{1}{a²+n²} = \dfrac1{2a}\Bigl(\dfracπ{\th(aπ)}-\dfrac1a\Bigr)
    ⟶_{a→0}\frac{π²}{6}$ et il y a convergence dominée.
    \smallskip}
\qq Que vaut $\lim_{a→+∞}\,⅀_{n⩾1}\dfrac{a}{a²+n²}$~?
    \reponse{$\fracπ{2}$.}

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\ex Cordes de longueur $1/n$

Soit $f:[0,1]→ℝ$ continue telle que $f(0) = f(1)$.

\qq   Montrer qu'il existe $x ∈ [0,½]$ tel que $f(x) = f(x+½)$.
\qq   Pour $n ∈ ℕ$, $n ⩾ 2$, montrer qu'il existe
      $x ∈ [0,1-\frac 1n]$ tel que $f(x) = f(x+\frac 1n)$.
\qq   Trouver une fonction $f$ telle que : $∀x∈[0,\frac35]$,
      $f(x)≠f(x+\frac25)$.
\qq   Montrer qu'il existe $a > 0$ tel que : $∀b ∈ {]0,a]}$,
       $∃x∈ {[0, 1-b]} \tq  f(x) = f(x+b)$.

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\ex Couples $(A,B)$ tels que  $A∪B = E$

Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments, et
$𝓔 = ⦃ (A,B) ∈ 𝓟(E)² \tq A∪B = E ⦄$. Chercher card($𝓔$).
\reponse{$3^n$.}

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\ex Équivalences sur $E^E$

Soit $E$ un ensemble non vide. On considère les relations sur $F = E^E$:
$$\eqalign{
    f ∼ g &⇔ ∃n  ∈ℕ^* \tq f^n = g^n,\cr
    f ≈ g &⇔ ∃m,n∈ℕ^* \tq f^n = g^m,\cr
    f ≡ g &⇔ f(E) = g(E).\cr}$$

\qq Montrer que $∼$, $≈$, $≡$ sont des relations d'équivalence.
\qq Pour $f∈F$, on note $f^∼$, $f^≈$, $f^≡$ les classes
    d'équivalence de $f$ modulo $∼$, $≈$, $≡$.

    \sq Comparer $f^∼$, $f^≈$.
    \sq Montrer que toute classe d'équivalence pour $≈$ est réunion de
        classes d'équivalence pour $∼$.
    \sq Que pouvez-vous dire de $f$ s'il existe $g∈f^≈$ injective ?
        surjective ?
    \sq Même question avec $f^≡$.

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\ex Ensi P 90
    Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation
    $x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}$.
    \reponse{Formule de Green : $A = \frac{3π}8a²$.}
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\ex $\ppcm(x,y) + 11\pgcd(x,y) = 203$

Trouver les couples d'entiers $(x,y) ∈ ℤ²$ tels que : $x∨y + 11(x∧y) = 203$.
\reponse{$⦃a,b⦄ ∈ ⦃⦃1,192⦄,⦃3,32⦄,⦃7,126⦄,⦃14,63⦄⦄$.}

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\ex $\sin²(θ-α), \sin²θ, \sin²(θ+α)$ en progression arithmétique

Montrer qu'il existe $θ ∈ {]0, \fracπ2 [}$ tel que pour tout
$α ∈ ℝ$, les nombres $\sin²(θ-α), \sin²θ, \sin²(θ+α)$
soient en progression arithmétique.
\reponse{$⇔ \cos2θ = 0$.}

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\ex 

Convergence et somme de la série de terme général
$u_n=\dfrac{\strut⎣√{n+1}⎦-⎣√{n}⎦}n$.
\reponse{Si $n+1$ n'est pas un carré alors $u_n=0$ donc
$⅀_{n=1}^∞ u_n = ⅀_{k=2}^∞ u_{k²-1}
= ⅀_{k=1}^∞ \dfrac1{k²-1} = \dfrac34$.}

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\ex Centrale MP 2000

On considère la fonction $f$ : $x↦\ln \bigl(\dfrac{e^x-1}{x}\bigr)$
et la suite définie par $u₀∈ℝ^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
Étudier la suite $(u_n)$, puis la série $⅀u_n$.
\reponse{Pour $u₀>0$ on a $u_n\searrow0$ et pour $u₀<0$ on a $u_n\nearrow0$.
         $f'(0)=½$ donc $u_{n+1}∼½u_n$ et la série $⅀u_n$ converge absolument
         (d'Alembert).}

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\ex Propriétés de sup et inf

Un treillis est un ensemble ordonné $E$ dans lequel
pour tous $x,y∈E$, $\sup(x,y)$ et $\inf(x,y)$ existent.
Soit $E$ un treillis.

\qq  Montrer que $\sup$ et $\inf$ sont des opérations associatives.
\qq  A quelle condition ont-elles des éléments neutres ?
\qq  Montrer :
     \sq $∀x,y∈E$, $\sup(x,\inf(x,y)) = \inf(x,\sup(x,y)) = x$.
     \sq $∀x,y,z∈E$, $x⩽z ⇒ \sup(x,\inf(y,z)) ⩽ \inf(\sup(x,y),z)$.
     \sq $∀x,y,z∈E$, $\inf(x,\sup(y,z)) ⩾ \sup(\inf(x,y),\inf(x,z))$.

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\ex Formule de Cauchy-Binet

Soit $M=(a_{ij})∈𝓜_{np}(𝕂)$ et $q∈⟦1,\min(n,p)⟧$.
Pour $X=⦃x₁,…,x_q⦄$ et $Y=⦃y₁,…,y_q⦄$
avec $1⩽x₁< x₂< …< x_q⩽n$ et $1⩽y₁< y₂< …< y_q⩽p$,
on note $Δ_{X,Y}(M)$ le déterminant de la matrice $q×q$ de terme général
$a_{x_i,y_j}$.
\qq Soient $M∈𝓜_{np}(𝕂)$ et $N∈𝓜_{pn}(𝕂)$ avec $n⩽p$.
    Montrer que $$\det(MN) = ⅀_{\card X = n}Δ_{⟦1,n⟧,X}(M)Δ_{X,⟦1,n⟧}(N)$$
    (considérer les deux membres comme des fonctions des colonnes de~$N$).
\qq Donner une formule pour $\det(MN)$ quand $n>p$.
\qq Soient $M∈𝓜_{np}(𝕂)$, $N∈𝓜_{pq}(𝕂)$ et $r∈{⟦1,\min(n,q)⟧}$.
    Montrer, pour $X⊂{⟦1,n⟧}$ et $Y⊂{⟦1,q⟧}$ avec $\card(X) = \card(Y) = r$~:
    $Δ_{X,Y}(MN) = ⅀_{\card(Z)=r}Δ_{X,Z}(M)Δ_{Z,Y}(N)$.

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\ex Coefficients du binôme
Soit $p$ un nombre premier.
Montrer que $⅀_{k=0}^p\bin pk\bin{p+k}k≡ 2^p+1\pmod{p²}$.
\reponse{Pour $1⩽kp$~: $k!\,\bin{p+k}k=(p+1)…(p+k) ≡ k! \pmod{p}$
         donc $\bin{p+k}k ≡ 1\pmod{p}$.
         De plus $\bin pk ≡ 0\pmod p$ d'où
         $\bin pk\bin{p+k}k≡ \bin pk\pmod{p²}$.
         \medskip
         Ensuite $$\eqalign{
         (p-1)!\,\bin{2p}p = 2(p+1)…(p+p-1)
         &≡ 2(p-1)!+2p⅀_{i=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}i \pmod{p²}\cr
         &≡ 2(p-1)!\Bigl(1+p⅀_{i=1}^{p-1}i'\Bigr) \pmod{p²}\cr}$$
         où $i'$ désigne l'inverse de~$i$ modulo~$p$.
         L'application $x↦x^{-1}$ est une permutation de $(ℤ/pℤ)^*$ donc
         $⅀_{i=1}^{p-1}i'≡ ½p(p-1)\pmod p ≡ 0\pmod p$,
         d'où $\bin pp\bin{2p}p ≡ 2\pmod{p²}$.
         \medskip
         Enfin $⅀_{k=0}^p\bin pk\bin{p+k}k ≡ 1 + ⅀_{k=1}^{p-1}\bin pk + 2
         \pmod{p²}≡ 2^p+1\pmod{p²}$.}

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\ex Fonctions circulaires et hyperboliques
\lineskip=1mm\lineskiplimit=\lineskip

\qq $\dfrac 1{\sin^2x} - \dfrac 1{\sh^2x}                      ⟶_{x→0}\dfrac 23$.
\qq $\dfrac {\sin x\sh x - \tan x\th x}{\sh^4x - \th^4x}       ⟶_{x→0}-\dfrac1{12}$.
\qq $(\ch x)^\alpha - (\sh x)^\alpha                           ⟶_{x→+∞}\cases{+\infty &si $\alpha>2$,\cr 1 &si $\alpha=2$,\cr 0 &si $\alpha<2$.\cr}$
\qq $\dfrac {\exp(x^2) - \ch(x\sqrt2\,)}{(\ch x - \cos x)(\ch2x - \cos2x)} ⟶_{x→0}\dfrac1{12}$.
\qq $(2x^2-3x+1)\tan \pi x                                     ⟶_{x→1/2}\dfrac1\pi$.
\qq $\dfrac{\cos\pi x}{4x^2-9}                                 ⟶_{x→3/2}\dfrac\pi{12}$.
\qq $\dfrac{\sin 3x}{1-2\cos x}                                ⟶_{x→π/3}-\sqrt3$.
\qq $\dfrac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-x}                          ⟶_{x→0}1$.
\qq $\dfrac 1x \ln\ch x                                        ⟶_{x→+∞}1$.

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\ex Groupe $SL_n(𝕂)$

On note $SL_n(𝕂) = ⦃ M ∈ 𝓜_n(𝕂) \tq \det M = 1 ⦄$.

\qqsq Démontrer que $SL_n(𝕂)$ est un groupe pour le produit matriciel.
  \sq Démontrer que $SL_n(𝕂)$ est engendré par les matrices :
      $I + λ E_{ij}$, $(j ≠ i)$
      où $(E_{ij})$ est la base canonique de $𝓜_n(𝕂)$, et $λ ∈ 𝕂$
      (transformer une matrice $M ∈ SL_n(𝕂)$ en $I$ par opérations
      élémentaires).

\qqsq Soit $M ∈ 𝓜_n(ℤ)$. Démontrer que $M$ a une inverse dans $𝓜_n(ℤ)$ si
      et seulement si $\det M = ±1$.
  \sq Démontrer que le groupe $SL_n(ℤ)$ est engendré par les matrices
      $I + E_{ij}$, $(j ≠ i)$.
      \reponse{$(I + E_{ij})^k = I + kE_{ij}$.
              Calculer le pgcd d'une ligne par opérations élémentaires à l'aide
              de Bézout. Ce pgcd vaut 1 sinon $M ∉ SL_n(ℤ)$.}

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\ex Échange de lignes

Soit $A ∈ 𝓜_n(𝕂)$ inversible et $B$ la matrice obtenue en échangeant dans $A$
les colonnes $i$ et $j$. Montrer que $B$ est aussi inversible. Comment
passe-t-on de $A^{-1}$ à $B^{-1}$ ?
\reponse{Échange des lignes $i$ et $j$.}

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\ex Inéquations

Résoudre les inéquations suivantes :

% ------------------------------------------------------- cosθ + cos(θ+π/3) > 0
{\bf1)} $\cosθ + \cos(θ + \fracπ3) > 0$.
\reponse{\qq $-\frac{2π}3 < θ\bmod{2π} < \fracπ3$. }
% ------------------------------------------------------------ 2cosθ + sinθ < 2
{\bf2)} $2\cosθ + \sinθ < 2$.
\reponse{\qq $2α < θ \bmod 2π < 2π$ avec
             $\cosα = \frac2{√5}$, $\sinα = \frac1{√5}$.}

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\ex Parties denses
Soir $A$ un sous-anneau de $ℝ$. Montrer que $A$ est dense dans $ℝ$ si et
seulement si $A∩{]0,1[} ≠ ∅$.


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\ex Déséquilibre
On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir deux fois plus de Face que
de Pile. Quelle est la probabilité de ne jamais y arriver~?
\reponse{Soient $p_n$, $f_n$ les nombres de Pile et de Face obtenus
         au cours des $n$ premiers lancers et soit $x_n = 2p_n-f_n$ ($n∈ℕ$).
         Pour $k∈ℤ$ et $n∈ℕ$, on note $A_{k,n}$ l'évènement $⦃x_n=k⦄$ et
         $A_k = ⋃_{n∈ℕ}A_{k,n}$. $A_k$ est l'évènement~:
         $⦃${\it on aboutit en un nombre fini de lancers à la situation
         où }$2p_n-f_n = k⦄$ et la probabilité demandée est
         $1-\frac12ℙ(A_{-2})-\frac12ℙ(A_{1})$, par disjonction de cas
         selon le résultat du premier lancer.
         \medskip
         Toujours par disjonction de cas,
         $ℙ(A_k) = \frac12ℙ(A_{k-2}) + \frac12ℙ(A_{k+1})$, équation de récurrence
         ayant pour racines $a=1$, $b=\frac{√5-1}2$, $c=-\frac{√5+1}2$.
         Donc $ℙ(A_k) = α+βb^k+γc^k$ pour tout $k∈ℤ$ où $α,β,γ$ sont des
         constantes. Comme la suite $(ℙ(A_k))$ est bornée, $β=γ=0$ donc
         $α=ℙ(A₀)=1$ et la
         probabilité de ne jamais avoir $2p_n=f_n$ est nulle.}
         
         
%---------- Lemme de Borel-Cantelli
\ex $1/(x_i-1)$

Soient $x₁,x₂,x₃,x₄$ les racines de $X⁴ + X + 1$.
Calculer $⅀_{i=1}⁴ \dfrac 1{x_i-1}$.
\reponse{$-\frac 53$.}

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\bye