\centerline {\bf solutions}\bigskip 
\EX {4}{}
\qq $x≡ 7422 \pmod {13860}$.
\qq $x≡ 7 \pmod {60}$.
\EX {6}{}
\QQ {2}
$6T_n = (3+√6)(5+2√6)ⁿ + (3-√6)(5-2√6)ⁿ$.
\EX {7}{}
\QQ {2}
$ℙ(A_n)=\bin{2n}n(pq)^n$, $ℙ(B_n)=2\bin{2n-2}{n-1}(pq)^n/n$.
\QQ {3}
$ℙ(C)=⅀_{n=1}^∞ℙ(B_n)=1-√{1-4pq}=2\min(p,q)$ par DSE dans le cas $p≠q$ et
             par intégration terme à terme, cas réel positif dans le
             $p=q=\frac12$.
\QQ {4}
$ℙ(D)=0$ si $p≠q$, $ℙ(D)=1$ si $p=q=\frac12$.
\EX {8}{}
\QQ {1}
$X³-1 = (X²+1)(X³+X²-1) - X⁴(X+1)$.
\QQ {2}
$F(x) = \ln\Bigl(\dfrac x{\sqrt{x²+1}}\Bigr) - \arctan x
              + \dfrac 1{3x³} - \dfrac 1x$.
\EX {9}{}
%
Soit $P = QR$ avec
$Q=X^{n₁}+b_{n₁-1}X^{n₁-1}+…+b₀X⁰$ et
$R=X^{n_2}+c_{n_2-1}X^{n_2-1}+…+c₀X⁰$.

Par hypothèse sur $a₀ = b₀c₀$, $p$ divise un et un seul des entiers $b₀$, $c₀$.
Supposons que $p$ divise $b₀,b₁,…,b_{k-1}$~:
alors $a_k ≡ b_kc₀ \pmod p$ donc $p$ divise $b_k$.
On aboutit à «$p$ divise le coefficient dominant de $Q$», ce qui est absurde.
\EX {10}{}
$y_n-x_n =\dfrac{y₀-x₀}{3ⁿ}$ et $y_n+x_n = y₀+x₀ ⇒ x_n,y_n → ½(y₀+x₀)$.