notes.tex (191222B) (plain)

---

 % !TeX program = lualatex
 % !TeX encoding = UTF-8
 % !TeX spellcheck = ru_RU
 % !TeX root = notes.tex
 \documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
 % Encoding
 %\usepackage{fontspec}
 \usepackage{polyglossia}
 \setdefaultlanguage{russian}
 \setotherlanguages{english}
 
 \usepackage{fontspec}
 \setmainfont{CMU Serif}
 \setsansfont{CMU Sans Serif}
 \setmonofont{CMU Typewriter Text}
 %\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
 %\usepackage[utf8]{inputenc}
 %\usepackage[russian]{babel}
 \usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath,stmaryrd}
 \usepackage[table]{xcolor}
 \usepackage{tikz-cd}
 \usepackage{comment}
 \usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace,microtype} % fancy headers, indices
 \usepackage{multicol,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better hyperrefs
 \usepackage[inline]{enumitem} % better enumerations
 \usepackage[datesep={.}]{datetime2}
 \DTMsetdatestyle{ddmmyyyy}
 %\renewcommand{\dateseparator}{.}
 %\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
 \usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
 
 % git integration
 \usepackage{gitinfo2}
 
 %for margin notes
 \reversemarginpar
 
 \definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39}
 \definecolor{cadmiumgreen}{rgb}{0.0, 0.42, 0.24}
 \definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6}
 \definecolor{brightblue}{HTML}{006699}
 \definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
 \definecolor{awesome}{rgb}{1.0, 0.13, 0.32}
 \definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
 \hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
 	colorlinks,
 	linkcolor={cadmiumgreen},
 	urlcolor={pigmentblue},
 	linktoc=all,
 	pdftitle={Конспект лекций по гомологической алгебре},
 	pdfsubject={Гомологическая алгебра},
 	pdfauthor={},
 	%pdfcreator={},
 	pdfdirection={L2R},
 	pdflang={ru-RU}%,
 %	unicode=true
 }
 
 % reverse column, to typeset adjoint functors or bijections like "f: F<=>G :g"
 \newcommand*\cocolon{%
 	\nobreak
 	\mskip6mu plus1mu
 	\mathpunct{}%
 	\nonscript
 	\mkern-\thinmuskip
 	{:}%
 	\mskip2mu
 	\relax
 }
 \mathchardef\mdash="2D
 
 %\tikzcdset{
 %	arrow style=tikz,
 %	diagrams={>={Straight Barb[scale=0.8]}}
 %}
 
 \DeclareMathOperator{\op}{op}
 \DeclareMathOperator{\coker}{coker}
 \DeclareMathOperator{\id}{id}
 \DeclareMathOperator{\im}{im}
 \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
 \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
 \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
 \DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
 \DeclareMathOperator{\Tot}{Tot}
 \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
 \DeclareMathOperator{\pd}{pd}
 \DeclareMathOperator{\fd}{fd}
 \DeclareMathOperator{\gldim}{gldim}
 \DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
 \DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
 \DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
 \DeclareMathOperator{\ord}{ord}
 \DeclareMathOperator{\Barr}{Bar}
 \DeclareMathOperator{\ab}{ab}
 \DeclareMathOperator{\Der}{Der}
 \DeclareMathOperator{\PDer}{PDer}
 \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
 \DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
 \DeclareMathOperator{\Out}{Out}
 \newcommand\Z{\mathbb{Z}}
 \newcommand\Q{\mathbb{Q}}
 \newcommand\N{\mathbb{N}}
 \newcommand\defeq{\overset{\text{\normalfont def}}{=}}
 \newcommand{\unsim}{\mathord{\sim}} % recommended way to correnct spacing around \sim
 
 \let\phi\varphi
 \renewcommand{\le}{\leqslant}
 \renewcommand{\ge}{\geqslant}
 
 \let\mcsepold\multicolsep
 
 \setcounter{section}{-1}
 
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{Def}{Определение}
 \newtheorem{stmt}{Утверждение}
 \newtheorem{thm}{Теорема}
 \newtheorem{lemma}{Лемма}
 \newtheorem{exc}{Упражнение}
 \newtheorem*{fact}{Факт}
 \newtheorem*{corollary*}{Следствие}
 
 %1-time use
 \newtheorem*{fivelemma}{5-лемма}
 
 %headers/footers
 \pagestyle{fancyplain}
 \fancyhf{}
 \fancyhead[R]{\thepage}
 \fancyhead[L]{\hyperlink{toc}{\scshape\nouppercase\leftmark}}
 \renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
 
 %index
 \makeindex[title=Индекс]{}
 
 %packages/commands for fun/art purposes
 \usepackage{epigraph}
 \newcommand{\pride}[6]{{\color{red}#1}{\color{orange}#2}{\color{yellow}#3}{\color{green}#4}{\color{blue}#5}{\color{purple}#6}}
 %\usepackage{churchslavonic}
 
 %end of preamble
 
 \begin{document}
 	\begin{titlepage}
 		\thispagestyle{empty}
 		\newgeometry{left=2cm, bottom=2.5cm, top=2.5cm, right=2cm}
 		\centering
 		$${\bigcap}\kern-0.8em\raisebox{0.3ex}{$\subset$}\kern-1.45em\raisebox{-0.2ex}{$\complement$}\mathbf{\tiny\kern-0.23em\raisebox{-2.8ex}{$\bigcup$}}\mathbf{\tiny\kern0.13em\raisebox{-2.8ex}{$\bigcup$}}\scriptsize\kern-0.87em\raisebox{-1.33ex}{-}$$
 		{\scshape\large Amogus\par\vspace{-0.3em} University\par}
 		\vspace{5cm}
 		{\Huge\scshape\bfseries\pride{Г}{о}{М}{о}{Л}{о}\pride{Г}{и}{Ч}{е}{С}{к}\pride{А}{я}{\ }{А}{л}{Г}\pride{е}{Б}{р}{А}{}{}\par}
 		\vspace{0.5cm}
 		{\scshape\Large Конспект лекций\par}
 		\vspace{2cm}
 		%{\Large\itshape ?\par}
 		%\vfill
 		%supervised by\par
 		%Dr.~Mark \textsc{Brown}
 
 		\vfill
 
 		% Bottom of the page
 		{\large\texttt{Версия \gitBranch/\gitAbbrevHash}\par\texttt{\gitAuthorDate}\par}
 	\end{titlepage}
 \restoregeometry
 \hypertarget{toc}\tableofcontents\newpage
 \section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
 \addcontentsline{toc}{section}{Введение}
 \epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому $-3$ от $6$ не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
 Зачем нужна гомологическая алгебра:
 \begin{enumerate}
 	\item Работа с ``препятствиями'':
 	\begin{enumerate}
 		\item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A\otimes_{\Z}C\hookrightarrow B\otimes_{\Z}C$? Оказывается, что за ``немономорфность'' отвечает $\Tor_\Z(B/A,C)$. Если он равен $0$, то есть мономорфизм.
 		\item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечно порождённые). Если $R$ ``достаточно хорошее'', то выполнена теорема Жордана-Гёльдера: существует
 		$$M=M_0\ge M_1\ge\ldots\ge M_n=\{0\}$$
 		где $M_i/M_{i+1}$ простые. Значит, нужно описать простые модули и как из них составляются непростые.
 		(можно доказать, что) есть короткая точная последовательность $$S\hookrightarrow M\twoheadrightarrow T$$
 		где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличается'' от $S\oplus T$, отвечает $\Ext_R(T,S)$. Если он равен 0, то $M\cong S\oplus T$. Иначе может быть, что $M\not\cong S\oplus T$.
 	\end{enumerate}
 	\item Поиск инвариантов.
 	\begin{enumerate}
 		\item В топологии (ну понятно)
 		\item В алгебре: алгебры сложно классифицировать с точностью до изоморфизма. Но можно брать производные категории (?) и классифицировать с точностью до их эквивалентности. Если эквивалентны, то изоморфны их (ко)гомологии Хохшильда(??)
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \section{Основные определения}
 \subsection{Компл\'{е}ксы}
 \begin{Def}\index{Комплекс}
 	Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны) последовательность модулей $X_i$ $(i\in\Z)$ с гомоморфизмами $d_i\colon X_{i+1}\to X_i$, что $d_{i}\circ d_{i+1}=0\,\forall i\in\Z$.
 	$$
 	\cdots\to X_3\overset{d_2}{\to}X_2\overset{d_1}{\to}X_1\overset{d_0}{\to}X_0\overset{d_{-1}}{\to}X_{-1}\overset{d_{-2}}{\to}X_{-2}\to\cdots
 	$$
 \end{Def}
 Немного переформулируем определение:
 \begin{Def}\index{Градуированный модуль}
 	Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus\limits_{i\in\Z}X_i$.
 
 	Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z\; f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{\normalfont def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def}
 \begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный модуль с дифференциалом степени (в нашем случае) $-1$.\end{Def}
 \begin{Def}\index{Гомологии}
 	$(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\defeq Z_n/B_n$.
 \end{Def}
 Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigoplus_{i\in\Z}H_i(X)$.
 \begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}\label{shiftedcomplex}
 	$X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим комплекс $X[n]_i=X_{i+n}$ с дифференциалом $d[n]_i=(-1)^n d_{i+n}$.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Ацикличный комплекс}\index{Точный комплекс}\label{acycliccomplex}
 	Комплекс $X$ называется ацикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Цепное отображение}
 	$(X,d^X)$, $(Y,d^Y)$~-- комплексы. Гомоморфизм $f\colon X\to Y$~-- гомоморфизм комплексов(иногда говорят ``цепное отображение''), если $|f|=0$ и $fd^X=d^Yf$.
 \end{Def}
 \begin{stmt}\label{homologyisafunctor}
 	Если $f\colon X\to Y$~-- цепное отображение, то оно индуцирует отображение $H_nf\colon H_nX\to H_nY$.
 \end{stmt}
 \begin{proof}
 \begin{multicols}{2}
 		Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setlength\parskip{-5pt},leftmargin=0.5cm,itemindent=.4cm,labelwidth=\itemindent,labelsep=0cm,align=left]
 		\itemsep0em
 		\item $x\in\ker d_{n-1}^X\Rightarrow 0=f_{n-1}d_{n-1}^X(x)=d_{n-1}^Yf_{n}(x)\Rightarrow f_{n}(\ker d_{n-1}^X)\subseteq\ker d_{n-1}^Y$
 		\item $f_n(\im d_n^X)=f_nd_n^X(X_{n+1})=d_n^Yf_{n+1}(X_{n+1})\subseteq\im d_n^Y$
 		\item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно.\qedhere
 	\end{enumerate}
 	\columnbreak%\vspace*{\fill}
 	\noindent\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=small]
 	X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar[labels=description]{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^X_{n-1}}&X_{n-1}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n-1}}\\
 	& \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[hook]{urr}\ar[]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
 	& \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[hook]{drr}\ar[two heads]{r} & H_nY\\
 	Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \ar{r}{d^Y_{n-1}}&Y_{n-1}
 	\end{tikzcd}
 	%\vspace*{\fill}
 \end{multicols}
 \end{proof}
 Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(\cdot)$ переводит композицию в композицию. И понятно, что переводит $\id$ в $\id$. Короче, $H_n(\cdot)$~-- функтор.
 
 %Если $H_n(f)$ эпиморфизм, то $(3)$ эпиморфизм, а значит $(1)$ эпиморфизм. Если $H_n(f)$ мономорфизм, то $\ker(3)=\im d_n^X$, значит, $(1)$~-- мономорфизм и $(2)$~-- изоморфизм.
 \begin{stmt}[которого не было на лекциях]
 	$H_n$~-- аддитивный функтор.
 \end{stmt}
 \begin{proof} Проверим, что $H_n(f+g)=H_n(f)+H_n(g)$. Достаточно проверить, что $H_n(f)+H_n(g)$ делает диаграмму из утверждения~\ref{homologyisafunctor} коммутативной, так как стрелка в между гомологиями единственная.
 	\begin{multicols}{2}
 		\noindent\vspace*{\fill}
 		\[
 		\begin{tikzcd}
 		\ker d^X_{n-1}\ar{d}{f+g}\ar[two heads]{r}{\pi_X}&H_nX\ar{d}{H_nf+H_ng}\\
 		\ker d^Y_{n-1}\ar[two heads]{r}{\pi_Y}&H_nY
 		\end{tikzcd}
 		\]
 		\vspace*{\fill}
 		\columnbreak
 
 		Действительно, $f,g$~-- цепные отображения, так что для них квадрат коммутативен:
 		\[H_nf\circ\pi_X=\pi_Y\circ f\text{ и }H_ng\circ\pi_X=\pi_Y\circ g\]
 		Складываем и получаем то, что нужно.\qedhere
 	\end{multicols}
 \end{proof}
 \begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
 	Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Гомотопия}
 	$f,g\colon X\to Y$~-- морфизмы комплексов. {\bfseries Гомотопией} между $f$ и $g$ называется гомоморфизм $s\colon X\to Y$, $|s|=1$, что $f-g=sd^X+d^Ys$. Обозначают $f\sim g$.
 	\[\begin{tikzcd}[sep=normal]
 	\cdots\ar{r}\ar{dd} &  X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[sloped]{f_{i+1}-g_{i+1}}\ar{ddl} & X_i\ar{r}{d^X_{i-1}}\ar{dd}[sloped]{f_{i}-g_{i}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i+1}} & X_{i-1}\ar{r}\ar{dd}[sloped]{f_{i-1}-g_{i-1}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i}} & \cdots\ar[sloped]{ldd}{s_{i-1}}\ar{dd}\\
 	 & & & & \\
 	\cdots\ar{r} &  Y_{i+1}\ar{r}{d^Y_{i}} & Y_i\ar{r}{d^Y_{i-1}} & Y_{i-1}\ar{r} & \cdots\\
 	\end{tikzcd}\]
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Гомотопическая эквивалентность}
 	Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
 \end{Def}
 \begin{stmt}\label{stmt_homequivisqis}
 	Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм.
 \end{stmt}
 \begin{proof}
 	Даны $f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. Покажем, что $H_ng\circ H_nf=\id_{H_nX}=H_n(g\circ f)$ (в обратную сторону точно так же). Для этого покажем, что если $f\colon X\to X$~-- морфизм и $f\sim\id_X$, то $H_nf=\id_{H_nX}$. И правда, $H_nf=H_n\id_X\iff H_n(f-\id_X)=0$. Так как $f\sim\id_X$, то $\exists s\colon f-\id_X=sd+ds$. $H_n(sd+ds)\colon H_n(X)\to H_n(X)$. Часть $ds$ переводит в 0 в гомологиях, потому что образ~-- граница. Часть $sd$ переводит в 0 в гомологиях, потому что применяется к циклу.
 \end{proof}
 \subsection{Проективные модули}
 \begin{Def}\index{Проективный модуль}
 	Модуль $P$ называется {\bfseries проективным}, если \[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
 	P\ar[swap]{d}{\exists h} \ar{dr}{\forall f} & \\
 	A \ar[two heads]{r}{\forall g} & B % \ar{r} & 0
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{Def}
 Например, свободный модуль проективен.
 \begin{exc}
 	$P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$(что то же самое, $T\cong P'\oplus h(P)$) $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис'').
 \end{exc}
 \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax Обозначим $\langle P\rangle_R$~-- свободный $R$-модуль, порожденный элементами $P$. Есть понятная сюрьекция $p\colon\langle P\rangle_R\twoheadrightarrow P$.
 	\begin{enumerate}
 		\item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективности такая конструкция работать не будет. Например, у $\Z$-модулей $\Z/n\Z$ вообще нет ненулевых гомоморфизмов в $\Z^n$.} Из проективности \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists i}\\\langle P\rangle_R\ar[two heads,swap]{r}{p}&P\end{tikzcd}. $pi=\id$, то есть $P$~-- прямое слагаемое $\langle P\rangle_R$.
 		\item[$2\Rightarrow1$] Подходит $\langle P\rangle_R$. Вспомним, что он проективен.
 		\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
 		  & \langle P\rangle_R\ar[sloped,labels=description]{dl}{\exists h}\ar[near start,sloped,labels=description]{dr}{f\circ p}\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{rr}{p} &   &\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{ll}{i}P\ar[sloped,labels=description,swap]{dl}{f}\ar[near end,dotted,sloped,labels=description]{llld}{h\circ i}\\
 		T\ar[two heads]{rr} &      & M &
 		\end{tikzcd}
 		\item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=\langle P\rangle_R$.
 		\item[$1\Rightarrow4$] $P$ проективен $\Rightarrow$ он прямое слагаемое свободного. Свободный модуль изоморфен $R^{I}$ для некоторого множества $I$. Из $1\Rightarrow3$ с проекцией $R^I\to R$ получаем все нужные функции.
 		\item[$1\Leftarrow4$] Рассмотрим $P\to R^I$, определённое на компонентах функциями ${f_i}_{i\in I}$. Определение корректно, потому что все функции финитные. Понятно, что существует отображение $R^{I}\to P$ (сумма компонент), что композиция тождественная на $P$ (по условию). Из $2\Rightarrow1$ $P$ проективен.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Для любого модуля $M$ существует проективный модуль $P$ и $P\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} M$.\end{stmt}
 \begin{Def}\index{Проективная резольвента}\index{Резольвента}
 	Пусть $M$~-- модуль. Его можно интерпретировать как комплекс
 	$$\cdots\to M_2=\{0\}\to M_1=\{0\}\to M_0=M\to M_{-1}=\{0\}\to\cdots$$
 	Комплекс $P$, где все $P_i$ проективные, с морфизмом комплексов $\varepsilon\colon P\to M$ называется {\bfseries проективной резольвентой}, если $P_i=0\forall i<0$ и $\varepsilon$~-- квазиизоморфизм.
 
 	Другими словами (и картинкой)
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
 		\cdots\ar{r}{d_2}& P_2\ar{r}{d_1}& P_1\ar{r}{d_0}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}& P_0\ar{r}\ar{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\
 		\cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	А из квазиизоморфности $H_iP=0,i\ne 0\iff \ker d_{i-1}=\im d_{i}, i\ne 0$. $P/\im d_0\cong M\Rightarrow\varepsilon$~-- эпиморфизм.
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
 	\cdots\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_2P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_1P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_0P\ar{r}\ar[two heads]{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\
 	\cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& H_0M=M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{Def}
 \needspace{10\baselineskip}
 \begin{stmt}\label{stmt_projresexists}
 	У любого модуля существует проективная резольвента.
 \end{stmt}
 \begin{proof}
 	\begin{multicols}{2}
 		По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, существует $P_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}M$. Рассмотрим теперь $M_{0}=\ker\varepsilon$. По индукции $M_i=\ker d_{i-1},i>0$. По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, над $M_i$ существует проективный модуль $P_{i+1}\overset{\varepsilon_1}{\twoheadrightarrow}M_i$. Как $d_i$ возьмем композицию $P_{i+1}\twoheadrightarrow M_i\hookrightarrow P_{i}$. По построению это проективная резольвента.\qedhere
 
 		\columnbreak\vspace*{\fill}
 		\noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
 		& & & \ker d_0\ar[hook]{dr}{\iota_1} & & & & & \\
 		\cdots\ar{rr}{d_2}\ar[two heads]{rd} & & P_2\ar{rr}{d_1=\iota_1\varepsilon_2}\ar[two heads]{ur}{\varepsilon_2} & & P_1\ar{rr}{d_0=\iota_0\varepsilon_1}\ar[swap,two heads]{dr}{\varepsilon_1} & & P_0\ar[two heads]{rr}{\varepsilon} & & M \\
 		& \ker d_1\ar[hook]{ur}& & & & \ker\varepsilon\ar[swap,hook]{ur}{\iota_0}
 		\end{tikzcd}
 		\vspace*{\fill}
 	\end{multicols}
 \end{proof}
 \begin{stmt}\label{projresolutionequivce}
 	Пусть $P\overset{\varepsilon}{\to}M$ и $Q\overset{\tau}{\to}M$~-- проективные резольвенты $M$. Тогда $\exists f\colon P\rightleftarrows Q\cocolon g$~-- взаимообратные гомотопические эквивалентности, что $\tau f=\varepsilon$ и $\varepsilon g=\tau$.
 \end{stmt}
 \begin{proof}
 	\begin{multicols}{2}
 		$\tau$~-- эпиморфизм, поэтому $\exists f_0\colon P_0\to Q_0$, что $\tau f_0=\varepsilon$.
 
 		Так как $\tau f_0d_0=\varepsilon d_0=0$ (последнее равенство из определения резольвенты), $\im f_0d_0\subseteq\ker\tau$. Поэтому существует $P_1\to\ker\tau$. Из проективности $P_1$ существует $\exists f_1\colon P_1\to Q_1$. По построению $f_0d_0=d_0'f_1$.
 
 		(ну итд, $d_0'f_1d_1=f_0d_0d_1=0\Rightarrow \im f_1d_1\subseteq\ker d_0'\Rightarrow\exists P_2\to\ker d_0'\Rightarrow\exists f_2\colon P_2\to Q_2$)
 
 		\columnbreak\vspace*{\fill}
 		\noindent\begin{center}
 			\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
 				P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{\exists f_2}\ar{rd} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar{rd}\ar{dd}{\exists f_1} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar{dd}{\exists f_0} &   \\
 				& \ker d_0'\ar[hook]{rd} &            &\ker\tau\ar[hook]{rd} &     & M \\
 				Q_2\ar{rr}{d_1'}\ar[two heads]{ur}& & Q_1\ar{rr}{d_0'}\ar[two heads]{ur} & & Q_0\ar[two heads]{ru}{\tau} &
 			\end{tikzcd}
 		\end{center}
 		Аналогично строится $g_i$, что $\varepsilon g=\tau$.
 		\vspace*{\fill}
 	\end{multicols}
 	\setlength{\multicolsep}{\parskip}
 	\begin{multicols}{2}
 		Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалентности. Для этого нужно доказать, что $\exists s\colon P\to P$, что $gf-\id_P=sd+ds$ (в другую сторону точно так же).
 
 		Обозначим $gf\defeq h$. Заметим, что $\varepsilon h=\varepsilon gf=\tau f=\varepsilon$, поэтому $\varepsilon(h_0-\id_{P_0})=0$. Поэтому $\im(h_0-\id_{P_0})\subseteq\ker\varepsilon\colon P_1\to\ker\varepsilon$. Из проективности $P_0$ существует $s_1\colon P_0\to P_1$. Из коммутативности всех треугольников получается $h_0-\id_{P_0}=d_0s_1$ (все $P_i=0,i<0$, так что $s_0d_{-1}=0$).
 
 		\columnbreak
 		\vspace*{\fill}
 		\noindent\begin{center}
 			\begin{tikzcd}[cramped,column sep=small, row sep=normal]
 			P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[shift left=0.5em,sloped]{dd}{h_1-\id_{P_1}}\ar[color=coolblack, sloped,swap,shift right=0.25em]{dd}{h_1-\id_{P_1}-s_1d_0}\ar[color=coolblack]{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_2} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar[sloped]{dd}{h_0-\id_{P_0}}\ar{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_1} &   \\
 			&  &            &  &     & M \\
 			P_2\ar{rr}{d_1}\ar[two heads]{rd}& & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[two heads]{rd} & &
 			P_0\ar[two heads]{ru}{\varepsilon} & \\
 			& \ker d_0\ar[color=coolblack,hook]{ur}& & \ker\varepsilon\ar[hook]{ur} & &
 			\end{tikzcd}
 		\end{center}
 		\vspace*{\fill}
 	\end{multicols}
 	Далее нужно найти $s_2\colon P_1\to P_2$, что $h_1-\id_{P_1}=s_1d_0+d_1s_2$. Заметим, что $d_0(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)=d_0h_1-d_0-d_0s_1d_0=h_0d_0-d_0-(h_0-\id_{P_0})d_0=0$ (первое слагаемое из того, что $h$~-- это морфизм комплексов). Аналогично случаю для $\varepsilon$ $\im(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)\subseteq\ker d_0$. Поэтому есть стрелка $P_1\to\ker d_0$, поэтому из проективности $P_1$ существует $s_2\colon P_1\to P_2$. Далее аналогично.
 	\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
 \end{proof}
 \section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функтор \texorpdfstring{$\Tor$}{Tor}}
 {\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
 
 На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}). Кроме того, для решения задач~\ref{Pract1Prob2} и~\ref{Pract1Prob3} понадобится следствие из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits} (c.~\pageref{torpreservesfilteredcolimits}) и факт о том, что группа это копредел конечно порождённых подгрупп.
 
 Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано противоположное. Если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
 
 \begin{enumerate}[start=0]
 	\item\label{Pract1Prob0} Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
 	\begin{itemize}
 		\item $M$ плоский;
 		\item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$;
 		\item $\Tor_n^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$ и любого $n>1$.
 	\end{itemize}
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Рассмотрим короткую точную последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ и длинную точную последовательность для $\Tor_n^R(X,M)=L_n(-\otimes_RM)(X)$.
 		\begin{align*}\hspace{-8em}
 		\cdots\to\Tor_2^R(X,M)\to\Tor_1^R(K_X,M)\to\Tor_1^R(P,M)\to\Tor_1^R(X,M)\to K_X\otimes_RM\to P\otimes_RM\twoheadrightarrow X\otimes_RM
 		\end{align*}
 		Пусть $M$ точный, тогда $K_X\otimes_RM\hookrightarrow P\otimes_RM$ мономорфизм. Из точности длинной последовательности $\Tor_1^R(X,M)=0$. Если $\Tor_1^R(X,M)=0$, то $K_X\otimes_RM\hookrightarrow P\otimes_RM$ мономорфизм, то есть $M$ плоский.
 
 		Заметим, что $\Tor_1^R(K_X,M)=0$. Кроме того, $\Tor_n^R(P,M)=0$ (производный функтор от проективного модуля). Поэтому $\Tor_2^R(X,M)\hookrightarrow\Tor_1^R(K_X,M)=0$ мономорфизм. Поэтому $\Tor_2^R(X,M)=0$. В обратную сторону так же. Дальше аналогично.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract1Prob1} Пусть $A$~-- абелева группа. Вычислите $\Tor_n^\Z(\Z/m\Z,A)$ для всех $m,n>0$.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		$\Z\overset{\cdot m}{\hookrightarrow}\Z\twoheadrightarrow\Z/m\Z$~-- короткая точная последовательность для $\Z/m\Z$.
 
 		\[
 		0=\Tor_1^R(\Z,A)\to\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)\to A\to A\twoheadrightarrow\Z/m\Z\otimes_{\Z}A
 		\]
 		Все старшие торы, понятно, нулевые: кусок последовательности \[\overset{0=}{\Tor_n^R(\Z,A)}\to\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)\hookrightarrow\overset{=0}{\Tor_{n-1}^R(\Z,A)}\text{, }\] поэтому $\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)=0,\,n>1$.
 
 		$\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\cdot m)\otimes1}{\longrightarrow}\Z\otimes_{\Z}A)$. В ядро попадают все элементы $a\in A$, что $ma=0$.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract1Prob2} Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Из задачи~\ref{Pract1Prob1}, аддитивности $\Tor$ и устройства конечно порождённых $\Z$-модулей знаем, что это правда для всех конечно порождённых. Для произвольной группы воспользуемся тем, что любая абелева группа~-- фильтрованный копредел своих конечно порождённых подгрупп и следствием из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits}. Копредел групп кручения~-- тоже группа кручения, потому что это коядро прямой суммы групп кручения (прообраз был конечного порядка, значит, и исходный элемент конечного порядка, см. с~\pageref{colimitinRMod}).
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
 		\begin{enumerate}
 			\item[$\Leftarrow$] Абелева группа~-- копредел своих конечно порождённых подгрупп, все они имеют вид $\Z^m$ для какого-то $m$. Для любого модуля $X$ $\Tor^{\Z}_1(X,\Z^m)=0$, поэтому $\Tor^{\Z}_1(X,A)=0$, поэтому $A$~-- плоский модуль.
 			\item[$\Rightarrow$] Если $A$~-- плоский модуль, то для любой группы $\Z/m\Z$ $\Tor_1^{\Z}(\Z/m\Z,A)=0=\{a\in A\,|\,ma=0\}$.
 		\end{enumerate}
 	\end{proof}
 	\item Докажите, что $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\cong\{a\in A|\exists m\ne 0\colon ma=0\}$.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Рассмотрим короткую точную последовательность $\Z\hookrightarrow\Q\twoheadrightarrow\Q/\Z$. Из неё получается длинная точная последовательность
 		\[
 		\cdots\to\Tor_1^\Z(\Q,A)\to\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\to\Z\otimes A\to\Q\otimes A\twoheadrightarrow \Q/\Z\otimes A
 		\]
 		$\Q$ свободна от кручения, поэтому она плоская, так что $\Tor_1^\Z(\Q,A)=0$, поэтому $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)$~-- ядро отображения $A\to\Q\otimes A$, отправляющее $a$ в $1\otimes a$. Понятно, что ядро этого отображения содержит кручение.\todo{Непонятно, почему в другую сторону работает}
 	\end{proof}
 	\item Пусть $A$~-- абелева $m$-группа. Вычислите $\Tor_n^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)$ для всех $n\ge 0$ и $d|m$.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		$m=d'd$.
 
 		Запишем $\Z/m\Z$-проективную резольвенту $\Z/d\Z$
 		\[\cdots\to\Z/m\Z\overset{\cdot d'}{\to}\Z/m\Z\overset{\cdot d}{\to}\Z/m\Z\twoheadrightarrow\Z/d\Z\]
 		и применим $-\otimes_{\Z/m\Z}A$.
 		\[\cdots\overset{\cdot d}{\to}A\overset{\cdot d'}{\to}A\overset{\cdot d}{\to}A\]
 		$\Tor_0^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=A/dA$. $\Tor_{2k+1}^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=\frac{\{a\,|\,da=0\}}{d'A}$. $\Tor_{2k}^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=\frac{\{a\,|\,d'a=0\}}{dA}$.
 	\end{proof}
 	\item Докажите, что $\Tor_1^R(R/I,R/J)\cong\frac{I\cap J}{IJ}$ для любых двусторонних идеалов кольца $R$.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 	Запишем длинную точную последовательность для $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$.
 	\[\underset{=0}{\Tor_1^R(R,R/J)}\to\Tor_1^R(R/I,R/J)\hookrightarrow I\otimes_RR/J\overset{f}{\to}R\otimes_RR/J\]
 	$\Tor_1^R(R/I,R/J)=\ker f$. Ну и почти очевидно, что оно равно $\frac{I\cap J}{IJ}$ ($I\cap J$ уходит в 0, но элементы $IJ$ уже 0).
 	\end{proof}
 	\item Докажите, что $\Tor_{n+1}^R(R/I,X)\cong\Tor_n^R(I,X)$ для любых правого идеала $I$, левого модуля $X$ и любого $n\ge 1$.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Очень простое следствие из комментария к теореме~\ref{LESforleftderivedfunctors} (см. с.~\pageref{LFkernelcomment}) для короткой точной последовательности $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract1Prob8} Пусть $0\to A\to B\to C\to 0$~-- короткая точная последовательность модулей с плоским $C$. Докажите, что $A$ плоский тогда и только тогда, когда $B$ плоский.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Вспомним, что $\Tor_n^R(X,M)=L_n(-\otimes_RM)(X)=L_n(X\otimes_R-)(M)$. Запишем кусок длинной точной последовательности.
 		\[\cdots\to\Tor_2^R(X,C)\to\Tor_1^R(X,A)\to\Tor_1^R(X,B)\to\Tor_1^R(X,C)\to\cdots\]
 		Несколько раз применяем задачу~\ref{Pract1Prob0}.
 	\end{proof}
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября}
 \begin{Def}\index{Точный слева функтор}\index{Точный справа функтор}\index{Точный функтор}
 	$\mathcal{A},\mathcal{B}$~-- абелевы категории (например, категории модулей). Аддитивный ковариантный функтор $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ в $\mathcal{A}$ последовательность $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ в $\mathcal{B}$ точная справа (соотв. точная слева, точная).
 
 	Контравариантный функтор называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если соответствующий ковариантный функтор $\mathcal{A}^{\op}\to\mathcal{B}$ точный справа (соотв. точный слева, точный).
 \end{Def}
 \begin{stmt}[обобщение утверждения~\ref{projresolutionequivce}]\label{resolmorphism} $f\colon M\to N$~-- морфизм.
 	$P\overset{\varepsilon}{\to} M$ и $Q\overset{\tau}{\to} N$~-- проективные резольвенты. Тогда существует единственный с точностью до гомотопической эквивалентности морфизм комплексов $f_*\colon P\to Q$, что $\tau f_0=f\varepsilon$.
 \end{stmt}
 Доказывается собственно точно так же.
 \begin{Def}\index{Производный функтор}
 	$F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (ковариантный аддитивный) точный справа функтор. Определим $i$-й производный функтор $(L_iF)(\cdot)$ так: пусть $M\in\mathrm{Mod\mdash}R$, $P_*\to M$~-- проективная резольвента. Тогда $(L_iF)(M)\defeq H_i(F(P_*))$.
 
 	Так как проективные резольвенты эквивалентны\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$F(P_*)$~-- комплекс, потому что $F(d_i)F(d_{i+1})=F(d_id_{i+1})=F(0)=0$ (так что $\im Fd_{i+1}\subseteq\ker Fd_i$).\end{flushleft}} с точностью до гомотопической эквивалентности, а они квазиизоморфизмы, определение корректно (с точностью до изоморфизма).
 
 	$f\colon M\to N$~-- гомоморфизм. $P_*\to M$ и $Q_*\to N$~-- проективные резольвенты. По утверждению~\ref{resolmorphism} существует $f_*\colon P_*\to Q_*$, а поэтому существует $Ff_*\colon FP_*\to FQ_*$, поэтому определено $(L_iF)f=H_iFf_*\colon (L_iF)(M)\to (L_iF)(N)$. По утверждению~\ref{resolmorphism} $f_*$ для разных резольвент гомотопически эквивалентны, из аддитивности $F$ их $F$-образы тоже, поэтому $(L_iF)f$ не зависит от выбора $f_*$.
 \end{Def}
 Точность справа здесь (пока что) нигде не используется. Но из нее можно сказать, что (так как $F(P_1)\to F(P_0)\twoheadrightarrow F(M)$) $(L_0F)(M)=F(M)$ для любого $M$.
 
 Левые производные функторы можно определить не только для функторов между категориями модулей, но и между любыми абелевыми категориями $\mathcal{A}\to\mathcal{B}$, если в $\mathcal{A}$ \textit{достаточно проективных объектов(enough projectives)} (то есть если $\forall A\in\mathcal{A}$ существует проективный $P\in\mathcal{A}$ и $P\twoheadrightarrow A$ (утверждение~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules} как раз об этом)).
 \begin{thm}[о длинной точной последовательности]\label{LESforleftderivedfunctors}
 	$X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$~-- короткая точная последовательность в $\mathrm{Mod\mdash}R$. Тогда существует длинная точная последовательность
 	\[
 	\cdots\to(L_2F)Z\overset{\partial}{\to}(L_1F)X\to(L_1F)Y\to (L_1F)Z\overset{\partial}{\to} FX\to FY\twoheadrightarrow FZ
 	\]
 	$\partial$ называется \textbf{связующим гомоморфизмом}.
 
 	Более того, если есть морфизм коротких точных последовательностей
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 		X\ar[hook]{r}\ar[]{d} & Y\ar[two heads]{r}\ar[]{d} & Z\ar[]{d} \\
 		X'\ar[hook]{r} & Y'\ar[two heads]{r} & Z'
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	то в длинных точных последовательностях все квадраты коммутируют
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
 	\cdots\ar{r}\ar{d} & (L_2F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & (L_1F)X\ar{r}\ar{d} & (L_1F)Y\ar{r}\ar{d} & (L_1F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & FX\ar{r}\ar{d} &  FY\ar[two heads]{r}\ar{d} & FZ\ar{d} \\
 	\cdots\ar{r} & (L_2F)Z'\ar{r}{\partial'} & (L_1F)X'\ar{r} & (L_1F)Y'\ar{r} & (L_1F)Z'\ar{r}{\partial'} & FX'\ar{r} &  FY'\ar[two heads]{r} & FZ'
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{thm}
 Для доказательства понадобится несколько (в целом очень важных) лемм.
 \begin{lemma}[о змее]\index{Лемма о змее}\label{snakelemma} Пусть такая диаграмма коммутативна
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 		A\ar{r}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar{d}{g}& C\ar{d}{h}\\
 		X\ar[hook]{r}{i} & Y\ar[r] & Z
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	Верхняя строчка точна в $B$ и $C$, нижняя строчка точна в $X$ и $Y$.
 
 	Тогда $\exists \partial\colon\ker h\to\coker f$, что последовательность
 	\[
 	\ker f\to\ker g\to\ker h\overset{\partial}{\to}\coker f\to\coker g\to\coker h
 	\]
 	точна. Более того, если $A\to B$ мономорфизм, то последовательность точна в $\ker f$. А если $Y\to Z$ эпиморфизм, то последовательность точна в $\coker h$. $\partial$ определяется так: $\ker h\ni c\mapsto i^{-1}gp^{-1}(c)\in\coker f$.
 \end{lemma}
 Техника в доказательстве этой леммы называется ``diagram chasing''. Смысл в том, что мы берем элемент из начала и прогоняем его по стрелкам в диаграмме до конца. Так и строится нужный гомоморфизм.
 \setlength{\multicolsep}{\parskip}
 \begin{proof}
 	\begin{multicols}{2}
 		Берем $x\in\ker h\subseteq C$.
 
 		$p$~-- сюрьекция, поэтому $\exists x'\in p^{-1}(x)$. $x''=g(x')$.
 		\[\beta(x'')=\beta g(x')=hp(x')=h(x)=0\] (т.к. $x\in\ker h$). Поэтому $\exists x'''\in i^{-1}(x'')$.
 
 		Это отображение не зависит от выбора: $i$ мономорфизм, поэтому $x'''$ единственный. $p^{-1}(x)=x'+\ker p=x'+\im\alpha$ (из точности в $B$).
 
 		\columnbreak
 		\noindent{\scriptsize(отождествим $\ker h$ с подмодулем в $C$ для простоты)}
 		\vspace*{\fill}
 		\noindent\begin{center}
 			\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
 			\ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r}\ar[draw=none]{ddd}[name=G, anchor=center]{} &\ker h\ar[hook]{d}%\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial}\\
 			\ar[rounded corners,%color=silver,
 			to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
 				|- (G.center) \tikztonodes
 				-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
 				-- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial} \\
 			A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[crossing over,near start]{d}{g}& C\ar[crossing over,near start]{d}{h}\\
 			X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[two heads]{d} & Z\ar[two heads]{d}\\
 			\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
 			\end{tikzcd}
 		\end{center}
 		\vspace*{\fill}
 	\end{multicols}
 	$i^{-1}g(x'+\im\alpha)=i^{-1}g(x')+i^{-1}\im if=i^{-1}g(x')+\im f$ ($i$~-- инъекция). Поэтому результат лежит в одном классе в $\coker f$.
 
 	\todo{Получающаяся последовательность действительно точна}
 
 	Это действительно гомоморфизм (по формуле).
 
 	Если $A\rightarrow B$~-- мономорфизм, то и $\ker f\to\ker g$~-- мономорфизм. Если $Y\rightarrow Z$~-- эпиморфизм, то и $\coker g\to\coker h$~-- эпиморфизм.
 	\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
 
 	На самом деле построенное отображение $\partial$ функториально в таком смысле: если есть морфизм диаграмм (диаграмм из условия), то квадрат с получающимися морфизмами $\partial$ и $\partial'$ коммутирует:
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
 		\ker h\ar{d}\ar{r}{\partial} & \coker f\ar{d}\\
 		\ker h'\ar{r}{\partial'}& \coker f'
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{proof}
 \begin{fivelemma}[\hypertarget{fivelemma}{которой не было на лекции}]\index{5-лемма}
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 	A\ar{d}{a}\ar{r}  & B\ar{d}{b}\ar{r}  & C\ar{d}{c}\ar{r}  & D\ar{d}{d}\ar{r}  & E\ar{d}{e} \\
 	A'\ar{r} & B'\ar{r} & C'\ar{r} & D'\ar{r} & E' \\
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	Если такая диаграмма с точными строками коммутативна, то
 	\begin{itemize}\setlength\itemsep{0.0em}
 		\item если $b,d$~-- мономорфизмы и $a$~-- эпиморфизм, то $c$~-- мономорфизм.
 		\item если $b,d$~-- эпиморфизмы и $e$~-- мономорфизм, то $c$~-- эпиморфизм.
 		\item (если $a,b,d,e$~-- изоморфизмы, то $c$~-- изоморфизм).
 	\end{itemize}
 \end{fivelemma}
 \begin{lemma}[\hypertarget{horseshoe}{о подкове}]\label{horseshoelemma}\index{Лемма о подкове}
 	В диаграмме c проективными $P,Q$ и точной нижней (ну и верхней, понятно, тоже) строкой
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
 		P\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r} & P\oplus Q\ar[two heads]{r} & Q\ar[two heads]{d}\\
 		X\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r} & Z
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	существует $P\oplus Q\twoheadrightarrow Y$, что все квадраты коммутируют.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Определим $P\to Y$ просто как композицию. Из проективности $Q$ существует отображение $Q\to Y$. Из универсального свойства прямой суммы получается отображение $P\oplus Q\to Y$. Из \hyperlink{fivelemma}{5-леммы} получается, что это эпиморфизм.
 \end{proof}
 \begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}.]
 	Обозначим $K_X$ ядро понятного из контекста (надеюсь!) морфизма в $X$. Рассмотрим такую диаграмму(слева) и применим к ней функтор $F$(точный справа!):
 	\begin{multicols}{2}
 		\[
 		\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
 		K_X\ar[hook]{d}\ar[hook]{r} & K_Y\ar[hook]{d}\ar[two heads]{r} &K_Z\ar[hook]{d} \\
 		P\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P\oplus Q\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d}& Q\ar[two heads]{d}\\
 		X\ar{d}\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r}& Z\\
 		0 & &
 		\end{tikzcd}
 		\]
 		\columnbreak
 		\[
 		\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
 		K_{FK_X}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d} \\
 		FK_X\ar{d}\ar{r} & FK_Y\ar{d}\ar[two heads]{r} &FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{d} \\
 		FP\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & FP\oplus FQ\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d}& FQ\ar[two heads]{d}\\
 		FX\ar{r} & FY\ar[two heads]{r}& FZ
 		\end{tikzcd}
 		\]
 	\end{multicols}
 	\setlength{\multicolsep}{\parskip}
 	\begin{multicols}{2}
 		Так как $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ точно, по лемме о змее $K_Y\twoheadrightarrow K_Z$ будет эпиморфизмом, поэтому к диаграмме справа сверху можно применить лемму о змее. По ней существует стрелка $K_{FK_Z}\to FX$. Убедимся, что $K_{FK_Z}=(L_1F)Z$.
 
 		$\cdots\to Q_2\to Q_1\to Q\twoheadrightarrow Z$~-- проективная резольвента $Z$. Напомню, что проективная резольвента точна, так что $K_Z=\ker(Q\twoheadrightarrow Z)=\coker(Q_1\to Q_0)$. $F$~-- точный справа, поэтому $FK_Z=\coker Fd_1$.
 
 		Отображение $FK_Z\to FQ$ распадается в $FK_Z\twoheadrightarrow\im Fd_0\hookrightarrow FQ$, то есть $K_{FK_Z}\hookrightarrow FK_Z\twoheadrightarrow\im Fd_0$. По \hyperlink{homologyincomplex}{удивительному факту о комплексах} на стр. \pageref{page_homologyincomplex}, получается, что $K_{FK_Z}=H_1FQ_*=(L_1F)Z$.
 		\columnbreak
 		\[
 		\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 		                         & \vdots\ar{d}\\
 		\im Fd_1\ar[hook]{d} & \ar[two heads]{l}FQ_2\ar{dd}{Fd_1}\\
 		\ker Fd_0\ar[hook]{dr}\ar[two heads]{d}{} & \\
 		K_{FK_Z}\ar[hook]{d} & FQ_1\ar{dd}{Fd_0}\ar[two heads]{dl}\\
 		FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{dr} & \\
 		    & FQ\ar[two heads]{d}\\
 		    & FZ
 		\end{tikzcd}
 		\]
 	\end{multicols}
 	Аналогично продолжаем для диаграммы
 	\[
 		\begin{tikzcd}[cramped, sep=small]
 		K'_X\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}&K'_Y\ar[two heads]{r}\ar[hook]{d}&K'_Z\ar[hook]{d}\\
 		P_1\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P_1\oplus Q_1\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d} & Q_1\ar[two heads]{d}\\
 		K_X\ar[hook]{r}\ar{d}& K_Y\ar[two heads]{r}&K_Z\\
 		0 & & \\
 		\end{tikzcd}
 	\]
 	\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
 \end{proof}
 \label{LFkernelcomment}Из доказательства также получается, что если $Q_*\to Z$~-- проективная резольвента $Z$ и $K_Z=\ker(Q_0\twoheadrightarrow Z)$, то $(L_iF)K_Z=(L_{i+1}F)Z$.
 
 Если $G$~-- контравариантный точный слева функтор, то таким же образом строится $(R_nG)M=H_nGP_*$, если $P_*\to M$~-- проективная резольвента.
 
 Итак, пусть $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to \mathrm{Mod\mdash}S$. Тогда $L_iF$ удовлетворяют следующим свойствам:
 \begin{enumerate}
 	\item \label{derfunct_prop_begin}$L_0F=F$
 	\item \label{derfunct_prop_middle}Для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ строится длинная точная последовательность как в теореме~\ref{LESforleftderivedfunctors}.
 	\item \label{derfunct_prop_end} $(L_iF)P=0\,\forall n\ge 1$, если $P$ проективен (действительно $\cdots\to 0\to P\to 0\to\cdots$~-- проективная резольвента $P$).
 \end{enumerate}
 Оказывается, это работает как ``аксиоматическое'' определение производных функторов.
 \begin{thm}
 	Если $T_n$ удовлетворяет свойствам (\ref{derfunct_prop_begin}-\ref{derfunct_prop_end}), то $T_n\cong L_nF$ для некоторого точного справа функтора $F$.
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	Для любого модуля $X$ найдется точная последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ с проективным $P$.
 	По пункту~\ref{derfunct_prop_end} для нее существует длинная точная последовательность
 	\[
 	\cdots \to T_2P\to T_2X\to T_1K_X\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX
 	\]
 	По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Далее из куска последовательности $\overset{=0}{T_nP}\to T_{n}X\to T_{n-1}K_X\to\overset{=0}{T_{n-1}P}$ по индукции получаем, что $T_{n}X\cong T_{n-1}K_X\cong(L_{n-1}F)K_X\cong(L_nF)X$. Из конструкции длинной точной последовательности (теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}) изоморфизм получается естественный.
 \end{proof}
 \section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 2: плоские конечно представимые модули}
 Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль (определение~\ref{def_injmodule}) и несколько фактов:
 \begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]\label{page_projinjdef}
 	$R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{rr}{\Hom_R(X,\pi)}&&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
 
 	Двойственно, $R$-модуль $X$ инъективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный слева) контравариантный функтор $\Hom_R(-,X)$ точный.
 \end{fact}
 \begin{fact}[\hypertarget{homologyincomplex}{Комплекс распадается в набор коротких точных последовательностей}]\label{page_homologyincomplex}
 Рассмотрим кусок комплекса
 \[
 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 \cdots\ar{r} & C_{i+1}\ar{rrr}{d_i}\ar[two heads]{rd} &&& C_i\ar{rrr}{d_{i-1}}\ar[two heads]{rd}\ar[two heads,labels=description]{rrd}{\small(1)} &&& C_{i-1}\ar{r}{d_{i-2}} &\cdots\\
                &  & \im d_i\ar[hook]{r}&\ker d_{i-1}\ar[hook]{ur}\ar[two heads,labels=description]{rd}{\small(3)} &  &\coker d_i\ar[two heads,swap]{r}{(2)} & \im d_{i-1}\ar[hook]{ur}& & \\
  &&&& H_i\ar[hook,labels=description]{ur}{(4)}
 \end{tikzcd}
 \]
 Каждое отображение разбивается в композицию $C_{i+1}\twoheadrightarrow\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\hookrightarrow C_{i}$. $H_i$ по определению $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Последовательность $\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\twoheadrightarrow H_i$.
 
 $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна.
 
 Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker d_{i-2}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker d_{i-2}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.\marginpar{\vspace{-2em}\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
 \end{fact} %\vspace*{1em}
 
 На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако, неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу~\ref{Pract1Prob3}), но он не проективен.\todo{почему}
 
 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(f\cdot r)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$. Это действительно модуль: $((f\cdot r)\cdot r')(a)=(f\cdot r)(r'a)=f(rr'a)=(f\cdot(rr'))(a)$. Остальные свойства должны быть совсем понятные.\marginpar{\tiny\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Module_homomorphism\#Module_structures_on_Hom}{вспомните, как задаётся структура модуля на $\Hom$}}
 
 \begin{enumerate}
 	\item\label{Pract2Prob1} Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$).
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
 	\begin{itemize}
 		\item[$\Rightarrow$] Если $A=0$, то из $A$ есть единственный нулевой морфизм в $\Q/\Z$.
 		\item[$\Leftarrow$] Если $x\in A$, то по определению инъективности для любого $f\colon\langle x\rangle\to\Q/\Z$ (выберем ненулевое, например, см. с.~\pageref{submoduleinjection_QZ}) и вложения $\langle x\rangle\hookrightarrow A$ существует $A\to\Q/\Z$, пропускающее $f$. Но единственное отображение $A\to\Q/\Z$~-- это $0$. Противоречие.
 	\end{itemize}
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract2Prob2} Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Последовательность точная, значит, $H_i=0$ во всех членах. Применение звездочки применяет ее и к ядрам, коядрам и гомологиям, поэтому $H_i^*=0$ по задаче~\ref{Pract2Prob1}.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract2Prob3} Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль\index{Конечно представимый модуль}~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
 	\item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		$M$~-- плоский конечно представимый. Проверим, что $\Hom(M,-)$ точный справа (тогда $M$ будет проективным). Пусть $X\twoheadrightarrow Y$~-- эпиморфизм. Тогда $Y^*\hookrightarrow X^*$~-- мономорфизм из задачи~\ref{Pract2Prob2}. Так как $M$ плоский, $Y^*\otimes_RM\hookrightarrow X^*\otimes_RM$ тоже мономорфизм. Применим к обоим модулям изоморфизм из задачи~\ref{Pract2Prob3}:
 		\[\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 			Y^*\otimes_RM\ar[hook]{r}\ar{d}{\cong} & X^*\otimes_RM\ar{d}{\cong}\\
 			\Hom_R(M,Y)^*\ar[hook]{r} & \Hom_R(M,X)^*
 		\end{tikzcd}\]
 		Опять из задачи~\ref{Pract2Prob2} $\Hom_R(M,X)\twoheadrightarrow\Hom_R(M,Y)$ эпиморфизм.
 	\end{proof}
 \end{enumerate}
 \section{Функтор \texorpdfstring{$\Tor$}{Tor}}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{torfunctor}
 \subsection{Его определение}
 \begin{Def}
 	$F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bfseries $F$-ацикличным}, если $(L_iF)T=0\,\forall i>0$.
 \end{Def}
 \begin{lemma}\label{acyclicres}
 	$T_*\to X$~-- $F$-ацикличная резольвента (то есть резольвента, где все модули $F$-ацикличные). Тогда $(L_nF)X\cong H_nFT_*$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Рассмотрим последовательность $K_X\hookrightarrow T_0\twoheadrightarrow X$ и запишем для нее длинную точную последовательность:
 	\[
 	\cdots\to L_1FK_X\to \overset{=\{0\}}{L_1FT_0}\to L_1FX\to FK_X\to FT_0\twoheadrightarrow FX
 	\]
 	$L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X,\,i\ge1$.
 \end{proof}
 \begin{Def}\label{def_flatmodule}\index{Плоский модуль}
 	$R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $-\otimes_RX$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
 \end{Def}
 \begin{Def}
 	$U_*,V_*$~-- комплексы, $f\colon U_*\to V_*$~-- морфизм комплексов. {\bfseries Конусом $f$} $\Cone(f)$ называется комплекс $U_*[-1]\oplus V_*$ \marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{shiftedcomplex}} с дифференциалом $\begin{pmatrix}
 	d^{U[-1]} & 0\\
 	f & d^{V}
 	\end{pmatrix}$. Это действительно комплекс:\marginpar{\vspace{3em}\tiny напишите если вы можете поправить это страшное уродство}\[
 	\begin{pmatrix}
 	d^{U[-1]} & 0\\
 	f & d^{V}
 	\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
 	d^{U[-1]} & 0\\
 	f & d^{V}
 	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 	-d^{U} & 0\\
 	f & d^{V}
 	\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
 	\left(d^{U}\right)^2 & 0\\
 	\underset{\mathclap{\substack{\text{0 по определению}\\\text{морфизма}\\\text{комплексов}}}}{-fd^U+d^Vf} & \left(d^{V}\right)^2
 	\end{pmatrix}=0
 	\]
 \end{Def}
 \begin{lemma}\label{acycliciffqis}
 	$f\colon U_*\to V_*$~-- цепное отображение. Тогда $f$~-- квазиизоморфизм $\iff\Cone(f)$ ацикличен\marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{acycliccomplex}}.
 \end{lemma}
 Заметим, что существует короткая точная последовательность комплексов $V_*\hookrightarrow\Cone(f)\twoheadrightarrow U_*$. Эту лемму можно доказать применением два раза леммы о змее к этой короткой точной последовательности, но нужно понять, что связующий гомоморфизм это в точности $f$. На лекции рассказывали другое доказательство.
 \begin{proof}[Доказательство (рабоче-крестьянское).] Обозначим дифференциал в $\Cone(f)$ как $d$.
 	$$d_{n}=\begin{pmatrix}
 	-d^{U}_{n-1} & 0\\
 	f_n & d^{V}_n
 	\end{pmatrix}$$
 	Запишем условие ацикличности: $\ker d_{n-1}\subseteq\im d_n$, то есть пусть $U_{n-1}\oplus V_n\ni(u,v)\in \ker d_{n-1}\iff d^U_{n-2}(u)=0$ и $f_{n-1}(u)+d^V_{n-1}(v)=0$. $(u,v)$ также лежит в образе, значит, $\exists(u',v')\in U_n\oplus V_{n+1}\colon u=-d^U_{n-1}(u')$ и $v=f_n(u')+d^V_n(v')$.
 
 	$f$~-- квазиизоморфизм, то есть $H_n(f)$~-- мономорфизм и эпиморфизм.
 
 	$H_{n-1}(f)$~-- мономорфизм, значит (см. диаграмму к доказательству утв.~\ref{homologyisafunctor}), ядро отображения $\ker d^U_{n-2}\to\ker d^V_{n-2}\twoheadrightarrow H_nV_*$ это в точности $\im d^U_{n-1}$. То есть, если $u\in\ker d_{n-2}^U$ такой, что $\exists v\in V_{n-1}\colon f_{n-1}(u)=d^V_{n-1}(v)$ (то есть ушел в 0 на стрелке $\ker d^U_{n-2}\to H_{n-1}V_*$), то $\exists u'\in U_{n}$, что $u=d^U_{n-1}(u')$ (то есть он граница).
 
 	$H_n(f)$~-- эпиморфизм, значит, $\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1}\twoheadrightarrow H_nV_*$ эпиморфизм, значит, отображение $\ker d^U_{n-1}\twoheadrightarrow\ker d^V_{n-1}$ эпиморфизм, то есть если $v\in\ker d_{n-1}^V$, то $\exists u\in\ker d_{n-1}^U\colon f_n(u)=v$.
 
 	Видно, что условие про $u$~-- это (c точностью до знака) условие на мономорфность, а условие на $v$~-- это условие на эпиморфность с точностью до границы.
 \end{proof}
 \begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}\index{$\Tor$}
 	Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. Функтор $\Tor$~-- это $\Tor_n^R(A,B)\defeq L_n(-\otimes_R B)(A)$.
 \end{Def}
 Для доказательства фактов про $\Tor$ нужно еще несколько определений.
 \begin{Def}[тензорное произведение комплексов]\index{Тензорное произведение комплексов}
 	$U_*$~-- комплекс $\mathrm{{Mod}\mdash}R$, $V_*$~-- комплекс $R\mathrm{\mdash{Mod}}$. {\bfseries Тензорным произведением комплексов} $U_*\otimes_R V_*$ называется комплекс с \[(U_*\otimes_R V_*)_n\defeq\bigoplus_{i+j=n}(U_i\otimes_RV_j)\]
 	Достаточно определить дифференциал на прямом слагаемом: $u\otimes v\in U_i\otimes_RV_j$
 	\[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\defeq\underset{\in U_{i-1}}{d^U_{i-1}(u)}\otimes v+(-1)^iu\otimes \underset{\in V_{j-1}}{d^V_{j-1}(v)}\]
 	\[
 	\begin{tikzcd}[sep=scriptsize]
 		\ddots\ar{r}\ar{d}& \vdots\ar{d}\ar{r}& \vdots\ar{d}\ar{r} &\vdots\ar{d}\ar{r} & \adots\ar{d} \\
 		\cdots\ar{r}\ar{d} & X_{i+1,j+1}\ar{r}{d^{X,h}_{i,j+1}}\ar{d}{d^{X,v}_{i+1,j}} & X_{i,j+1}\ar{d}{d^{X,v}_{i,j}}\ar{r}{d^{X,h}_{i-1,j+1}} & X_{i-1,j+1}\ar{d}{d^{X,v}_{i-1,j}}\ar{r} &\cdots\ar{d}\\
 		\cdots\ar{r}\ar{d} & X_{i+1,j}\ar{r}{d^{X,h}_{i,j}}\ar{d}{d^{X,v}_{i+1,j-1}} & X_{i,j}\ar{d}{d^{X,v}_{i,j-1}}\ar{r}{d^{X,h}_{i-1,j}} & X_{i-1,j}\ar{r}\ar{d}{d^{X,v}_{i-1,j-1}}&\cdots\ar{d}\\
 		\cdots\ar{r}\ar{d}& X_{i+1,j-1}\ar[swap]{r}{d^{X,h}_{i,j-1}}\ar{d}& X_{i,j-1}\ar{d}\ar[swap]{r}{d^{X,h}_{i-1,j+1}}&X_{i-1,j-1}\ar{r}\ar{d}&\cdots\ar{d}\\
 		\adots\ar{r} & \vdots\ar{r} & \vdots\ar{r} &\vdots\ar{r} &\ddots
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{Def}
 \begin{Def}[альтернативное определение~-- через двойной комплекс]\index{Двойной комплекс}
 	{\bfseries Двойной комплекс}~-- это набор $\{X_{i,j}\}$ с ``вертикальными'' ($d^{X,v}_{i,j}\colon X_{i,j+1}\to X_{i,j}$) и ``горизонтальными'' ($d^{X,h}_{i,j}\colon X_{i+1,j}\to X_{i,j}$) дифференциалами, что оно комплексы в каждых вертикали и горизонтали и все квадраты либо коммутируют, либо антикоммутируют (то есть $d^{X,h}_{i,j}d^{X,v}_{i+1,j}+d^{X,v}_{i,j}d^{X,h}_{i,j+1}=0$).
 
 	\marginpar{\scriptsize Если не предполагать, что квадраты антикоммутируют, то в определении дифференциала должны быть знаки.}Для двойного комплекса $X_{*,*}$ с антикоммутирующими квадратами определим {\bfseries полный комплекс}\index{Полный комплекс} как $\Tot(X_{*,*})_n=\bigoplus_{i+j=n}X_{i,j}$ с дифференциалом $d^{\Tot(X_{*,*})}=d^{X,h}+d^{X,v}$.
 
 	Тогда определим $X_{i,j}=U_i\otimes_RV_j$ и $U_*\otimes_RV_*=\Tot(X_{*,*})$.
 \end{Def}
 \begin{thm}
 	$A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. $P_*\twoheadrightarrow A$ (как правый модуль), $Q_*\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} B$ (как левый модуль)~-- проективные резольвенты. Тогда $\Tor_n^R(A,B)=H_n(P_*\otimes_RQ_*)$.
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	По определению, $\Tor_n^R(A,B)=H_n(P_*\otimes_RB)$.
 	\[
 	P_*\otimes_RB=\cdots\to P_2\otimes_RB\to P_1\otimes_RB\to P_0\otimes_RB
 	\]
 	Понятно, что корректно определено $P_*\otimes_RQ_*\overset{\id_P\otimes\varepsilon}{\longrightarrow}P_*\otimes_RB$. Для \[d(\underset{\in P_i}{u},\underset{\in Q_j}{v})=\begin{cases}
 	0 & j>0\\
 	u\otimes\varepsilon(v) &j=0
 	\end{cases}\]
 	Хотим показать, что $\id_P\otimes\varepsilon$~-- квазиизоморфизм. Пользуясь леммой~\ref{acycliciffqis}, проверим, что $\Cone(\id_P\otimes\varepsilon)$ ацикличен.
 
 	$\varepsilon$~-- морфизм комплексов. $\Cone(\varepsilon)$~-- это
 	\[
 	\cdots\overset{-d^Q_2}{\longrightarrow}Q_2\overset{-d^Q_1}{\longrightarrow}Q_1\overset{-d^Q_0}{\longrightarrow}Q_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}B\to0\to\cdots
 	\]
 	Обозначим его за $X$. Почти понятно, что он ацикличен.
 
 	Почти очевидно, что $\Cone(\id_P\otimes\varepsilon)=P_*\otimes_R\Cone(\varepsilon)$.
 
 	Будем доказывать по индукции по длине $P_*$. Это сработает (несмотря на то, что $P_*$ может быть бесконечным), потому что $P_*\otimes_R X$ ограничен справа ($X_i=0,\,i<0$ и $P_i=0,\,i<0$, поэтому $(P_*\otimes_R X)_{i,j}=0,\,i<0,\,j<0$), и в каждой диагональной линии с одинаковой суммой коэффициентов (откуда берутся прямые слагаемые в $\Tot(P_*\otimes_RX)_n$) используется только конечное число $P_i$, так что все $H_n$ можно узнать.
 
 	База: длина $P_*$~-- $1$. Проективные модули~-- плоские, поэтому сохраняют короткие точные последовательности, поэтому $P_0\otimes X$ ацикличен.
 
 	Длина $P_*$~-- $m+1$. \[P_{m+1}\to \underbrace{P_m\to\cdots\to P_1\to P_0\to 0\to\cdots}_{\defeq\bar{P}}\] можно представить как конус $\Cone(P_{m+1}[m]\overset{d^P_m}{\longrightarrow}\bar{P})$ ($P_{m+1}$ интерпретирован как комплекс $\cdots\to0\to P_{m+1}\to0\to\cdots$ ну как раньше).
 
 	Тогда $P_*\otimes_RX=\Cone(P_{m+1}[m]\otimes_RX\to\bar{P}\otimes_RX)$ ациклично: $P_{m+1}[m]\otimes_RX$ так как $P_{m+1}[m]$ длины 1, а $\bar{P}\otimes_RX$ по индукции.
 
 	Доказали, что $\id_P\otimes\varepsilon$ квазиизоморфизм, поэтому $H_n(P_*\otimes_RQ_*)\cong H_n(P_*\otimes_RB)$.
 \end{proof}
 Аналогичным образом доказывается, что $H_n(A\otimes_RQ_*)\cong H_n(P_*\otimes_RQ_*)$, поэтому верно
 \begin{corollary*}
 	$L_n(-\otimes_RB)(A)\cong L_n(A\otimes_R-)(B)\defeq\Tor_n^R(A,B)$.
 \end{corollary*}
 \begin{stmt}\index{Плоский модуль}
 	Левый модуль плоский тогда и только тогда, когда для любого правого модуля $Y$ он $(Y\otimes_R-)$-ациклический.
 \end{stmt}
 \begin{corollary*}
 	Из леммы~\ref{acyclicres} следует, что можно вычислять $\Tor$, используя плоские резольвенты.
 \end{corollary*}
 
 $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
 \section*{Практика 3: гомологические размерности}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 3: гомологические размерности}
 Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективные модули (c.~\pageref{def_injmodule}), функтор $\Ext$ и коммутирование левых производных функторов и фильтрованных копределов (c.~\pageref{derivedfunctorpreservesfcolimits}).
 
 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
 
 Пусть $M$~-- модуль. {\bfseries\itshape Проективной размерностью}\index{Проективная размерность} $M$ называется минимальная длина проективной резольвенты $M$ (то есть такое минимальное $n$, что существует проективная резольвента $P_*$ модуля $M$, для которой выполнено $P_i=0$ для $i>n$). {\bfseries\itshape Инъективной размерностью}\index{Инъективная размерность} $M$ называется минимальная длина инъективной резольвенты $M$, а {\bfseries\itshape плоской размерностью}\index{Плоская размерность} $M$ называется минимальная длина плоской резольвенты $M$. Например, проективная (инъективная, плоская) размерность $M$ равна нулю тогда и только тогда, когда $M$~-- проективный (инъективный, плоский) модуль. Проективная, инъективная и плоская размерности $M$ обозначаются соответственно $\pd_R(M)$, $\id_R(M)$ и $\fd_R(M)$.
 \begin{enumerate}[start=0]
 	\item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
 	\begin{itemize}
 		\item $M$ проективен;
 		\item $\Ext_R^1(M,X)=0$ для любого модуля $X$;\marginpar{\tiny\color{awesome}Обратите внимание на порядок модулей!}
 		\item $\Ext_R^n(M,X)=0$ для любого модуля $X$ и любого $n>0$.
 	\end{itemize}
 	Сформулируйте и докажите аналогичный критерий инъективности модуля $M$.
 	\item Пользуясь критерием Баера, покажите, что $M$ инъективен тогда и только тогда, когда $\Ext_R^1(R/I,M)=0$ для любого левого идеала $I$ кольца $R$.
 	\item\label{pdidfd} Докажите, что
 	\begin{align*}
 	\pd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(M,X)\ne 0\}\text{;}\\
 	\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(X,M)\ne 0\}\text{;}\\
 	\fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_n(X,M)\ne 0\}\text{.}
 	\end{align*}
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Понятно, что $\pd_R(M)\le\sup\{\ldots\}$ (или непонятно\ldots). В другую сторону: заметим, что если есть короткая точная последовательность $K_M\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$ с проективным $P$, то $\pd_R(K_M)=\pd_R(M)-1$. По индукции $\pd_R(K_M)=n$, запишем кусок длинной точной последовательности
 		\[\Ext_R^n(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^n(P,X)}\to\Ext_R^n(K_M,X)\to\Ext_R^{n+1}(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^{n+1}(P,X)}\]
 		Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\todo{потом подробнее напишу}
 	\end{proof}
 	\begin{proof}[Альтернативное решение]\let\qed\relax
 	\end{proof}
 	\item\label{RIid} Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
 	\item\label{gldim} Докажите, что следующие числа равны:
 		\begin{itemize}
 			\item $\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-модуль}\}$;
 			\item $\sup\{\id_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-модуль}\}$;
 			\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Ext_R^n(X,Y)\ne0\}$.
 		\end{itemize}
 		Это число называется (левой) {\bfseries\itshape глобальной размерностью $R$}\index{Глобальная размерность} и обозначается $\gldim(R)$.
 	\item\label{tordim} Докажите, что следующие числа равны:
 	\begin{itemize}
 		\item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}$;
 		\item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- правый }R\text{-модуль}\}$;
 		\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Tor_n^R(X,Y)\ne0\}$.
 	\end{itemize}
 	Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$\marginpar{\scriptsize \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_ring}{вспомните обозначение}} совпадают.
 	\item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshape конечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
 	\item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshape конечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конечно порождённых $M$. В другую сторону докажем более сильное неравенство~-- для однопорождённых модулей. Из задач~\ref{RIid} и \ref{gldim}
 		\[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,M)\ne0\}\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}\]
 		Переставим $\sup$-ы и по задаче~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract3Prob8} Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_R(M)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадают.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Поскольку проективные модули плоские, понятно, что $\fd_R(M)\le\pd_R(M)$.
 
 		Вспомним важное свойство нётерова кольца~-- у него все подмодули конечно порождённого модуля конечно порождены. Конечно порождённые модули~-- это в точности факторы $R^n$, так что у $M$ можно построить плоскую резольвенту из конечно порождённых свободных модулей: $K\hookrightarrow R^n\twoheadrightarrow M$, $K$~-- конечно порождённый. Пусть $\fd_R(M)=k+1$, построим проективную резольвенту такой же длины.
 		\[K\hookrightarrow R^{n_k}\to\cdots\to R^{n_1}\to R^{n_0}\twoheadrightarrow M\]
 		Так как $K$ конечно порожден, над ним тоже можно построить два раза резольвенту из конечно порождённых свободных модулей, так что он еще и конечно представим. Кроме того, он плоский: если это не так, то найдется $X$, что $\Tor_1^R(X,K)\ne0$, а значит, $\Tor_{k+2}^R(X,M)\ne0$, значит $\fd_R(M)>k+1$, противоречие. Из задаче~\ref{flfprisproj} с практики 2 получаем, что он проективный.
 
 		Из задач~\ref{tordim_fdim} и \ref{gldim_fdim} получаем равенство $\Tordim(R)=\gldim(R)$, из задачи~\ref{tordim} получаем равенство $\Tordim(R)=\Tordim(R^{\op})=\gldim(R^{\op})$.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract3Prob9} Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность. Докажите, что $\pd_R(M)\le\max(\pd_R(L),\pd_R(N))$,$\pd_R(N)\le\max(\pd_R(L)+1,\pd_R(M))$ и $\pd_R(L)\le\max(\pd_R(M),\pd_R(N)-1)$. Сформулируйте и докажите аналогичные неравенства для инъективной и плоской размерностей.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Запишем длинную точную последовательность для $\Ext$ из короткой точной последовательности и из задачи~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
 	\end{proof}
 \end{enumerate}
 \subsection{Фильтрованные копределы и производные функторы}
 \begin{Def}\index{Фильтрованная категория}\label{def_filtcat}
 	Малая категория $\mathcal{I}$ называется {\bfseries фильтрованной}, если
 	\begin{enumerate}
 		\item\label{filtcat_p1} $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})\Rightarrow\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$, что
 		\begin{align*}
 			\Hom_\mathcal{I}(i,k)\ne\varnothing\\
 			\Hom_\mathcal{I}(j,k)\ne\varnothing
 		\end{align*}
 		\item\label{filtcat_p2} $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})$ и $f,g\in\Hom_\mathcal{I}(i,j),f\ne g$, то $\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$ и $h\in\Hom_\mathcal{I}(j,k)$, что \[hf=hg\]
 	\end{enumerate}
 	{\bfseries Фильтрованным копределом}\index{Фильтрованный копредел} называется копредел функтора из фильтрованной категории.
 \end{Def}
 \marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
 Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из малой (пока что не обязательно фильтрованной) категории. Вспомним, как устроены его копределы.
 Для $a\in A_i$ обозначим $[\cdot]_i\colon A_i\to\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i$ вложение в копроизведение.\marginpar{\tiny ker ker ker coker ker ker ker coker ker~-- Леди Гага научилась применять лемму о змее}
 \[\label{colimitinRMod}
 \bigoplus_{\phi\colon i\to j}A_i\overset{f}{\to}\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\coker f\text{, где для  }\phi\colon i\to j\text{ и }a\in A_i\,f\colon a\mapsto [a]_i-[(A\phi)(a)]_j\text{.}
 \]
 $\coker f$ и будет копределом $A$.
 
 Рассмотрим функторы $A,B,C\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$ и предположим, что для всех $i\in\Ob\mathcal{I}$ последовательность $A_i\overset{\alpha_i}{\hookrightarrow}B_i\overset{\beta_i}{\twoheadrightarrow}C_i$ точна и для всех $\phi\colon i\to j$ в диаграмме
 \begin{equation}\label{elementsinfilteredcolimit_ses}
 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 	A_i\ar{d}{A\phi}\ar[hook]{r}{\alpha_i} & B_i\ar{d}{B\phi}\ar[two heads]{r}{\beta_i} & C_i\ar{d}{C\phi} \\
 	A_j\ar[hook]{r}{\alpha_j} & B_j\ar[two heads]{r}{\beta_j} & C_j
 \end{tikzcd}
 \end{equation}
 все квадраты коммутируют. Тогда (по построению и лемме о змее) коммутативна следующая диаграмма:
 \begin{equation}\label{colimitdiagram}
 \begin{tikzcd}
 \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}A_i\ar{d}\ar[hook]{r}{\bigoplus\alpha_i} & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}B_i\ar{d}{}\ar[two heads]{r}{\bigoplus\beta_i} & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}C_i\ar{d}{} \\
 \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\ar[two heads]{d}{\pi_A}\ar[hook]{r}{\bigoplus\alpha_i} & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}B_i\ar[two heads]{d}{\pi_B}\ar[two heads]{r}{\bigoplus\beta_i} & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}C_j\ar[two heads]{d}{\pi_C}\\
 \colim A\ar{r} &\colim B\ar{r} &\colim C
 \end{tikzcd}
 \end{equation}
 По лемме о змее $\colim B\twoheadrightarrow\colim C$~-- эпиморфизм. $\colim A\to\colim B$ в общем случае может и не быть мономорфизмом, но
 \begin{thm}\label{filteredcolimitisexact_mainthm}
 	Если в условиях диаграммы~\ref{colimitdiagram} $\mathcal{I}$~-- фильтрованная категория, то $\colim A\to\colim B$~-- мономорфизм.
 \end{thm}
 Для доказательства понадобится следующая техническая лемма.
 \begin{lemma}\label{propertiesoffilteredcolimit}
 	Если $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из фильтрованной категории, то
 	\begin{enumerate}
 		\item\label{colimelement} любой элемент из $\colim A$ имеет вид $\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$.
 		\item\label{colimkernel} $\ker(A_i\to\colim A)=\bigcup_{\phi\colon i\to j}\ker(A_i\overset{A\phi}{\to}A_j)$
 	\end{enumerate}
 \end{lemma}
 \begin{proof} $ $
 	\begin{enumerate}
 		\item Пусть $x\in\colim A$, тогда (так как $\pi$ сюрьективное) он имеет вид $x=\pi((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}})$, где $(a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}}\in\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i$ и только конечное число $a_i\ne0$.
 
 		Так как $\mathcal{I}$ фильтрованная, существует $j\in\Ob\mathcal{I}$, что для всех $i$, для которых $a_i\ne 0$ существует $\phi_i\colon i\to j$.
 		\begin{align*}\hspace{-8em}
 		\pi((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}})=\underbrace{\pi\left((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}}-\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)}_{=0\text{ из определения }f}+\pi\left(\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)=\pi\left(\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)
 		\end{align*}
 		\item Отображение $A_i\to\colim A$~-- это в точности $\pi([\cdot]_i)$. Понятно, что выполняется включение $\supseteq$: если для $a\in A_i$ верно $(A\phi)(a)=0$, то $[a]_i=[a]_i-[(A\phi)(a)]_j=[a]_i-0$ лежит в образе $f$.
 
 		Доказываем $\subseteq$. Пусть $a\in\ker(A_i\to\colim A)\iff\pi([a]_i)=0$. Это означает, что $\exists\phi_k\colon i_k\to j_k$ и $c_k\in A_{i_k}$, что \[
 		[a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}\right)
 		\]
 		Из фильтрованности $\mathcal{I}$ найдется $j\in\Ob\mathcal{I}$, что $\exists j_k\overset{\psi_k}{\to}j,i\overset{\phi}{\to}j$.
 
 		Можно считать, что $i=j$, потому что
 		\[
 		[(A\phi)(a)]_j=[a]_i-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}\right)-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)
 		\]
 		Так что можно доказывать, что $[(A\phi)(a)]_j$ лежит в каком-то ядре, $[a]_i$ тогда будет лежать в ядре композиции.
 
 		Для всех $\psi_k\colon j_k\to j$
 		\[
 		[c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}=[c_k]_{i_k}-[(A\psi_k\phi_k)(c_k)]_j-\left([(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}-[(A\psi_k)((A\phi_k)(c_k))]_j\right)
 		\]
 		Поэтому можно считать, что \([a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i\right)\) для некоторых $\phi_k\colon i_k\to i$ и $c_k\in A_{i_k}$: переименовали $j_k$ в $i_k$ (добавили их в набор $\{i_k\}$) и вспомнили, что $j=i$.
 
 		Если $i_k=i$, то $[c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i=[c_k-A\phi_k(c_k)]_i\in\ker A\gamma$ для некоторого $\gamma\colon i\to i'$: из определения фильтрованной категории
 		\[
 		\begin{tikzcd}[cramped]
 		i\ar[shift left=0.25em]{r}{\id}\ar[swap,shift right=0.25em]{r}{\phi_k} & i\ar{r}{\gamma}& i'
 		\end{tikzcd}
 		\]
 		существует $\gamma\colon i\to i'$, что $\gamma=\gamma\phi_k$, поэтому $(A\gamma)([c_k-A\phi_k(c_k)]_i)=0$.
 
 		\begin{multicols}{2}
 			Теперь заметим, что если $A_i\ni b=b'+b'', b\in\ker A\phi, \phi\colon i\to j', b''\in\ker A\psi,\psi\colon i\to j''$, то найдутся стрелки $\beta'\colon j'\to j$, $\beta''\colon j''\to j$ (обе из свойства \ref{filtcat_p1} определения \ref{def_filtcat}) и $\delta\colon j\to k$, что $\delta\beta'\phi=\delta\beta''\psi$ (из свойства \ref{filtcat_p2} определения \ref{def_filtcat}). Поэтому $b\in\ker A(\delta\beta'\phi)$, поэтому можно считать, что $i_k\ne i$ для всех $k$.
 
 			\columnbreak
 			\noindent
 
 			\begin{tikzcd}
 			&   &   & k \\
 			& j'\ar{r}{\beta'} & j\ar{ur}{\delta} &   \\
 			i\ar{ur}{\phi}\ar[swap]{r}{\psi}\ar[shift left=0.5]{urr}\ar[shift right=0.5]{urr} & j''\ar[swap]{ur}{\beta''}
 			\end{tikzcd}
 		\end{multicols}\marginpar{\vspace*{-7em}\tiny эти $i,j,j',k,\phi,\psi$ связаны с тем, что было раньше, так: $i=i$, $j'=i'$, $j''$~-- какой-то новый объект (для которого мы будем доказывать, приняв, что $i_k\ne i$), $\phi=\gamma$, $\psi$~-- новое отображение, в ядре которого все лежит}
 
 		Теперь предположим, что $i_l=i_t$. Если $\phi_l=\phi_t$, то можно заменить $c_l$, $c_t$ на их сумму. Если же $\phi_l\ne\phi_t$, то есть $\gamma\colon i\to j$, что $\gamma\phi_l=\gamma\phi_t$. Тогда заметим, что
 		\[\hspace*{-5em}
 		[(A\gamma)(a)]_j=\sum_k\left([c_k]_{i_k}-[(A\gamma\phi_k)(c_k)]_j\right)-\left(\left[\sum_k(A\phi_k)(c_k)\right]_i-\left[(A\gamma)\left(a+\sum_k(A\phi_k)(c_k)\right)\right]_j\right)
 		\]
 		%И опять можно доказывать сначала для $(A\gamma)(a)$.
 
 		В итоге осталось
 		\[[(A\phi)(a)]_j=\sum_k\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_i\right)\]
 		Все $i_k$ различны, $i_k\ne i$. В левой части равенства все $i_k$ компоненты равны $0$, справа равны $c_k$. Так как $[\cdot]_{i_k}$~-- вложение, все $c_k=0$, так что $(A\phi)(a)=0$.
 		\qedhere
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{filteredcolimitisexact_mainthm}]
 	\begin{multicols}{2}
 	Обозначим $f\colon\colim A\to\colim B$. Пусть $x\in\colim A\colon f(x)=0$. По пункту~\ref{colimelement} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $x=\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$. Из коммутативности $\pi_B\alpha_i(a)=0\Rightarrow\alpha_i(a)\in\ker(B_i\to\colim B)$. Из пункта~\ref{colimkernel} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $\exists\phi\colon i\to j$, что $(B\phi)\alpha_i(a)=0$. Из определения $\alpha_i$ (вспомните диаграмму~\ref{elementsinfilteredcolimit_ses} со стр.~\pageref{elementsinfilteredcolimit_ses}) $(B\phi)\alpha_i(a)=\alpha_j(A\phi)(a)\Rightarrow (A\phi)(a)=0\Rightarrow\pi(a)=0$.\qedhere
 	\columnbreak
 	\vspace*{\fill}
 	\noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
 	& \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}A_i\ar{dd}\ar[near start,hook]{rrr}{\bigoplus\alpha_i} & & & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}B_i\ar{dd}{} \\
 	a\in A_i\ar[mapsto]{dd}\ar[mapsto]{rrr}\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in}& & &\alpha_i(a)\in B_i\ar[mapsto]{dd}\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in} \\
 	& \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\ar[near start,two heads]{dd}{\pi_A}\ar[near start,hook]{rrr}{\bigoplus\alpha_i} & & &  \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}B_i\ar[near start,two heads]{dd}{\pi_B}\\
 	\pi(a)\ar[mapsto]{rrr}\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in}& & &0\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in} & \\
 	& \colim A\ar{rrr}{f} & & &\colim B
 	\end{tikzcd}
 	\vspace*{\fill}
 	\end{multicols}
 \end{proof}
 \begin{corollary*}
 	Фильтрованный копредел точный.
 \end{corollary*}
 \begin{thm}\label{derivedfunctorpreservesfcolimits}
 	Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из фильтрованной категории, а $F$~-- точный справа функтор, коммутирующий с фильтрованным копределом, такой, что любой фильтрованный копредел проективных модулей $F$-ацикличный. Тогда \[(L_nF)(\colim A)\cong\colim(L_nFA)\text{.}\]
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	Пусть $i\overset{\phi}{\to}j\overset{\psi}{\to}k$~-- стрелки в $\mathcal{I}$ и $A_i\overset{A\phi}{\to}A_j\overset{A\psi}{\to}A_k$~-- образ в $\mathrm{Mod\mdash}R$. Хотим поднимать $A\phi$, $A\psi$ в морфизм резольвент так, чтобы такая диаграмма%для любого $n$ $P_n^i\overset{(A\phi)^n}{\to}P_n^j\overset{(A\psi)^n}{\to}P_n^k$
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped]
 	\cdots\ar{r} & P_1^i\ar{rr}\ar[swap,labels=description]{d}{(A\phi)^1}\ar[bend left=32,labels=description,near start]{ddr}{(A\psi\phi)^1} & & P_0^i\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_i}\ar[swap,labels=description]{d}{(A\phi)^0}\ar[bend left=32,labels=description,near start]{ddr}{(A\psi\phi)^0} & & A_i\ar[swap,labels=description,near start]{d}{A\phi}\ar[bend left=32,labels=description,near start]{ddr}{A\psi\phi}\\
 	\cdots\ar{r} & P_1^j\ar{rr}\ar[swap,labels=description]{dr}{(A\psi)^1} & & P_0^j\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_j}\ar[swap,labels=description]{dr}{(A\psi)^0} & & A_j\ar[swap,labels=description]{dr}{A\psi}\\
 	& \cdots\ar{r} & P_1^k\ar{rr} & & P_0^k\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_k} & & A_k\\
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	была коммутативной\marginpar{\vspace{-5em}\tiny конструкция резольвенты в общем случае не предполагает, что $(A\psi\phi)^i=(A\psi)^i(A\phi)^i$, только их гомотопность, но нам этого недостаточно}. В $\mathrm{Mod\mdash}R$ можно построить хорошие резольвенты: выберем
 	\[P_0^i\defeq\langle A_i\rangle_R\]
 	$\varepsilon_i$ отправляет элемент базиса, соответствующий $a\in A_i$ (обозначим его $[1]_a$) в $a$.
 	\begin{multicols}{2}
 		\noindent\vspace*{\fill}
 		\[
 		\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 		P_1^i=\langle K_0^i\rangle_R\ar[two heads]{rd}\ar{dd}{\exists(A\phi)^1} &       & P_0^i\ar{dd}{(A\phi)^0}\ar[two heads]{r}{\varepsilon_i} & A_i\ar{dd}{A\phi} \\
 		      & K_0^i\ar[hook]{ur}\ar[dotted,near start]{dd}{\exists!} &       &     \\
 		P_1^j=\langle K_0^j\rangle_R\ar[two heads]{rd} &       & P_0^j\ar[two heads]{r}{\varepsilon_j} & A_j \\
 		      & K_0^j\ar[hook]{ur} &       &
 		\end{tikzcd}
 		\]
 		\vspace*{\fill}
 
 		\columnbreak
 		Строим $(A\phi)^0\colon P_i^0\to P_j^0$ так: $(A\phi)^0$ отправляет $[1]_a$ в $[1]_{(A\phi)(a)}$. Ну и из конструкции понятно, что $(A\psi\phi)^0=(A\psi)^0(A\phi)^0$.
 
 		Дальше продолжаем как для построения проективной резольвенты (вспомните утв.~\ref{stmt_projresexists}): $K_n^i=\ker(P_n^i\to P_{n-1}^i)$.
 
 		По универсальному свойству ядра существует единственное отображение $(A\phi)^n|_{K_n^i}\colon K_n^i\to K_n^j$. Определим $P_{n+1}^i\defeq\langle K_n^i\rangle_R$ и поднимем $(A\phi)^n|_{K_n^i}$ до $(A\phi)^{n+1}\colon P_{n+1}^i\to P_{n+1}^j$. Понятно, что композиция сохранится.
 	\end{multicols}
 	То есть $P_*$ функториален на резольвентах. Тогда $\colim(P_*)_*$~-- комплекс и из точности фильтрованного копредела $\colim(P_*)_*\overset{\colim\varepsilon}{\longrightarrow}\colim(A)$~-- квазиизоморфизм. Так как копредел проективных модулей $F$-ацикличен,\marginpar{\tiny третье равенство из точности фильтрованного копредела (вспомните \hyperlink{homologyincomplex}{замечательный факт} со стр.~\pageref{page_homologyincomplex}).} \[(L_nF)\colim A=H_nF\colim(P_*)_*=H_n\colim(FP_*)=\colim(H_nFP_*)=\colim((L_nF)A)\text{.}\]
 \end{proof}
 Еще одно полезное свойство тензорного произведения.
 \begin{lemma}
 	Фильтрованный копредел плоских модулей плоский.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	$X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}\to R\mathrm{\mdash Mod}$~ функтор из фильтрованной категории, такой, что $\{A_i\}_{i\in\Ob\mathcal{I}}$~-- плоские модули.
 	Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~-- мономорфизм $\forall i\in\Ob\mathcal{I}$.
 
 	Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow\colim(Y\otimes_R A_i)$~-- мономорфизм. $X\otimes_R\colim(A)\cong\colim(X\otimes_R A_i)$\todo{почему}\marginpar{\tiny вроде это не очень очевидно, но на лекциях я доказательства не помню} для любого $X$, поэтому $X\otimes_R\colim(A)\hookrightarrow Y\otimes_R\colim(A)$~-- мономорфизм, поэтому $\colim(A)$ плоский.
 \end{proof}
 \begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
 	$\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
 \end{corollary*}
 \section{Функтор \texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
 \subsection{Инъективные модули}
 \begin{Def}\index{Инъективный модуль}\label{def_injmodule}
 	Модуль $M$ называется {\bfseries\itshape инъективным}, если
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
 	& M \\
 	X\ar{ur}{\forall f} \ar[hook]{r}{\forall i} & Y\ar[swap]{u}{\exists g}
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{Def}
 Вспомните один из критериев инъективности \hyperlink{projinjdef}{c практики} (стр.~\pageref{page_projinjdef}).
 
 Понятно, что если $\{M_i\}_{i\in I}$~-- инъективные модули, то $\prod_{i\in I}M_i$ тоже инъективный:
 \begin{multicols}{2}
 \noindent\vspace*{\fill}
 \[
 	\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
 	M_i & \prod_{i\in I}M_i\ar{l}{\pi_i} \\
 	X\ar{u}{\pi_if}\ar[near start]{ur}{\forall f} \ar[hook]{r}{\forall i} & Y\ar[swap,near start]{ul}{\exists g_i}\ar[dotted,swap]{u}{\exists!g}
 	\end{tikzcd}
 \]
 \vspace*{\fill}
 
 \columnbreak
 $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$ из инъективности всех $M_i$ найдется $Y\overset{g_i}{\to}M_i$, что $\pi_if=g_ii$. Из универсального свойства произведения $\exists! Y\overset{g}{\to}\prod_{i\in I}M_i\colon \pi_if=g_ii=\pi_igi$ для всех $f,i$, значит (из единственности $g$) $f=gi$.
 \end{multicols}
 \subsection{Критерий Баера}
 Оказывается, что для того, чтобы модуль был инъективным, достаточно, чтобы его определение выполнялось для идеалов кольца:
 \begin{thm}[\hypertarget{baercriterion}{Критерий Баера}]\index{Критерий Баера}\label{page_baercriterion}
 	$M$ инъективен тогда и только тогда, когда для любого правого идеала $I\subseteq R$ и любого $I\overset{f}{\hookrightarrow}M$ выполнено условие инъективности.
 \end{thm}
 \begin{proof} Часть $\Rightarrow$ совсем понятная~-- это просто частный случай инъективности.
 
 	Доказываем часть $\Leftarrow$. $X\overset{i}{\hookrightarrow} Y$ и $X\overset{f}{\to}M$. Докажем, что найдется нужный $f\colon Y\to M$.
 
 	\begin{multicols}{2}
 	Рассмотрим частично упорядоченное множество подмодулей $(X',f')$, таких, что $X\subseteq X'\subseteq Y$ c $f\colon X'\to M$ таким, что $f'i'=f$ ($i'\colon X\hookrightarrow X'$~-- вложение). $(X',f')\le(X'',f'')$, если $X'\hookrightarrow X''$ и $f''|_{X'}=f'$.
 
 	\columnbreak
 	\noindent\[ %\vspace*{\fill}\[
 	\begin{tikzcd}[cramped]
 	X''\ar{rrd}{f''} & & \\
 	& X'\ar{r}{f'}\ar[hook]{ul} & M \\
 	& X\ar[hook]{u}{i'}\ar[hook]{r}{i}\ar{ur}{f}\ar[hook]{uul}{i''} & Y
 	\end{tikzcd}
 	\]\vspace*{\fill}
 \end{multicols}
 	\marginpar{\tiny поэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут потому что это покушение на аксиоматический строй гомолобической рерррации с целью неконструктивного переворота}В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
 
 	От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b\in Y\smallsetminus X'$. Рассмотрим $J=\{r\in R\,|\,br\in X'\}$~-- правый идеал $R$. Определим $J\overset{\phi'}{\to}M\colon r\mapsto f'(br)$. Из условия теоремы существует $\phi\colon R\to M$, что $\phi|_{J}=\phi'$. Но тогда рассмотрим $X''=X'+bR$ и $f''\colon X''\to M$, который определен так: $f''(a+br)=f'(a)+\phi(r)$.
 
 	$f''$ корректно определено: по определению $J$ $X'\cap bR=J$, а $f''$ корректно определено на пересечении. Существование $X'',f''$ противоречит максимальности $X'$.
 \end{proof}
 \begin{Def}
 	Абелева группа $A$ называется {\bfseries\itshape делимой\index{Делимая группа}}, если \[\forall a\in A,n\in\Z\smallsetminus\{0\}\exists b\in A\colon nb=a\text{.}\]
 \end{Def}
 \begin{corollary*}[из~\hyperlink{baercriterion}{критерия Баера}]
 	Абелева группа $A$ инъективна тогда и только тогда, когда она делимая.
 \end{corollary*}
 \begin{proof}
 	\begin{multicols}{2}
 	Любой идеал в $\Z$~-- это $\Z$. Отображения $\Z\hookrightarrow\Z$~-- это умножение на $n\in\Z\smallsetminus\{0\}$, поэтому для любой $\Z\to A$ определяется образом единицы $1\mapsto a$.\qedhere
 
 	\columnbreak
 	\noindent\[
 	\begin{tikzcd}[sep=large]
 	& A \\
 	\Z\ar[sloped]{ur}{1\mapsto a}\ar[hook]{r}{\cdot n} & \Z\ar[swap,sloped]{u}{\exists1\mapsto b}
 	\end{tikzcd}
 	\]\vspace*{\fill}
 	\end{multicols}
 \end{proof}
 \section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
 Напомним интересный факт для коротких точных последовательностей в $R\mdash{Mod}$.
 \begin{fact}[Лемма о расщеплении]\label{fact_splittinglemmaformodules}
 	Для короткой точной последовательности $A\overset{\iota_A}{\hookrightarrow} C\overset{\pi_B}{\twoheadrightarrow} B$ в абелевой категории следующие утверждения эквивалентны:
 	\begin{itemize}
 		\item Существует отображение $\iota_B\colon B\to C$, что $\pi_B\iota_B=\id_B$;
 		\item Существует отображение $\pi_A\colon C\to A$, что $\pi_A\iota_A=\id_A$;
 		\item $C\cong A\oplus B$.
 	\end{itemize}
 \end{fact}
 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
 \begin{enumerate}
 	\item\label{Pract4Prob1} Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по фон Нейману\index{Регулярное по фон Нейману кольцо}}, если для любого $a\in R$ существует $x\in X$ такой, что $axa=a$. Докажите, что $R$ регулярно по фон Нейману, если для любого конечно порождённого левого идеала $I$ модуль $R/I$ проективен.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 
 	\end{proof}
 	\item Докажите, что $\Tordim(R)=0$ тогда и только тогда, когда $R$ регулярно по фон Нейману.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
 		\begin{enumerate}
 			\item[$\Rightarrow$] $\Tordim(R)=0$, значит, любой модуль плоский. $I$~-- конечно порождённый идеал, значит, $R/I$ конечно представим. Вспомним (задача~\ref{flfprisproj} с практики 2), что конечно представимый плоский модуль проективен.
 			\item[$\Leftarrow$] Из задачи~\ref{Pract4Prob1} $\pd_R(R/I)=0\Rightarrow \fd_R(R/I)=0$. То есть плоская размерность однопорождённых модулей равна 0.
 
 			По индукции $M$~-- конечно порождённый модуль, $\{x_1,\ldots,x_n\}$~-- его порождающие. Рассмотрим короткую точную последовательность $\langle x_n\rangle\hookrightarrow M\twoheadrightarrow\langle x_1,\ldots,x_{n-1}\rangle$. Из задачи~\ref{Pract3Prob9} c прошлой практики \[\fd_R(M)\le\pd_R(M)\le\max(\pd_R(\langle x_n\rangle),\pd_R(\langle x_1,\ldots,x_{n-1}\rangle))=0\text{.}\] Получается, что плоская размерность всех конечно порождённых модулей 0.
 
 			Из задачи~\ref{tordim_fdim} c прошлой практики $\Tordim(R)=0$.
 		\end{enumerate}
 	\end{proof}
 	Напомним, что кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape полупростым (слева)\index{Полупростое кольцо}}, если для любого левого идеала $I$ кольца $I$ вложение $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный. Известно (теорема Веддербарна-Артина), что кольцо $R$ полупросто тогда и только тогда, когда оно является конечной прямой суммой $\Mat_n(D)$, где $D$~-- тело. Из этого в частности следует, что кольцо полупросто справа тогда и только тогда, когда оно полупросто слева (этим можно пользоваться при решении следующей задачи).
 
 	Понятно, что полупростые кольца регулярны по фон Нейману: из задачи~\ref{Pract4Prob1} для любого конечного идеала $I$ короткая точная последовательность $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$ расщепляется справа. Из \hyperlink{fact_splittinglemmaformodules}{леммы о расщеплении} она расщепляется слева, то есть для любого конечно порождённого идеала $I$ вложение $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный. А у полупростых колец это верно для любого идеала
 	\item Докажите, что следующие условия эквивалентны:
 		\begin{itemize}
 			\item $\gldim(R)=0$;
 			\item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово слева;
 			\item кольцо $R$ полупросто;
 			\item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово справа;
 			\item $\gldim(R^{\op})=0$.
 		\end{itemize}
 	\begin{proof}\let\qed\relax
 		Любой идеал $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный$\iff$любой идеал однопорождён, значит, полупростое кольцо нётерово.
 
 		Кольцо полупростое$\Rightarrow$регулярное по фон Нейману$\Rightarrow\Tordim(R)=0$.
 	\end{proof}
 	\item Пусть имеется точная последовательность $0\to T_n\to\cdots\to T_0\to X\to 0$ такая, что $\pd_R(T_i)\le m$ для любого $0\le i\le n$. Докажите, что $\pd_R(X)\le n+m$.
 	\item Пусть $R\to S$~-- гомоморфизм колец, а $X$~-- $S$-модуль. Докажите, что $\pd_R(X)\le\pd_S(X)+\pd_R(S)$.
 	\item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля. Опишите $\Tor_n^R(R/(x),X)$ для всех модулей $X$ и для всех $n\ge0$. Докажите, что если $X$ является проективным $R/(x)$-модулем, то $\pd_R(X)=1$.
 	\item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль такой, что $\pd_R(X)=1$. Докажите, что если $X$ не проективен над $R/(x)$, то $\pd_{R/(x)}(X)=\infty$.
 	\item(Первая проективная теорема о замене кольца\index{Первая проективная теорема о замене кольца}) Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль проективной размерности $m<\infty$. Докажите (индукцией по $m$), что $\pd_R(X)=m+1$.
 	\item(Вторая проективная теорема о замене кольца\index{Вторая проективная теорема о замене кольца}) Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R$-модуль такой, что $xy\ne0$ для любого ненулевого $y\in X$. Докажите (индукцией по $\pd_R(X)$, поняв, почему так можно), что $\pd_R(X)\ge\pd_{R/(x)}(X/xX)$.
 	\item Докажите, что для любого модуля $X$ выполнено $\pd_{R[x]}(R[x]\otimes_RX)=\pd_R(X)$.
 	\item Используя первую проективную теорему о замене кольца и предыдущую задачу, докажите, что $\gldim(R[x])\ge\gldim(R)+1$.
 	\item Пусть $X$~-- $R[x]$-модуль. Докажите, что последовательность $0\to R[x]\otimes_RX\overset{\alpha}{\to}R[x]\otimes_RX\overset{\pi}{\to}X\to0$, где $\pi(f\otimes y)=fy$ и $\alpha(f\otimes y)=fx\otimes y-f\otimes xy$, является точной. Выведите отсюда, что $\pd_{R[x]}(X)\le\gldim(R)+1$ и как следствие, что $\gldim(R[x])=\gldim(R)+1$.
 	\item Докажите, что $\gldim(k[x_1,\ldots,x_n])=n$ для любого поля $k$.
 \end{enumerate}
 \subsection{Инъективная резольвента}\marginpar{Лекция 5\\30 сентября}
 Из критерия Баера $\Q/\Z$~-- инъективный $\Z$-модуль. Используем это для доказательства того, что любой модуль можно вложить в инъективный.
 
 Пусть $R,S$~-- кольца, $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- $R$-$S$-бимодуль, $C$~-- правый $S$-модуль. Тогда функтор $-\otimes_RB$ сопряжен слева функтору $\Hom_S(B,-)$, то есть выполняется естественный изоморфизм
 \[
 \Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\overset{\overset{\phi}{\longrightarrow}}{\underset{\underset{\psi}{\longleftarrow}}{\cong}}\Hom_S(A\otimes_RB,C)
 \]
 \setlength{\columnseprule}{0.4pt}
 \begin{multicols}{2}
 	Отображение $\phi$ устроено так: если \[g\colon A\to\Hom_S(B,C)\text{, то}\]
 	\[\Hom_S(A\otimes_RB,C)\ni\phi_g(a\otimes b)=g(a)(b)\]
 
 	\columnbreak
 
 	Отображение $\psi$ устроено так: если \[f\colon A\otimes_RB\to C\text{, то}\]
 	\[\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ni\psi_f(a)(b)=f(a\otimes b)\]
 \end{multicols}\setlength{\columnseprule}{0.0pt}
 
 ``Естественность'' означает, что для морфизма левых $R$-модулей $\gamma\colon A\to A'$ коммутативна такая диаграмма
 \begin{equation}\label{homtpnaturaladjunction}
 \begin{tikzcd}
 	\Hom_R(A',\Hom_S(B,C))\ar{rrr}{\Hom_R(\gamma,\Hom_S(B,C))}\ar{d}{\psi} &&&\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ar{d}{\psi}\\
 	\Hom_S(A'\otimes_RB,C)\ar{rrr}{\Hom_S(\gamma\otimes\id_B,C)} &&&\Hom_S(A\otimes_RB,C)
 \end{tikzcd}
 \end{equation}
 и аналогичная для $\psi$.
 
 Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tiny на лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним \hyperlink{projinjdef}{факт}(стр.~\pageref{page_projinjdef}), что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
 \[
 \begin{tikzcd}
 \Hom_\Z(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{эпиморфизм из}\\\text{инъективности }\Q}}}\ar{d}{\cong} &&&\Hom_\Z(\overset{\cong M}{M\otimes_RR},\Q)\ar{d}{\cong}\\
 \Hom_R(N,\Hom_\Z(R,\Q))\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{значит, и тут}\\\text{эпиморфизм}}}} &&&\Hom_R(M,\Hom_\Z(R,\Q))
 \end{tikzcd}
 \]
 Пусть $M$~-- левый $R$-модуль, $0\ne x\in M$. Тогда существует $f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, что $f(x)\ne0$. Рассмотрим такую диаграмму (из инъективности $\Q/\Z$):
 \[
 \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]\label{submoduleinjection_QZ}
 \langle x\rangle_\Z\ar{rr}{\gamma}\ar[hook]{rd} & & \Q/\Z \\
 & M\ar[swap]{ru}{\exists\gamma'}
 \end{tikzcd}
 \]
 Положим $\gamma=\begin{cases}\text{любой ненулевой элемент}, &\text{если }\ord(x)=\infty\\\left[\frac{1}{n}\right],&\text{если }\ord(x)=n\end{cases}$\marginpar{\tiny$[\cdot]$~-- класс элемента $\cdot$ в $\Q/\Z$}.
 
 Выберем $f=\phi_{\gamma'}$ (образ при изоморфизме $\Hom_\Z(M,\Q/\Z)\cong\Hom_R(M,\Hom_\Z(R,\Q/\Z))$).
 
 \begin{corollary*}
 	Если $M$~-- $R$-модуль, то $\exists Q$~-- инъективный модуль, что $\exists M\hookrightarrow Q$.
 \end{corollary*}
 \begin{proof}
 	Выберем $Q=\mkern-30mu\prod\limits_{f\in\Hom(M,\Hom(R,\Q/\Z))}\mkern-30mu\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$ (произведение копий $\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, индексированное гомоморфизмами $M\to\Hom(R,\Q/\Z)$). Вложение $M\overset{\iota}{\hookrightarrow} Q$ определим так: $\iota(x)=(f(x))_{f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)}$. Оно инъективно из утверждения выше про то, что существует $f$ с ненулевым образом $x$ (поэтому образ $x$ равен $0\iff x=0$).
 \end{proof}
 \begin{Def}\index{Инъективная резольвента}
 	Пусть $X$~-- $R$-модуль. Напомним, что его можно интерпретировать как комплекс $\cdots\to 0\to 0\to X\to 0\to0\to\cdots$. {\bfseries\itshape Инъективная резольвента $X$}~-- комплекс $\cdots\to0\to0\to Q_0\to Q_{-1}\to Q_{-2}\to\cdots$ с квазиизоморфизмом $\iota\colon X\to Q_*$, что все $Q_i$ инъективные для $i\le0$ и все $Q_i=0, i>0$.
 \end{Def}
 \begin{thm}
 	У любого модуля существует (единственная с точностью до гомотопической эквивалентности) инъективная резольвента.
 \end{thm}
 \begin{proof}
 Аналогично утверждению~\ref{stmt_projresexists}.
 \end{proof}
 \begin{Def}\index{Производный функтор}
 	$F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- ковариантный (аддитивный) точный слева функтор. Правый производный функтор~-- это $(R_nF)(X)\defeq H_n(FQ_*)$, где $X\to Q_*$~-- инъективная резольвента $X$.
 \end{Def}
 Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного справа функтора. Аналогично доказывается лемма о змее, лемма о подкове и теорема о длинной точной последовательности: из $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ получается последовательность
 \[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)\to R_2F(X)\to\cdots\]
 \subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
 \begin{Def}\index{$\Ext$}
 	$\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
 \end{Def}
 Аналогично $\Tor$ можно доказать, что $\Ext_R^n(X,Y)\cong(R_n\Hom(X,-))(Y)$. Но мы не будем этого делать, а получим это как следствие из хорошего свойства $\Ext$.
 \begin{Def}\index{$n$-расширение}
 	$X,Y$~-- $R$-модули. {\bfseries\itshape Длинная точная последовательность длины $n$}, начинающаяся с $Y$ и заканчивающаяся в $X$ ($n$-расширение $X$ с помощью $Y$, $n$-extension of $X$ by $Y$)~-- ациклический комплекс вида
 	\[
 	0\to\underset{n}{Y_{\vphantom{n-1}}}\to\underset{n-1}{E_{n-1}}\to\cdots\to\underset{1}{E_1}\to\underset{0}{E_0}\to\underset{-1}{X_{\vphantom{-1}}}\to0
 	\]
 	``Множество''\marginpar{\vspace*{-2em}\tiny По-хорошему, совсем непонятно, почему этот объект будет множеством, но мы проигнорируем эту проблему и просто поверим в это} $n$-расширений $X$ с помощью $Y$ обозначается $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$, $n\ge0$.
 \end{Def}
 \paragraph{Вопрос из зала: почему $\mathcal{E}xt$ непусто?} При $n=0$ $n$-расширение выглядит как $0\to Y\to X\to0$, поэтому $\mathcal{E}xt^0_R(X,Y)\subseteq\Hom(Y,X)$. Там всегда есть нулевое отображение. При $n=1$ есть прямая сумма $0\to Y\to Y\oplus X\to X\to0$. При $n\ge2$ есть расширение $0\to Y\overset{\id_Y}{\to}Y\to0\to\cdots\to0\to X\overset{\id_X}{\to}X\to0$. Так что $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$ никогда не пусто.\vspace*{1em}
 
 Определим отношение между $n$-расширениями $X$ с помощью $Y$: они связаны, если
 \[
 \begin{tikzcd}
 	Y\ar{r}\ar[equal]{d}{\id_Y} & E_{n-1}\ar{r}\ar{d}{f_{n-1}} & \cdots\ar{r}\ar{d} & E_0\ar{r}\ar{d}{f_0}& X\ar[equal]{d}{\id_X} \\
 	Y\ar{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar{r}& X
 \end{tikzcd}
 \]
 для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\colon X\to X=\id_X$ и $f_n\colon Y\to Y=\id_Y$), что все квадраты коммутируют. Это отношение рефлексивное и транзитивное, но не обязательно симметричное\marginpar{\vspace{-2em}\tiny Но оно симметричное для $n=1$, потому что $f_1$ будет изоморфизмом из 5-леммы}. Обозначим $\unsim$~-- наименьшее отношение эквивалентности, порожденное этим отношением. Обозначим $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\defeq\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)/\unsim$.
 
 Мы построим ``хорошую'' биекцию между $\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny]\Ext^n_R(X,Y)\ar[bend left=20]{rr}{\phi} & \text{ и } & \widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\ar[bend left=20]{ll}{\psi}\end{tikzcd}$ как множествами, а потом докажем, что она сохраняет хорошо определенное сложение на $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)$, превращая её в изоморфизм $R$-модулей\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$\Ext^n_R(X,Y)$-- $R$-модуль\end{flushleft}}.
 \begin{proof}[Конструкция биекции]
 	Возьмем $0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0$~-- элемент $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$ и $P_*\to X$~-- проективную резольвенту $X$. Тогда существует $f_k\colon P_k\to E_k$ для $0\le k\le n-1$ и $f_n\colon P_n\to Y$, что диаграмма
 	\marginpar{\vspace*{2em}\tiny Поднимаем $\id_X$ в резольвенты как в утверждении~\ref{resolmorphism}}\[
 	\begin{tikzcd}[cramped,column sep=scriptsize]
 	\cdots\ar{r} & P_{n+1}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}\ar{r} & P_{n}\ar{r}\ar{d}{\exists f_n} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d}{\exists f_{n-1}} & \cdots\ar{r}\ar{d} & P_1\ar{rr}\ar[swap]{d}{\exists f_1}\ar{ddr}{\exists} & & P_0\ar[two heads]{r}\ar{d}{f_0} & X\ar[equal]{d}{\id_X}\\
 	& 0\ar{r} & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_1\ar{rr}\ar[two heads]{rd} & & E_0\ar[two heads]{r} & X\\
 	& & & & & & K_0\ar[hook]{ur} & &
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	коммутативна. $0=P_{n+1}\to P_n\to P_{n-1}\overset{f_{n-1}}{\to}E_{n-1}=P_{n+1}\to P_{n}\overset{f_n}{\to}Y\hookrightarrow E_{n-1}$, значит, $P_{n+1}\to P_n\overset{f_n}{\to}Y=0$. Поэтому $f_n\in\ker(\Hom(P_n,Y)\to\Hom(P_{n+1},Y))$~-- коцикл в комплексе $\Hom(P_*,Y)$, значит, $f_n$ представляет какой-то класс в $\Ext^n_R(X,Y)$. Определим $\psi(0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0)=[f_n]$~-- класс, соответствующий $f_n$.
 
 	Он не зависит от способа выбора $f_i$\marginpar{\tiny вспомните, что способ поднять отображение из проективного модуля не единственный}: из двух разных $f_i,f_i'$ как в доказательстве утверждения~\ref{projresolutionequivce} получается, что $f_n,f_n'$ отличаются на границу (так как в $Y$ в нижней строке идет нулевая стрелка).
 
 	Он не зависит от выбора резольвенты: все резольвенты гомотопически эквивалентны, поэтому $f_n'\colon P_n'\to Y$ поднимается до коцикла $P_n\to Y$ из того же класса эквивалентности.
 	%кажется, это все выборы\todo{Он не зависит от выборов}
 
 	Теперь пусть есть элемент $g\in\Ext^n_R(X,Y)$, то элемент $g\in\Hom(P_n,Y)$, что $gd_n=0$, где $P_*\to X$~-- проективная резольвента, а $d_n$~-- дифференциал в ней.
 
 	Строим $n$-расширение-представитель $\phi(g)$ таким образом:
 	\[\begin{tikzcd}[cramped]
 	\cdots\ar{r}&P_n\ar{r}{d_{n-1}}\ar{d}{g}&P_{n-1}\ar{r}\ar{d}\ar[sloped]{rd}{d_{n-2}}&P_{n-2}\ar{r}{d_{n-3}}\ar[equal]{d}&\cdots\ar{r}{d_1}\ar[equal]{d}&P_1\ar{r}{d_0}\ar[equal]{d}&P_0\ar[two heads]{r}{\varepsilon}\ar[equal]{d}&X\ar[equal]{d}\\
 	0\ar{r}&Y\ar[hook]{r}\ar[bend right=20,swap]{rr}{0}&K_{n-1}\ar[phantom,very near start]{ul}{\ulcorner}\ar[dotted]{r}{\exists!}&P_{n-2}\ar{r}{d_{n-3}}&\cdots\ar{r}{d_1}&P_1\ar{r}{d_0}&P_0\ar[two heads]{r}{\varepsilon}&X\\
 	\end{tikzcd}\]
 	$E_k=P_k$ для $0\le k<n-1$. $E_{n-1}=K_{n-1}$~-- пушаут $Y\overset{g}{\leftarrow}P_n\overset{d_{n-1}}{\rightarrow}P_{n-1}$. Понятно, что нижняя строка точна в $X,P_0,\ldots,P_{n-3}$ (это просто копия верхней). Отображение $K_{n-1}\to P_{n-2}$ существует из универсального свойства пушаута (для стрелок $d_{n-2}\colon P_{n-1}\to P_{n-2}$ и $0\colon Y\to P_{n-2}$).
 
 	$Y\to K_{n-1}\to P_{n-2}=0$ по определению, $K_{n-1}\to P_{n-2}\to P_{n-3}$ существует единственный (по универсальному свойству пушаута) для $P_{n-1}\to P_{n-3}=0$ и $Y\to P_{n-3}=0$ и он совпадает с $0$.
 
 	Напомним, как в категории модулей устроен пушаут (вспомните, что пушаут~-- это коэквалайзер морфизмов в копроизведение): это модуль \[K_{n-1}=\frac{P_{n-1}\oplus Y}{\langle\{(d_{n-1}(a),-g(a))\,|\,a\in P_n\}\rangle}\text{.}\]
 
 	Докажем, что $Y\to K_{n-1}$~-- мономорфизм: $Y\ni y\mapsto[(0,y)]\in K_{n-1}$.\[
 	[(0,y)]=0\iff \exists a\in P_n\colon d_{n-1}(a)=0, -g(a)=y\text{.}
 	\]
 	Из точности проективной резольвенты $\exists b\in P_{n+1}\colon d_n(b)=a$, тогда $-g(a)=-g(d_n(b))=0\Rightarrow b=0$ ($g$~-- коцикл).  Поэтому комплекс точен в $Y$.
 
 	Проверим, что он точен в $K_{n-1}$: $(x,y)\mapsto0\Rightarrow d_{n-2}(x)=0\Rightarrow\exists x'\in P_{n}\colon x=d_{n-1}(x')$, значит, класс $(x,y)$ совпадает с классом $(0,y+g(x'))$ ($(x,y)-(0,y+g(x'))=(x,-g(x'))=(d_{n-1}(x'),-g(x'))$), а он, понятно, лежит в $\im(Y\to K_{n-1})$.
 
 	Полученная точная последовательность не зависит от выбора резольвенты: для другой резольвенты $P'_*\to X$ существует гомотопическая эквивалентность $P_i\to P_i',0\le i<k-1$, а отображение $P'_{k-1}\to K_{n-1}$ существует из универсального свойства пушаута, поэтому две последовательности будут эквивалентны. %криво получилось, но вроде понятно И опять оно не зависит от выборов\todo{но это уже не так очевидно}.
 
 	Теперь доказываем биективность:
 	\begin{itemize}
 	\item[$\psi\circ\phi=\id$:] Из конструкции просто если по $g$ построить диаграмму, а потом поднять $\id_X$, опять получится $g$, так как мы знаем, что оно не зависит от выбора резольвенты.
 	\item[$\phi\circ\psi=\id$:] действительно, полученное под действием $\phi$ расширение будет эквивалентно исходному, потому что отображения $P_k\to E_k,0\le k\le n-2$ существуют и просто равны $f_k$ как в конструкции $\psi$. Отображение $K_{n-1}\to E_{n-1}$ существует по универсальному свойству пушаута из отображений $Y\to E_{n-1}$ (исходного) и $f_{n-1}\colon P_{n-1}\to E_{n-1}$.\qedhere
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 Аналогично можно доказать, что как множества $\widetilde{\Ext}^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{S}et}{\cong}R_n(\Hom(X,-))(Y)$: нужно брать инъективную резольвенту $Y\to Q_*$ и строить пулбэк \[\begin{tikzcd}
 T\ar{r}\ar{d}\ar[phantom,very near start]{dr}{\lrcorner}& X\ar{d} \\
 Q_{-(n-1)}\ar{r}& Q_{-n}
 \end{tikzcd}\]вместо пушаута.
 
 Теперь\marginpar{Лекция 6\\7 октября} мы хотим построить сложение на элементах $\widetilde{\Ext}_R^n(X,Y)$, которое будет согласовано со сложением в $\Ext_R^n(X,Y)$. Это превратит наш изоморфизм множеств в изоморфизм абелевых групп.
 
 \begin{proof}[Конструкция сложения]Рассмотрим $f,g\in\Ext_R^n(X,Y)$ и соответствующие им расширения $Y\hookrightarrow E_{n-1}\to\cdots\to E_0\twoheadrightarrow X, Y\hookrightarrow E'_{n-1}\to\cdots\to E'_0\twoheadrightarrow X$. $P_*\to X$~-- проективная резольвента.
 \noindent\[
 \begin{tikzcd}[cramped]
 \cdots\ar{r} & P_n\ar{r}\ar{d}{f}\ar[bend right=15]{ddl}{g} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d}\ar[bend right=15]{ddl} & \cdots\ar{r}\ar{d}\ar[bend right=15]{ddl} & P_0\ar{d}\ar[two heads]{r}\ar[bend right=15]{ddl} & X\ar[equal]{d}\ar[bend right=15,equal]{ddl} \\
   & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_0\ar[two heads]{r} & X \\
 Y\ar[hook]{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar[two heads]{r} & X &
 \end{tikzcd}
 \]
 
 \begin{multicols}{2}
 Сложим эти две последовательности, задав отображение в сумму из резольвенты прямой суммой для $Y\oplus Y$ и всех $E_i\oplus E_i'$ и для $X\to X\oplus X$ диагональной функцией $\Delta\colon x\mapsto(x,x)$.
 
 Эту прямую сумму надо превратить в $n$-расширение $X$ с помощью $Y$. Отображаем $Y\oplus Y\to Y$ суммой $\nabla(x,y)\mapsto x+y$ и заменяем $E_{n-1}\oplus E'_{n-1}$ пушаутом $K_{n-1}$.
 
 \columnbreak
 \noindent\vspace*{\fill}\[
 \hspace*{-0.5em}\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=scriptsize]
 P_n\ar{r}\ar{d}{{f}\choose{g}} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d} & \cdots\ar{r}\ar{d} & P_0\ar{d}\ar[two heads]{r} & X\ar{d}{\Delta} \\
 Y\oplus Y\ar[hook]{r}\ar{d}{\nabla} & E_{n-1}\oplus E'_{n-1}\ar{r}\ar{d} & \cdots\ar{r}\ar[equal]{d} & E_0\oplus E'_0\ar[two heads]{r}\ar[equal]{d} & X\oplus X\ar[equal]{d}\\
 Y\ar[hook]{r}\ar[equal]{d} & \ar[phantom,very near start]{ul}{\ulcorner}K_{n-1}\ar{r}\ar[equal]{d} & \cdots\ar{r}\ar[equal]{d} & E_0\oplus E'_0\ar[two heads]{r} & X\oplus X\\
 Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[phantom,very near start]{ur}{\urcorner} & X\ar{u}{\Delta}\\
 \end{tikzcd}
 \]\vspace*{\fill}
 \end{multicols}
 Аналогично заменяем $E_0\oplus E'_0$ пулбэком $L_0$. Получаем $n$-расширение $X$ с помощью $Y$. Почти понятно, что оно действительно будет длинной точной последовательностью. Совсем понятно, что в диаграмме все коммутирует и это расширение действительно соответствует коциклу $f+g$ (отображение $P_n\to Y$ это в точности $f+g$).
 
 Понятно, что в случае $n\ne1$ можно брать сначала пулбэк, а потом пушаут. Почему получается одно и то же для $n=1$ я потом напишу\todo{}.
 \end{proof}
 \begin{Def}\index{Сумма Баера}
 	Построенная выше сумма называется {\bfseries\itshape суммой Баера}.
 \end{Def}
 \begin{corollary*}
 	$R_n(\Hom(-,Y))(X)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\Ext^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\widetilde{\Ext}^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}R_n(\Hom(X,-))(Y)$.
 \end{corollary*}
 \subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext} и расщепимость}
 \begin{Def}\index{Расщепляющееся расширение}
 	Расширение $Y$ с помощью $X$ (то же самое, что $1$-расширение и то же самое, что короткая точная последовательность c началом в $Y$ и концом в $X$) $Y\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}X$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если существует изоморфизм $\phi\colon E\to X\oplus Y$, что в диаграмме
 	\[
 	\begin{tikzcd}[cramped]
 	Y\ar[hook]{r}{\alpha}\ar[equal]{d} & E\ar[two heads]{r}{\beta}\ar{d}{\phi}& X\ar[equal]{d}\\
 	Y\ar[hook]{r}{\iota}               & X\oplus Y\ar[two heads]{r}{\pi}              & X
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	все квадраты коммутируют.
 
 	Два расширения называются {\bfseries\itshape эквивалентными}, если они эквивалентны в смысле эквивалентности расширений, определенном ранее, то есть существует $E\to E'$, что все квадраты коммутируют. Заметим, что в случае $1$-расширений из 5-леммы следует, что отображение $E\to E'$~-- изоморфизм.
 \end{Def}
 Из определения эквивалентности получается, что расщепляющееся расширение~-- это то, которое эквивалентно тривиальному $Y\hookrightarrow X\oplus Y\twoheadrightarrow X$. Вспомним, что классы расширений соответствуют элементам $\Ext_R^1(X,Y)$, то есть расщепляющиеся расширения соответствуют 0. С другой стороны, если все расширения эквивалентны тривиальному, то есть только один класс, поэтому в $\Ext^1_R(X,Y)$ только один элемент~-- тривиальный.
 \begin{fact}
 	Все расширения $X$ с помощью $Y$ расщепляются$\iff\Ext^1_R(X,Y)=0$.
 \end{fact}
 \section{(Ко)гомологии групп}
 \subsection{Определение и интерпретации в малых степенях}
 Везде $G$~-- группа.
 \begin{Def}\index{$G$-модуль}\index{Тривиальный $G$-модуль}
 	{\bfseries\itshape $G$-модулем} называется абелева группа, на которую $G$ действует аддитивно. В этом случае эта группа также будет $\Z G$-модулем.
 
 	$\Z G$-модуль $A$ называется {\bfseries\itshape тривиальным}, если $ga=a\,\forall g\in G,\,a\in A$.
 
 	Далее тривиальный $G$-модуль везде будет обозначаться $\Z$.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Гомологии групп}\index{Когомологии групп}
 	$A$~-- $G$-модуль. {\bfseries\itshape$n$-е гомологии $G$ c коэффициентами в $A$}~-- это $H_n(G,A)\defeq\Tor_n^{\Z G}(\Z,A)$. {\bfseries\itshape$n$-е когомологии $G$ c коэффициентами в $A$}~-- это $H^n(G,A)\defeq\Ext^n_{\Z G}(\Z,A)$.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Аугментационный идеал}
 	Обозначим $\mathcal{J}_G$ ядро отображения $\Z G\to\Z\colon g\mapsto 1$. Это идеал и свободная абелева группа, порожденная множеством $\{g-1\,|\,g\in G\smallsetminus\{1\}\}$. он называется {\bfseries\itshape аугментационным идеалом}.
 \end{Def}
 Первые примеры:
 \[H_0(G,A)=\Tor_0^{\Z G}(\Z,A)=\Z\otimes_{\Z G}A\]
 Так как $\Z\cong\Z G/\mathcal{J}_G$, $\Z\otimes_{\Z G}A\cong\Z G/\mathcal{J}_G\otimes_{\Z G}A\cong A/\mathcal{J}_GA$.
 \[A/\mathcal{J}_GA=\frac{A}{\langle ga-a\,|\,g\in G,a\in A\rangle}\defeq A_G\]
 \begin{Def}\index{Коинварианты $G$-модуля}
 	Модуль $A_G$ называется {\bfseries\itshape коинвариантами} $A$. Это наибольший фактор, который является тривиальным $G$-модулем.
 \end{Def}
 В частности (так как $\Z$~-- тривиальный модуль, так что $\mathcal{J}_G\Z=0$) $H_0(G,\Z)=\Z,H_0(G,\Z G)=\Z$.
 
 Пример когомологий:
 \[H^0(G,A)=\Hom_{\Z G}(\Z,A)=\{a\in A\,|\,ga=a\forall g\in G\}\defeq A^G\text{,}\]
 так как $\Z$~-- тривиальный модуль, его порождающий может отправляться в элемент, неподвижный под действием всех элементов $G$. Ну и частный случай: $H^0(G,\Z)=\Z$.
 \begin{Def}\index{Элемент нормы}
 	В конечной группе $G$ {\bfseries\itshape элементом нормы} называется \[N=\sum_{g\in G}g\text{.}\]
 \end{Def}
 \begin{lemma}
 	\[(\Z G)^G=\begin{cases}
 	N\Z\text{\normalfont,}&|G|<\infty\text{\normalfont;}\\
 	0\text{\normalfont,}&|G|=\infty\text{\normalfont.}
 	\end{cases}\]
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	\[x=\sum a_gg\in(\Z G)^G\]
 	\[hx=\sum a_ghg=\sum a_{h^{-1}g}g=x\Rightarrow a_{h^{-1}g}=a_g\Rightarrow a_g=a\forall g\in G\]
 	\[x=\sum ag=aN\qedhere\]
 \end{proof}
 \begin{corollary*}
 	\[H^0(G,\Z G)\cong\begin{cases}
 	\Z\text{\normalfont,}&|G|<\infty\text{\normalfont;}\\
 	0\text{\normalfont,}&|G|=\infty\text{\normalfont.}
 	\end{cases}\]
 \end{corollary*}
 \subsection{Bar resolution}
 По умолчанию обозначаем $A\otimes B=A\otimes_\Z B$.
 \begin{Def}\index{Bar resolution}
 	Bar-резольвента~-- это комплекс\[
 	\cdots\to\Barr_2\to\Barr_1\to\Barr_0\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\Z
 	\]
 	где $\Barr_n\defeq (\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G$\marginpar{\tiny$(\Z G)^{\otimes n}$~- тензорное произведение тоже над $\Z$}~-- свободный $\Z G$-модуль с базисом \[\{g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1\,|\,(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\}\text{\normalsize.}\]
 	Элемент базиса $g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1$ будем обозначать $[g_1,g_2,\ldots,g_n]$.
 
 	Определим дифференциал $d_n\colon\Barr_{n+1}\to\Barr_{n}$ на базисе так:
 	\[\hspace*{-4.8em}
 	d_n([g_1,g_2,\ldots,g_{n+1}])=[g_2,\ldots,g_{n+1}]+\sum_{i=1}^n(-1)^i[g_1,\ldots,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\ldots,g_{n+1}]+(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}
 	\]
 \end{Def}
 \begin{thm}\label{thm_barisprojres}
 	$(\Barr_*,d_*)$~-- проективная резольвента $\Z$.
 \end{thm}
 \begin{proof} Модули $\Barr_n$~-- свободные $\Z G$-модули. Нужно проверить, что $(\Barr_*,d_*)$~-- точный комплекс.
 	\begin{enumerate}
 		\item $d_{n-1}d_n=0$~-- почти понятно: слагаемые в сумме обнуляются (так же как для дифференциалов в топологии), осталось дописать про первое и последнее слагаемое.
 		\item\label{proof_barresisexact} ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то есть построим отображения $s_{-1}\colon\Z\to\Barr_0$, $s_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}$, что $\pi s_{-1}=\id_\Z$, $s_{n-1}d_{n-1}+d_{n}s_{n}=\id_{\Barr_n}$. Тогда цепное отображение $\id_{\Barr_*}$ гомотопно $0$, а значит все гомологии нулевые.\marginpar{\tiny вспомните утв.~\ref{stmt_homequivisqis}}
 
 		Определим $s_{-1}\colon1\mapsto[\;]$, $s_n\colon [g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}\mapsto(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n,g_{n+1}]$.
 		\[(s_{-1}\pi+d_0s_0)([\;]g)=[\;]-d_0([g])=[\;]-([\;]-[\;]g)=[\;]g\]
 		Аналогично проверяется в общем случае.\qedhere
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 Возьмем теперь бар-резольвенту $\Z$
 \[
 \begin{tikzcd}
 \cdots\ar{r}& \Z G\otimes\Z G\otimes\Z G\ar{rrr}{g\otimes h\otimes k\mapsto\begin{array}{l}\phantom{+}h\otimes k\\-gh\otimes k\\+g\otimes hk\end{array}}&&& \Z G\otimes\Z G\ar{rr}{g\otimes h\mapsto h-gh} && \Z G\ar[two heads]{r}{\pi} & \Z
 \end{tikzcd}
 \]
 Применим функтор $-\otimes_{\Z G}\Z$, тогда \[\Barr_n\otimes_{\Z G}\Z=((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G)\otimes_{\Z G}\Z\cong(\Z G)^{\otimes n}\otimes_{\Z}(\Z G\otimes_{\Z G}\Z)\cong(\Z G)^{\otimes n}\]
 \[
 \begin{tikzcd}
 \cdots\ar{r}&\Z G\otimes\Z G\ar{rr}{g\otimes h\mapsto h-gh+g}&& \Z G\ar{rr}{g\mapsto 1-1\cdot g=0} && \Z\ar[two heads]{r} & \Z\otimes_{\Z G}\Z
 \end{tikzcd}
 \]
 Получается, что $H_1(G,\Z)=\frac{\Z G}{\langle h-gh+g\rangle}$. Это абелева группа; есть отображение $G\to H^1(G,\Z)\colon g\mapsto\bar{g}$, отправляющее $g\in G$ в его представителя. Оно корректно определено, так как $gh\mapsto \bar{gh}=\bar{g}+\bar{h}$ и $g^{-1}\mapsto-\bar{g}$. Кроме того, коммутант лежит в ядре этого отображения.
 
 Заметим, что отображение $\Z G\to G\colon g\mapsto g+[G,G]$ обратное, и получаем
 \begin{stmt}
 	$H_1(G,\Z)\cong G_{\ab}$.
 \end{stmt}
 
 Теперь применяем к ней $\Hom_{\Z G}(-,A)$. Из $\otimes$-$\Hom$ сопряженности $\Hom_{\Z G}(X\otimes \Z G,A)\cong\Hom_\Z(X,A)$.
 \[
 A\overset{a\mapsto\phi_a}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G,A)\overset{f\mapsto\phi_f}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G\otimes\Z G,A)\to\cdots
 \]
 \[\phi_a(g)=a-ag\]
 \[\phi_f(g\otimes h)=f(h)-f(gh)+f(g)h\]
 Элементы $Z^2(G,A)=\{f\colon G\to A\,|\,f(gh)=f(h)+f(g)h\}\defeq\Der(G,A)$ называются {\bfseries\itshape crossed homomorphisms}\index{Crossed homomorphism}.
 
 Элементы $B^2(G,A)=\im(A\to\Hom_\Z(\Z G,A))\defeq\PDer(G,A)$ называются {\bfseries\itshape principal crossed homomorphisms}\index{Principal crossed homomorphism}.
 \begin{stmt}
 	$H^1(G,A)=\frac{\Der(G,A)}{\PDer(G,A)}$.
 \end{stmt}
 \marginpar{\vspace{0.1em}Лекция 7\\14 октября}Итак, для $\Barr_n\otimes_{\Z G}A=(\Z G)^{\otimes n}\otimes A$ дифференциал действует так: \begin{multline*}$$d_n^{\Barr_*\otimes_{\Z G}A}([g_1,\ldots,g_{n+1}]\otimes x)=[g_2,\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i[g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\\(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]\otimes g_{n+1}x$$\end{multline*}
 А для $\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)$, так как
 \begin{multline*}$$\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)\cong\Hom_{\Z G}((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G, A)\cong\\\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},\Hom_{\Z G}(\Z G,A))\cong\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},A)\text{:}$$\end{multline*}
 \begin{multline*}$$d_n^{\Hom_{\Z G}(\Barr_*,A)}(f)(g_1,\ldots,g_{n+1})=f(g_2,\ldots,g_{n+1})+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^if(g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1})+\\(-1)^{n+1}f(g_1,\ldots,g_n)g_{n+1}$$\end{multline*}
 
 \subsubsection*{Некоторые другие виды резольвент}
 \addcontentsline{toc}{subsubsection}{Некоторые другие виды резольвент}
 \paragraph{Normalized bar resolution.}\index{Normalized bar resolution} Рассмотрим $\widetilde{\Barr}_n\defeq\langle[g_1,\ldots,g_n]\,|\,\exists i\colon g_i=1\rangle$. Понятно, что это подмодуль $\Barr_n$. Понятно (просто по определению $s_n$), что $s_n(\widetilde{\Barr}_n)\subseteq\widetilde{\Barr}_{n+1}$\marginpar{\tiny$s_n$ из пункта~\ref{proof_barresisexact} теоремы~\ref{thm_barisprojres}}, поэтому $\widetilde{\Barr}_*$~-- точный комплекс, поэтому $\overline{\Barr}_*\defeq\Barr_*/\widetilde{\Barr}_*$~-- проективная резольвента. Она и называется нормализованной бар-резольвентой. Из конструкции почти понятно, что $\overline{\Barr}_{n}\cong(\Z G/\Z)^{\otimes n}\otimes\Z G$.
 
 В частности, отсюда следует, что любой элемент $H^n(G,A)$ можно представить коциклом $f$, что $f(\widetilde{\Barr}_n)=0$, то есть что $g_i=1$ для какого-то $i$.
 \paragraph{Homogenous bar resolution.} Конструкция, изоморфная $\Barr_n$, но идейно определяющаяся немножко по-другому, больше похожая на симплициальные комплексы. Рассмотрим биекцию \[\Barr_n\ni[g_1,\ldots,g_n]g\leftrightarrow(\overset{=b_1}{g_1\cdots g_ng},\overset{=b_2}{g_2\cdots g_ng},\ldots,\overset{=b_n}{g_ng},\overset{=b_{n+1}}{g})\in(\Z G)^{n+1}\]
 $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2,\ldots,b_{n+1})\cdot g=(b_1g,b_2g,\ldots,b_{n+1}g)$.
 Дифференциал определяется так:\[d_n(b_1,\ldots,b_{n+2})=\sum_{i=1}^{n+2}(b_1,\ldots,\hat{b}_{i},\ldots,b_{n+2})\]
 \paragraph{Homogenous normalized bar resolution.} Так же как и выше: $(b_1,\ldots,b_n)=0\iff b_i=b_{i+1}$. Понятно (из биекции $b_i\leftrightarrow g_i\ldots g_ng$), что это эквивалентно тому, что $g_i=1$ для какого-то $i$.
 
 \vspace*{1em}
 \begin{center}
 	\bfseries* * *
 \end{center}
 \begin{thm}\label{thm_ordermultisnullhomotopic}
 	$G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot H_n(G,A)=\{0\}$ для любого $G$-модуля $A$ и любого $n\ge1$.
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	Рассмотрим $\phi_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}\colon[a_1,\ldots,a_n]\mapsto\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]$. Так как $G$ конечна, все корректно определено. Вычислим $d_n\phi_n+\phi_{n-1}d_{n-1}$:
 	\begin{multline*}
 	$$
 	(d_n\phi_n+\phi_{n-1}d_{n-1})([a_1,\ldots,a_n])=d_n\left(\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]\right)+\\
 	\phi_{n-1}\left([a_2,\ldots,a_n]+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i[a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_{n}]+(-1)^n[a_1,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)=\\
 	$$
 	\end{multline*}
 	\vspace*{-4.5em}\begin{multline*}
 	$$
 	m[a_1,\ldots,a_n]+\\\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}\left(-[ga_1,a_2,\ldots,a_n]\vphantom{\sum_1^n}\right.}+\underline{\color{pigmentblue}\underline{\left.\color{pigmentblue}\sum_{i=2}^{n}(-1)^i[g,a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_n]+(-1)^{n+1}[g,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)}}+\\
 	\left(\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}[g,a_2,\ldots,a_n]}+\underline{\color{pigmentblue}\underline{\color{pigmentblue}\sum_{g\in G}\left(\sum_{i=1}^{n-1}\cdots\cdots\cdots\right)}}\right)
 	$$
 	\end{multline*}
 	Части, подчёркнутые один и два раза в последней строке, отличаются от соответствующих частей в предпоследней строке на знак, поэтому они обнуляются, остаётся только $m[a_1,\ldots,a_n]$.
 
 	Получается, что умножение на $m$ гомотопно нулевому отображению для всех $n>0$. Поэтому оно отображает гомологии в 0 для всех $n>0$.
 \end{proof}
 \subsection{Расширения групп}\label{groupexts}
 \begin{Def}
 	Расширение группы $G$ с помощью $A$~--- короткая точная последовательность в (в категории групп)\[A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G\text{.}\]
 	Два расширения $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ и $A\hookrightarrow E'\twoheadrightarrow G$ называются {\bfseries\itshape эквивалентными}, если\marginpar{\tiny всё как раньше} существует $\phi\colon E\to E'$, что все коммутирует. Опять из 5-леммы он будет изоморфизмом.
 \end{Def}
 Мы хотим описывать расширения $G$ c помощью $A$. Пока что рассмотрим случай, когда $A$~-- абелева группа. Тогда она $\Z$-модуль. Если существует расширение $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, то $А$ ещё и $E$-модуль (так как она нормальна в $E$, $E$ действует на $A$ сопряжениями) и действует на себя тривиально (она абелева), так что действие $E/A\cong G$ определено корректно.
 
 Итак, задача разбивается на две: \begin{enumerate*}\item описать все структуры $G$-модуля на $A$;\item описать все расширения\end{enumerate*}. Первым пунктом мы заниматься не будем и везде будем считать, что нам задано действие $G$ на $A$.
 
 Итак, нам даны группы $A,G$ и действие $G$ на $A$ $\cdot\colon A\times G\to A$. Вспомним, что всегда существует тривиальное расширение $A\hookrightarrow A\rtimes G\twoheadrightarrow G$. $A\rtimes G$~-- это группа с множеством элементов $A\times G$ и умножением $(a,g)(b,h)=(a\cdot h+b,gh)$\marginpar{\tiny операция в $G$~-- умножение, в $A$~-- сложение}.
 \begin{Def}
 	Расширение $A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если $\exists G\overset{\sigma}{\to}E$~-- гомоморфизм групп, что $\beta\sigma=\id_G$.
 \end{Def}
 \begin{stmt}[Лемма о расщеплении]
 	Расширение расщепляется тогда и только тогда, когда оно изоморфно полупрямому произведению.
 \end{stmt}
 
 Теперь рассматриваем случай, когда гомоморфизма $\sigma$ нет. Тем не менее, всегда существует $\sigma$~-- отображение множеств, что $\beta\sigma=\id_G$ (каждому $g\in G$ сопоставляется какой-то его прообраз). Договоримся выбирать его так, чтобы $\sigma(1_G)=1_E$.
 
 Любой элемент $E$ можно представить в виде $\sigma(g)\alpha(x)$:\[e=\underbrace{\sigma\beta(e)}_{\in\im\sigma}\underbrace{(\sigma\beta(e))^{-1}e}_{\in\im\alpha}\]
 $(\sigma\beta(e))^{-1}e\in\im\alpha$: применим $\beta$, получим $\beta((\sigma\beta(e))^{-1})\beta(e)=(\underbrace{\beta\sigma}_{\id_G}\beta(e))^{-1}\beta(e)=1_G\Rightarrow(\sigma\beta(e))^{-1}e\in\ker\beta=\im\alpha$.
 
 $E\cong G\times A$ как множество. Хотим понять, как устроено умножение. Запишем его просто и используем наше представление элементов $E$:
 \[
 \sigma(g)\alpha(x)\sigma(h)\alpha(y)=\sigma(g)\sigma(h)\underbrace{\overbrace{\sigma(h)^{-1}\alpha(x)\sigma(h)}^{=\alpha(x\cdot h)}\alpha(y)}_{=\alpha(x\cdot h+y)}=\sigma(gh)\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\alpha(x\cdot h+y)
 \]
 $\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\in\im\alpha\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)=\alpha(f(g,h))$ для некоторой функции $f\colon G\times G\to A$\marginpar{\label{groupcocycleeqn}\vspace*{-2em}\tiny Если отождествить $A$ с подгруппой $\alpha(A)$ в $G$, то можно просто записать\vspace{-1.7em}\[\hspace{-0.4em}f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\vspace{-1.5em}\](что мы и будем делать)}. Получается, что умножение $*$ в $E$ задается такой формулой:
 \[(g,x)*(h,y)=(gh,f(g,h)+x\cdot h+y)\text{.}\]
 Чтобы это было групповой операцией, нужно проверить ассоциативность: она непонятная только для странной функции $f$, поэтому достаточно проверять ее для элементов вида $(g,0)$.
 \[((g,0)*(h,0))*(t,0)=(gh,f(g,h))*(t,0)=(ght,f(g,h)\cdot t+f(gh,t))\]
 \[(g,0)*((h,0)*(t,0))=(g,0)*(ht,f(h,t))=(ght,f(g,ht)+f(h,t))\]
 То есть $*$ определяет группу тогда и только тогда, когда для $f$ выполняется условие \[\forall g,h,t\in G\colon f(h,t)-f(gh,t)+f(g,ht)-f(g,h)t=0\text{.}\] Заметим, что это эквивалентно тому, что отображение $\tilde{f}\colon\Z G\otimes\Z G\to A$ (соответствующее $f$)~-- 2-коцикл!
 \section*{Практика 7: (ко)гомологии групп}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 7: (ко)гомологии групп}
 \begin{enumerate}
 	\item Опишите для всех чисел $m,n$ и $C_m$-модулей $A$ группы $H_n(C_m,A)$ и $H^n(C_m,A)$.
 	\item Напомним, что аугментационный идеал $\mathcal{J}_G$~-- это ядро $\Z G$-линейного отображения $\pi\colon\Z G\to\Z$, которое переводит $1_G$ в единицу (и, следовательно, переводит любой $g\in G$ в единицу). Докажите, что $\{g-1\,|\,g\in G\smallsetminus\{1_G\}\}$~-- $\Z$-базис $\mathcal{J}_G$.
 	\item Пусть $G=F\langle X\rangle$~-- свободная группа на множестве образующих $X$. Докажите, что $\mathcal{J}_G$~-- свободный $\Z G$-модуль с базисом $\{x-1\,|\,x\in X\}$. Выведите отсюда, что $H_n(F\langle X\rangle,A)=H^n(F\langle X\rangle,A)=0$ для любого $A$ и любого $n\ge2$. Докажите, что если $A$~-- тривиальный $G$-модуль, то $H_1(G,A)\cong\bigoplus_{x\in X}A$ и $H^1(G,A)=\prod_{x\in X}A$.
 	\item Докажите, что $\mathcal{J}_{G*H}\cong(\mathcal{J}_G\otimes_{\Z G}\Z(G*H))\oplus(\mathcal{J}_H\otimes_{\Z H}\Z(G*H))$ (как $\Z(G*H)$-модуль, где $G*H$ обозначает свободное произведение групп $G$ и $H$).
 	\item Пусть $S\to R$~-- гомоморфизм колец такой, что $R$ является плоским $S$-модулем. Докажите, что для любого $S$-модуля $M$, любого $R$-модуля $T$ и любого $n\ge0$ выполнено $\Tor_n^R(T,R\otimes_SM)\cong\Tor_n^S(T,M)$ и $\Ext_R^n(R\otimes_SM,T)\cong\Ext_S^n(M,T)$ (где в первом случае $T$~-- правый модуль, а во втором~-- левый).
 	\item Докажите, что для $n\ge2$ и любого $G*H$-модуля $A$ выполнено $H_n(G*H,A)\cong H_n(G,A)\oplus H_n(H,A)$ и $H^n(G*H,A)\cong H^n(G,A)\oplus H^n(H,A)$. Докажите, что если $A$~-- тривиальный $G*H$-модуль, то эти изоморфизмы имеют место и для $n=1$.
 	\item Пусть $|G|=m$ и $A$~-- абелева группа, для которой гомоморфизм умножения на $m$ (операцию в $A$ мы считаем сложением) является изоморфизмом. Докажите, что $H_n(G,A)=H^n(G,A)=\{0\}$ для любого $n>0$.
 	\item Поймите, что для тривиального модуля $A$ выполнено $H^1(G,A)=\Hom_{\mathcal{G}rp}(G,A)$ ($\Hom$ в категории групп). Докажите, что для любой конечной группы $G$ выполнено $H^2(G,\Z)\cong\Hom(G,\mathbb{R}/\Z)$, где структура $G$-модуля на $\Z$ и $\mathbb{R}$ тривиальна.
 	\item Пусть $A\overset{\alpha_i}{\to}E_i\overset{\beta_i}{\to}G$ ($i=1,2$)~-- два расширения группы $G$ абелевой группой $A$, индуцирующие одинаковые действия $G$ на $A$. Пусть $f_i\colon G\times G\to A$~-- соответствующие им коциклы. Докажите, что существует единственное с точностью до изоморфизма расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$, которое задаётся коммутативной диаграммой\[
 	\begin{tikzcd}
 	A\oplus A\ar{r}{\alpha_1\oplus\alpha_2}\ar{d}{\nabla_A}&E_1\times E_2\ar{r}{\beta_1\times\beta_2}\ar{d}&G\times G\ar[equal]{d}\\
 	A\ar{r}{\alpha'}\ar[equal]{d}&E'\ar{r}{\beta'}&G\times G\\
 	A\ar{r}{\alpha}&E\ar{u}\ar{r}{\beta}&G\ar{u}{\Delta_G}
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	и что это расширение соответствует коциклу $f_1+f_2$.
 	\item Пусть $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$~-- расширение группы $G$ абелевой группой $A$. Пусть $F=\Z G^{\oplus E}$~-- свободный $G$-модуль с базисом $\{[e]\,|\,e\in E\}$. Пусть $R$~-- подмодуль $F$, порождённый множеством $\{[e_1e_2]-[e_1]-\beta(e_1)[e_2]\,|\,e_1,e_2\in E\}$. Определим $G$-гомоморфизмы $\phi\colon A\to F/R$ и $\psi\colon F/R\to\Z G$ равенствами $\phi(a)=[\alpha(a)]+R$ и $\psi([e]+R)=\beta(e)-1$. Докажите, что последовательность
 	\[0\to A\overset{\phi}{\to}F/R\overset{\psi}{\to}\Z G\overset{\pi}{\to}\Z\to0\]
 	точна и её класс в $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)$ соответствует при каноническом изоморфизме $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)/\unsim\cong H^2(G,A)$ элементу, соответствующему изначальному расширению группы $G$ группой $A$.
 	\item Пусть имеется расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$ группы $G$ абелевой группой $A$, причём $|G|=m$ взаимно просто с $|A|<\infty$. Докажите, что любые две подгруппы в $E$ порядка $m$ сопряжены элементом из $A$.
 \end{enumerate}
 
 \vspace*{1em}
 \marginpar{\vspace{1.3em}Лекция 8\\21 октября}\begin{center}
 	\bfseries* * *\\
 	\scriptsize Продолжаем про расширения групп
 \end{center}
 Заметим, что \[\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)\cong\Hom_{\Z}(\Z G^{\otimes n},A)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\Hom_{\mathcal{S}et}(G^n,A)\text{,}\] где $\Hom_{\mathcal{S}et}(G^n,A)$~-- множество функций (в смысле отображений между множествами) из $G^n$ в $A$ с поточечным сложением: действительно, $\Z G^{\otimes n}$~-- свободный $\Z$-модуль с базисом $g_1\otimes\ldots\otimes g_n$; образы базиса определяют отображение $G^n\to A$.
 
 $\Hom_{\Z G}(-,A)$, применённый к бар-резольвенте $\Z$, в такой записи имеет вид
 \[\begin{tikzcd}
 \cdots\ar{r}&\Hom_{\mathcal{S}et}(G,A)\ar{r}{h\mapsto\delta h}&\Hom_{\mathcal{S}et}(G^2,A)\ar{r}{f\mapsto\delta f}&\Hom_{\mathcal{S}et}(G^3,A)\ar{r}&\cdots\\
 \end{tikzcd}\]
 \vspace{-3.8em}\begin{align*}
 \delta h(g_1,g_2)=&h(g_2)-h(g_1g_2)+h(g_1)g_2\\
 \delta f(g_1,g_2,g_3)=&f(g_2,g_3)-f(g_1g_2,g_3)+f(g_1,g_2g_3)-f(g_1,g_2)g_3
 \end{align*}
 Это поможет нам ответить на вопрос ``когда функции $f,f'\in Z^2(G,A)$ определяют эквивалентные расширения?''
 
 При построении расширения мы выбирали только $\sigma\colon G\to E$. Пусть $\sigma\colon G\to E_1$ и $\tilde{\sigma}\colon G\to E_2$ задают эквивалентные расширения
 \[\begin{tikzcd}[cramped]
 A\ar[hook]{r}\ar[equal]{d}&E_1\ar{d}{\cong}\ar[two heads,shift left=-0.7]{r}&\ar[shift left=-0.7,swap]{l}{\sigma}G\ar[equal]{d}\\
 A\ar[hook]{r}&E_2\ar[two heads,shift left=-0.7]{r}&\ar[shift left=-0.7,swap]{l}{\tilde{\sigma}}G\\
 \end{tikzcd}\]
 Отождествим $E_1$ и $E_2$, тогда из условия на $\sigma$: $\beta\sigma=\beta\tilde{\sigma}=\id_G$, откуда\[(\sigma(x))^{-1}\tilde{\sigma}(x)\in\ker\beta=\im\alpha\]
 Обозначим $\gamma(x)\defeq(\sigma(x))^{-1}\tilde{\sigma}(x)$. Это функция $G\to A$. Получается, что $\tilde{\sigma}(x)=\sigma(x)\gamma(x)$.
 По условию на коциклы (вспомните замечание на с.~\pageref{groupcocycleeqn})
 \begin{multline*}
 \tilde{f}(x,y)=(\tilde{\sigma}(xy))^{-1}\tilde{\sigma}(x)\tilde{\sigma}(y)=(\sigma(xy)\gamma(xy))^{-1}\sigma(x)\gamma(x)\sigma(y)\gamma(y)=\\
 \gamma(xy)^{-1}\underbrace{\sigma(xy)^{-1}\sigma(x)\sigma(y)}_{=f(x,y)}\underbrace{\sigma(y)^{-1}\gamma(x)\sigma(y)}_{=\gamma(x)\cdot y}\gamma(y)
 \end{multline*}
 Переписывая это аддитивно (образы всех этих штук в $A$, поэтому их можно переставлять)
 \[\tilde{f}(x,y)=f(x,y)\underbrace{-\gamma(xy)+\gamma(y)-\gamma(x)\cdot y}_{\in B^2(G,A)}\]
 
 Получается, что $\gamma$~-- в точности кограница.
 
 Обозначим построенную нами с помощью коцикла $f\in Z^2(G,A)$ группу $E$-расширение $G$ с помощью $G$-модуля $A$ как $[G,A,f]$. Итак, получаем теорему
 \begin{thm}\label{thm_extsdescription}
 	Любое расширение $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, где $A$~-- $G$-модуль, изоморфно $A\hookrightarrow [G,A,f]\twoheadrightarrow G$ для некоторого $f\in Z^2(G,A)$. Коциклы, соответствующие изоморфным расширениям, отличаются на элемент $B^2(G,A)$.
 
 	Другими словами, есть каноническое соответствие между расширениями $G$ с помощью $G$-модуля $A$ с точностью до изоморфизма и элементами $H^2(G,A)$.
 \end{thm}
 \begin{corollary*}
 	$m,q$ взаимно просты, $X$~ группа\marginpar{\scriptsize\color{awesome}$X$ не обязательно абелева!} порядка $q$, $G$~-- группа порядка $m$. Тогда любое расширение $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ расщепляется.
 \end{corollary*}
 \begin{proof}[Доказательство следствия] Есть два случая
 	\begin{enumerate}
 		\item Если $X$ абелева, то все следует из теоремы~\ref{thm_extsdescription} об описании расширений и теоремы~\ref{thm_ordermultisnullhomotopic}: $m\cdot H^2(G,X)=0$ и $q\cdot H^2(G,X)=0$ (очевидно, потому что все элементы там~-- функции в $X$, умножение поточечное, а $|X|=q$). Поэтому $H^2(G,X)=0$, значит, все расширения~-- полупрямые произведения.
 
 		\item $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$. $|X|=q, |G|=m, \gcd(q,m)=1$.
 
 		Заметим, что расширение расщепляется, когда в $E$ есть подгруппа порядка $m$. Тогда она тривиально пересекается с $X$ (порядки взаимно просты) и поэтому она изоморфна $G$, поэтому $E$~-- (внутреннее) полупрямое произведение.
 
 		Доказываем индукцией по $|X|=q$. Пусть $p$~-- простое, делящее $q$, $P$~-- силовская $p$-подгруппа $X$ (и она же силовская $p$-подгруппа в $E$, потому что индекс $X$ в $E$ взаимно прост с порядком).
 
 		Обозначим $N\defeq N_E(P)$~-- нормализатор $P$ в $E$; $C\defeq Z(P)$~-- центр $P$: так как $P$~-- $p$-подгруппа (то есть порядка $p^k$), он нетривиален (из уравнения классов). Понятно, что $N_X(P)=N\cap X$.
 		\begin{multicols}{2}
 			\noindent\vspace*{\fill}
 			\[
 			\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
 			& E & \\
 			X\ar[dash]{ur}{m}&  & N\ar[dash]{ul}\\
 			& N\cap X\ar[dash]{ur}{m}\ar[dash]{ul}&&H\ar[dash]{ul}\\
 			&P\ar[dash]{u}&\\
 			&C\ar[dash]{u}&\\
 			&\{1\}\ar[dash]{u}&
 			\end{tikzcd}
 			\]
 			\vspace*{\fill}
 
 			\columnbreak
 
 			$[E:N]$ равно количеству силовских $p$-подгрупп: все силовские $p$-подгруппы сопряжены (то есть орбита одна), а нормализатор $N$ оставляет $P$ на месте, по теореме об орбите стабилизаторе орбита имеет длину $[E:N]$.
 
 			Оно же равно $[X:N\cap X]$~-- числе силовских подгрупп в $X$.
 		\end{multicols}
 		Понятно, что $N\trianglerighteqslant P\trianglelefteqslant N\cap X\trianglelefteqslant N$, поэтому есть короткая точная последовательность (точность из третьей теоремы об изоморфизме)\[\frac{N\cap X}{P}\hookrightarrow\frac{N}{P}\twoheadrightarrow\frac{N}{N\cap X}\text{.}\]
 		Группа $\frac{N}{N\cap X}$ порядка $m$, порядок группы $\frac{N\cap X}{P}$~-- делитель $q$ и не делитель $p$ (иначе она не была бы силовской), так что по индукции существует подгруппа порядка $m$ в $\frac{N}{P}$. Обозначим её $\frac{H}{P}$ для некоторого $P\trianglelefteqslant H\le N$.
 		Так как $P$ нормальна в $H$, $H$ должна сохранять $C$, поэтому $C\trianglelefteqslant H$.
 		Из третьей теоремы об изоморфизме есть короткая точная последовательность \[\frac{P}{C}\hookrightarrow\frac{H}{C}\twoheadrightarrow\frac{H}{P}\text{.}\]
 		\marginpar{\tiny\ldots бабка за дедку, дедка за центр, тянут-потянут и вытянули группу порядка $m$}$\frac{H}{P}$ порядка $m$; так как $C$ нетривиален, порядок $\frac{P}{C}$ меньше $q$. По индукционному предположению $\exists L\colon C\trianglelefteqslant L\le H$, что $|L/C|=m$. Поэтому есть расширение $C\hookrightarrow L\twoheadrightarrow L/C$. $C$ абелева, поэтому в $L$ есть подгруппа $K$ порядка $m$. $K\le L\le H\le N\le E$. Нашли подгруппу порядка $m$ в $E$.
 		\qedhere
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 \subsection{Расширения с произвольным ядром}
 Теперь рассматриваем расширения $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, когда $X$ не обязательно абелева. Всё ещё есть гомоморфизм $E\to\Aut(X^{\op})$, работающий так: \[y\mapsto\nu_y,\;\nu_y(x)=y^{-1}xy\;\forall x,y\in E\text{.}\]
 Но теперь если $y\in X$, то не обязательно $\nu_y=\id_X$. Однако всегда $\nu_y,y\in X$ лежит в $\Inn(X)$ (понятно). Получается, что отображение $y\mapsto\nu_y$ индуцирует отображение $G\overset{\psi}{\to}\Out(X)$. Получаем
 \[
 \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\\
                 &                         &\Inn(X)\ar[hook]{ur}\\
 \end{tikzcd}
 \]
 Получаем, что любое расширение $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ индуцирует $\psi\colon G\to\Out(X)$. Итак, задача: описать все расширения $G$ c помощью $X$, индуцирующее заданное $\psi$.
 
 Как и раньше, $X\overset{\alpha}{\hookrightarrow}G\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$~-- расширение. Опять $\sigma\colon G\to E\in\Hom_{\mathcal{S}et}(G,E)$, что $\beta\sigma=\id_G$. Опять если оно~-- гомоморфизм групп, то $E\cong G\ltimes X$.
 
 Как раньше определим $f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)$. Определим отображение (как множеств) $\gamma\colon y\mapsto \gamma_y$, $\Aut(X)\ni\gamma_y\colon x\mapsto\sigma(y)^{-1}x\sigma(y)$.
 
 \[\bar{\gamma}_y=\psi(y)\text{~-- класс }\gamma_y\text{ в }\Out(X)\]
 \begin{equation}\label{eqn_arbext_condition1}\gamma_y\gamma_z(x)=(\sigma(z)\sigma(y))^{-1}x\underbrace{(\sigma(z)\sigma(y))}_{=\sigma(zy)f(z,y)}=\nu_{f(z,y)}(\gamma_{zy}(x))\end{equation}
 Аналогично абелевому случаю умножение в $E\overset{\mathcal{S}et}{\cong}G\times X$ определяется так:
 \begin{equation}\label{eqn_arbext_multiplication}\tag{$*$}
 (g,a)*(h,b)=(gh,f(g,h)\gamma_h(a)b)
 \end{equation}
 Оно ассоциативно, значит,\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition2}f(gh,t)(\gamma_t f(g,h))=f(g,ht)f(h,t)\text{.}\end{equation}
 Получается, что $E$~-- расширение$\iff$выполняется~\ref{eqn_arbext_condition1} и~\ref{eqn_arbext_condition2}.
 
 Обозначим такое расширение $[G,X,\gamma,f]$. Мы доказали теорему
 \begin{thm}
 	Любое расширение $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, индуцирующее $\psi\colon G\to\Out(X)$, изоморфно расширению $X\hookrightarrow[G,X,\gamma,f]\twoheadrightarrow G$ для некоторых $\gamma\colon G\to\Aut(X)$, что диаграмма $\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]G\ar{d}{\gamma}\ar{rd}{\psi}&\\\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\end{tikzcd}$коммутативна, и $f\colon G\times G\to X$, удовлетворяющего~\ref{eqn_arbext_condition1} и~\ref{eqn_arbext_condition2}; $[G,X,\gamma,f]\overset{\mathcal{S}et}{\cong}G\times X$ с умножением, определенным~\ref{eqn_arbext_multiplication}.
 
 	Обратное тоже верно: если для $\gamma$ и $f$ выполняются эти условия, то $[G,X,\gamma,f]$~-- расширение, индуцирующее $\psi$.
 \end{thm}
 Вопрос: для каких $G,X,\psi$ можно построить функции $\gamma$ и $f$ (соответственно, построить расширение)? Понятно, что можно построить $\gamma$~-- просто поднять $\psi$\marginpar{\begin{flushleft}\tiny$\gamma$~-- отображение {\itshape множеств}!\end{flushleft}}. Непонятно, как построить $f$.
 
 Более того, мы можем добиться, чтобы для некоторого $f$ и получившегося $\gamma$ выполнялось равенство~\ref{eqn_arbext_condition1}. Остается проверить равенство~\ref{eqn_arbext_condition2}.\marginpar{\vspace*{-1.8em}Лекция 9\\28 октября}
 
 	Решили, что хотим проверить ассоциативность $\gamma$.
 	\begin{multline}\label{eqn_arbext_condition3}
 	\nu_{\gamma_zf(x,y)}\nu_{f(xy,z)}\gamma_{xyz}=\nu_{\gamma_zf(x,y)}\gamma_{z}\gamma_{xy}=\gamma_z(\nu_{f(x,y)}\gamma_{xy})=\gamma_z(\gamma_y\gamma_x)=\\(\gamma_z\gamma_y)\gamma_x=(\nu_{f(y,z)}\gamma_{yz})\gamma_x=\nu_{f(y,z)}\nu_{f(x,yz)}\gamma_{xyz}
 	\end{multline}
 	Чтобы выполнялось~\ref{eqn_arbext_condition3}, нужно, чтобы $\nu_{f(y,z)f(x,yz)}=\nu_{\gamma_zf(x,y)f(xy,z)}$, то есть элементы $f(y,z)f(x,yz)$ и $f(xy,z)\gamma_zf(x,y)$ могут быть разными, но должны отличаться друг от друга на элемент центра $K(x,y,z)\in C_X=Z(X)$.
 	\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition4}
 	f(y,z)f(x,yz)K(x,y,z)=f(xy,z)\gamma_zf(x,y)\text{ для некоторого }K\in C^3(G,C_X)
 	\end{equation}
 	Чтобы узнать что-то интересное про $K$, докажем несколько лемм.
 	\begin{lemma}\label{lemma_Kis3cocycle}
 		$K\in Z^3(G,C_X)$.
 	\end{lemma}
 	\begin{lemma}\label{lemma_Kisinhomology}
 		Если $\gamma$ зафиксировано, то можно заменить $K$ на любой коцикл $K'$, отличающийся от $K$ на 3-кограницу.
 
 		Другими словами, если $f,f'\colon G\times G\to C_X$ удовлетворяют~\ref{eqn_arbext_condition1} для $\gamma$ тогда и только тогда, когда строящиеся из соотношения~\ref{eqn_arbext_condition4} коциклы $K,K'$ отличаются на элемент $B^3(G,C_X)$.
 	\end{lemma}
 	\begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kis3cocycle}]
 		Рассмотрим выражение $f(xyz,t)\gamma_t(f(xy,z)\gamma_zf(x,y))$ и преобразуем его разными способами
 		\begin{enumerate}
 			\item $\begin{aligned}[t]
 			&\overset{\text{\tiny из \ref{eqn_arbext_condition4}}}{=}f(xyz,t)\gamma_t(f(x,yz)f(y,z))\gamma_t(K(x,y,z))\\
 			&\overset{\text{\tiny из \ref{eqn_arbext_condition4}}}{=}\underbrace{f(xyz,t)\gamma_tf(x,yz)}\gamma_tf(y,z)\gamma_tK(x,y,z)\\
 			&=K(x,yz,t)f(x,yzt)\underbrace{f(yz,t)\gamma_tf(y,z)}\gamma_tK(x,y,z)\\
 			&=f(x,yzt)f(y,zt)f(z,t)\underbrace{(K(y,z,t)+K(x,yz,t)+\gamma_tK(x,y,z))}_{\text{\tiny сложение в }C_X\text{~-- умножение в }X}
 			\end{aligned}$
 			\item $\begin{aligned}
 				&=\underbrace{f(xyz,t)\gamma_tf(xy,z)}\underbrace{\gamma_t\gamma_zf(x,y)}\\
 				&\overset{\text{\tiny во второй скобке из \ref{eqn_arbext_condition1}}}{=}f(xy,zt)f(z,t)K(xy,z,t)\cdot f(z,t)^{-1}\gamma_{zt}f(x,y)f(z,t)\\
 				&=\underbrace{f(xy,zt)\gamma{zt}f(x,y)}f(z,t) K(xy,z,t)\\
 				&=f(x,yzt)f(y,zt)f(z,t)(K(xy,z,t)+K(x,y,zt))
 			\end{aligned}$
 		\end{enumerate}
 	Сравниваем 1 и 2, получаем условие на 3-коцикл.
 	\end{proof}
 	\begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kisinhomology}]
 		Вспомним равенство~\ref{eqn_arbext_condition1}: если $f$ эквивалентно $f'$, то $\nu_{f(x,y)}=\nu_{f'(x,y)}$, то есть $f,f'$ отличаются на элемент центра. Возьмем $h\colon G\times G\to C_X$, что $f'=fh$.
 
 		Из равенства~\ref{eqn_arbext_condition4} получаем,
 		\[K'(x,y,z)f'(x,yz)f'(y,z)=f'(xy,z)\gamma_zf(x,y)\]
 		Подставим $f'(x,y)=f(x,y)h(x,y)$ и перепишем элементы центра аддитивно
 		\[(K'(x,y,z)+h(x,yz)+h(y,z))f(x,yz)f(y,z)=(h(xy,z)+\gamma_zh(x,y))f(xy,z)\gamma_zf(x,y)\]
 		Перепишем в правой части по условию~\ref{eqn_arbext_condition4} и сократим, получим
 		\[K'(x,y,z)=K(x,y,z)\underbrace{-h(x,yz)-h(y,z)+h(xy,z)+\gamma_zh(x,y)}_{\in B^3(G,C_X)}\qedhere\]
 	\end{proof}
 Мы все доказали при фиксированном $\gamma$. Можно ли его менять?
 \begin{lemma}
 	Если $\gamma$ удовлетворяет условию~\ref{eqn_arbext_condition1} и $K$ удовлетворяет~\ref{eqn_arbext_condition4}, а $\gamma'$~-- другое поднятие $\psi$, то $\exists f'$, что $\gamma',f'$ удовлетворяет~\ref{eqn_arbext_condition1},~\ref{eqn_arbext_condition4} (для того же $K$).
 \end{lemma}
 \begin{proof} Чтобы поднятия соответствовали одному классу, нужно, чтобы $\gamma,\gamma'$ отличались на внутренний автоморфизм, то есть чтобы
 	$\gamma'_x=\nu_{g(x)}\gamma_x$ для некоторого $g\colon G\to X$.
 	\[\begin{aligned}
 	\gamma'_y\gamma'_x&=\nu_{g(y)}\gamma_y\nu_{g(x)}\gamma_x=\nu_{g(y)\gamma_yg(x)}\gamma_y\gamma_x\\
 	&=\nu_{g(y)\gamma_yg(x)}\nu_{f(x,y)}\gamma_{xy}\\
 	&=\nu_{g(y)\gamma_yg(x)}\nu_{f(x,y)}\nu_{g(xy)^{-1}}\gamma'_{xy}
 	&=\nu_{g(xy)^{-1}f(x,y)g(y)\gamma_yg(x)}\gamma'_{xy}
 	\end{aligned}\]
 	Получается, что $f'(x,y)=g(xy)^{-1}f(x,y)g(y)\gamma_yg(x)$.
 
 	Вычислением можно показать, что это $f'$ удовлетворяет~\ref{eqn_arbext_condition4}.
 \end{proof}
 Объединяя все эти леммы, получаем теорему
 \begin{thm}
 	Для $G,X,\psi\colon G\to\Out(X)$ можно выбрать $\gamma$~-- поднятие $\psi$ и $f$, что выполняется~\ref{eqn_arbext_condition1}. Определим $K(x,y,z)=f(y,z)^{-1}f(x,yz)^{-1}f(xy,z)\gamma_zf(x,y)$.
 
 	Существует расширение $G$ с помощью $X$, индуцирующее $\psi$, тогда и только тогда, когда $K=0$ в $H^3(G,C_X)$.
 \end{thm}
 Поэтому иногда элементы $H^3(G,C_X)$ называют \textit{препятствиями}\index{Препятствия для построения расширений} для построения расширения.
 \begin{thm}
 	Если существует расширение $G$ с помощью $X$, индуцирующее $G\overset{\psi}{\to}\Out(X)$\marginpar{\tiny $\psi$ индуцирует $\bar{\psi}\colon G\to\Aut(C_X)$, значит, структуру $G$-модуля на $C_X$.} то классы изоморфизмов всех таких расширений соответствуют элементам $H^2(G,C_X)$.
 \end{thm}
 \begin{proof}[Набросок доказательства.]
 	Если $[G,\gamma,f,X]$~-- некоторое расширение $G$ по $X$, то все другие расширения $[G,\gamma,fh,X]$, где $h\colon G\times G\to C_X$ и два расширения, соответствующие $fh$ и $fh'$ изоморфны, если $h-h'\in B^2(G,C_X)$.
 \end{proof}
 \section*{Практика 8: (ко)гомологии групп 2}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 8: (ко)гомологии групп 2}
 \begin{enumerate}
 	\item
 	\item
 	\item
 	\item Пусть $G$~-- некоторая группа порядка не меньше 3, $A$~-- $G$-модуль, а $h\colon G\times G\times G\to A$~-- нормализованный коцикл (т.е. такой, что $h(1,x,y)=h(x,1,y)=h(x,y,1)=0$ для всех $x,y\in G$). Пусть $F$~-- свободная группа на множестве $\{f_{x,y}|x,y\in G\smallsetminus\{1\}\}$. Для удобства положим $f_{1,x}=f_{x,1}=0$ для всех $x\in G$. Обозначим группу $A\times F$ через $X$. Для $x\in G$ определим гомоморфизм $\phi(x)\colon X\to X$ равенствами $\phi(x)(a)=xa$ для $a\in A$ и $\phi(x)(f_{y,z})=(h(x,y,z),f_{x,y}f_{xy,z}f^{-1}_{x,yz})$. Докажите, что
 	\begin{itemize}
 		\item Для любого $x\in G$ отображение $\phi(x)$ является автоморфизмом;
 		\item Отображение $\phi\colon G\to\Aut(X)$ индуцирует гомоморфизм $\psi\colon G\to\Out(X)$;
 		\item Препятствием к нахождению расширения группы $G$ группой $X$, индуцирующего гомоморфизм $\psi$, является класс коцикла $h$.
 	\end{itemize}
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Заметим, что определение эндоморфизма это почти в точности условие~\ref{eqn_arbext_condition4} на 3-коцикл (только тут левые модули).
 		Докажем, что $\phi(x)\phi(y)=\nu_{f_{x,y}}\phi(xy)$. И правда:
 		\[\phi(x)\phi(y)(a)=xya\]
 		\[\phi(x)\phi(y)(f_{z,t})=\phi(x)(h(y,z,t),f_{y,z}f_{yz,t}f^{-1}_{y,zt})=\]
 		\[\hspace{-3em}=(xh(y,z,t)+h(x,y,z)+h(x,yz,t)-h(x,y,zt),f_{x,y}f_{xy,z}f^{-1}_{x,yz}f_{x,yz}f_{xyz,t}f^{-1}_{x,yzt}(f_{x,y}f_{xy,zt}f^{-1}_{x,yzt})^{-1})\]
 		В первой компоненте до условия на коцикл не хватает $-h(xy,z,t)$.
 		\[=(h(xy,z,t),f_{x,y}f_{xy,z}f_{xyz,t}f_{xy,zt}^{-1}f_{x,y}^{-1})\]
 		$\phi(x)\phi(x^{-1})=\nu_{f_{x,y}}\phi(1)$~-- внутренний автоморфизм, поэтому для всех $x$ $\phi(x)$~-- биекция.
 
 		Так как группа $F$ свободная и у ней больше одного порождающего, у нее тривиальный центр, поэтому $C_X=A$. По построению $h$~-- это в точности препятствие.
 	\end{proof}
 	\item Пусть $A$~-- $C_2$-модуль, $h\colon C_2\times C_2\times C_2\to A$~-- нормализованный коцикл. Обозначим через $\rho$ образующую $C_2$. Пусть $\phi$~-- автоморфизм $A\times C_\infty^{\oplus\Z}$, определенный равенствами $\phi(a)=\rho a$ для $a\in A$ и $\phi([x]_i)=[x]_{i+2}$, где $[x]_{i}$~-- элемент $C_\infty^{\oplus\Z}$, у которого на позиции $i$ стоит $x$, а на остальных~-- единицы (мультипликативные). Пусть $\gamma\colon C_{\infty}\to\Aut(A\times C_\infty^{\oplus\Z})$~-- гомоморфизм, переводящий образующую $C_\infty$ в $\phi^2$. Введем $X=(A\times C_\infty^{\oplus\Z})\rtimes_{\gamma}C_\infty$. Продолжим $\phi$ до автоморфизма $X$, положив $\phi(0,1,y)=(h(\rho,\rho,\rho),1,y)$. Докажите, что
 	\begin{itemize}
 		\item Отображение $C_2\to\Aut(X)$, переводящее единицу в $\id$, а $\rho$ в $\phi$ индуцирует гомоморфизм $\psi\colon C_2\to\Out(X)$;
 		\item Препятствием к нахождению расширения группы $C_2$ группой $X$, индуцирующего гомоморфизм $\psi$, является класс коцикла $h$.
 	\end{itemize}
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 
 	\end{proof}
 \end{enumerate}
 \section{Формулы Кюннета и теоремы об универсальных коэффициентах}
 \subsection{Формулы Кюннета}
 Идея в том, что пусть есть $X_*$~-- комплекс правых $R$-модулей, $Y_*$~-- комплекс левых $R$-модулей. Знаем $H_*(X_*)$ и $H_*(Y_*)$, хотим научиться выражать $H_*(X_*\otimes_RY_*)$ и $H_*(\Hom_R(X_*,Y_*))$.
 \begin{lemma}\label{lesforhomology}
 	$U_*,V_*,W_*$~-- комплексы, цепные отображения $U_*\overset{f_*}{\hookrightarrow}V_*\overset{g_*}{\twoheadrightarrow}W_*$~-- КТП для всех $i\in\Z$.
 
 	Тогда существует $\delta_i\colon H_{i+1}(W_*)\to H_i(U_*)$ и длинная точная последовательность
 	\[
 	\cdots\to H_{i+1}(W_*)\overset{\delta_i}{\to}H_i(U_*)\overset{Hf_i}{\to}H_i(V_*)\overset{Hg_i}{\to}H_i(W_*)\overset{\delta_{i-1}}{\to}H_{i-1}(U_*)\to\cdots
 	\]
 	естественное по $U_*,V_*,W_*$, то есть для любых морфизмов
 	\begin{tikzcd}[sep=tiny]
 	U_*\ar[hook]{r}\ar{d}{\alpha_*}&V_*\ar[two heads]{r}\ar{d}{\beta_*}&W_*\ar{d}{\gamma_*}\\
 	U'_*\ar[hook]{r}&V'_*\ar[two heads]{r}&W'_*\\
 	\end{tikzcd}
 	индуцируются морфизмы длинных точных последовательностей, что все квадраты коммутативные.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Как лемма о змее (утв.~\ref{snakelemma}).
 \end{proof}
 \begin{thm}[Формула Кюннета для гомологий\index{Формулы Кюннета}]\marginpar{Лекция 10\\11 октября}
 	$U_*$~-- комплекс левых $R$-модулей, $U_*$~-- комплекс правых $R$-модулей. $U_i$ и $d_*(U_i)$ плоские для всех $i\in\Z$. Тогда существуют естественная короткая точная последовательность, естественная по $U_*$,$V_*$
 	\[
 	\begin{tikzcd}
 	\bigoplus\limits_{i+j=n}H_iU_*\otimes_R H_jV_*\ar[hook]{r}&H_n(U_*\otimes_RV_*)\ar[two heads]{r}&\bigoplus\limits_{i+j=n-1}\Tor_1^R(H_iU_*,H_jV_*)
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	Комплекс $U_*$ разбивается на короткие точные последовательности $Z_i\hookrightarrow U_i\twoheadrightarrow B_{i-1}$. $U_i,B_i$ плоские, значит $Z_i$ тоже (задача~\ref{Pract1Prob8} c первой практики). Рассмотрим комплексы $Z_*$,$B_*$ с нулевым дифференциалом и короткую точную последовательность $Z_*\overset{\iota_*}{\hookrightarrow}U_*\overset{\pi_*}{\twoheadrightarrow}B_*[-1]$. Все модули плоские, поэтому последовательность\[\begin{tikzcd}Z_*\otimes_RV_*\ar[hook]{r}{\iota_*\otimes\id_{V_*}}&U_*\otimes_RV_*\ar[two heads]{r}{\pi_*\otimes\id_{V_*}}&B_*[-1]\otimes_RV_*\end{tikzcd}\] тоже точная.
 
 	По лемме~\ref{lesforhomology} есть длинная точная последовательность
 	\[\hspace{-6em}
 	\begin{tikzcd}[sep=tiny]
 	\cdots\ar{r}&H_{n+1}(B_*[-1]\otimes_RV_*)\ar{r}{\delta}&H_n(Z_*\otimes_RV_*)\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&H_n(U_*\otimes_RV_*)\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&H_n(B_*[-1]\otimes_RV_*)\ar{r}{\delta}&\cdots\\
 	&&&\coker\delta\ar[hook]{ur}&&\ker\delta\ar[hook]{ur}&
 	\end{tikzcd}
 	\]
 	Поймем, что такое ядро и коядро $\delta$. Для этого вспомним, как устроено это отображение. Изначально (до того как потензорили с $V_*$) $\delta=\pi^{-1}d^U\iota^{-1}$. Отображение $\pi$ совпадает с $d^U$, отображение $\iota$~-- вложение, то есть все $\delta$~-- это просто стандартное вложение $B_i\hookrightarrow Z_i$.
 
 	Так как модули $Z_i,B_i,U_i$ плоские, то $H_n(Z_i\otimes_RV_j)=Z_i\otimes_RH_n(V_j)$, отображение $\delta=(B_*\hookrightarrow Z_i)\otimes\id_{V_*}$.
 \end{proof}
 \begin{Def}
 $U_*,V_*$~-- правые $R$-комплексы, Тогда $\Hom_R(U_*,V_*)$~-- комплекс из модулей $\Hom_R(U_*,V_*)_n=\prod\limits_{j-i=n}\Hom_R(U_i,V_j)$ с дифференциалом\[d^{\Hom_R(U_*,V_*)}_n((f_i\colon U_i\to V_{i+n}))=((f_{i-1}d^U_{i-1}+(-1)^{n+1}d_{i+n-1}^Vf_i)\colon U_i\to V_{i+n-1})\]
 \end{Def}
 \begin{thm}[Формула Кюннета для когомологий]
 	Как и раньше, $U_*,V_*$~-- правые $R$-комплексы, что $U_i$ и $d(U_i)$~-- проективные $R$-модули. Тогда существует короткая точная последовательность
 	\[
 	\begin{tikzcd}
 	\prod\limits_{i\in\Z}\Ext_R^1(H_iU_*, H_{i+n+1}V_*)\ar[hook]{r}&H_n\Hom_R(U_*,V_*)\ar[two heads]{r}&\prod\limits_{i\in\Z}\Hom_R(H_iU_*,H_{i+n}V_*)
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	Опять $Z_*\hookrightarrow U_*\twoheadrightarrow B_*[-1]$. $U_i,B_i$ проективные, значит, последовательность расщепляется, значит, $Z_i$ прямое слагаемое $U_i$, значит, он тоже проективный.
 \end{proof}
 \printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
 \end{document}