\centerline {\bf solutions}\bigskip 
\EX {3}{}
$θ = \dfrac π7$ :
         $\dfrac 1{\sinθ} - \dfrac 1{\sin3θ} = \dfrac {2\cos2θ}{\sin3θ}
         = \dfrac 1{\sin2θ}$.
\EX {4}{}
Pour $u₀>0$ on a $u_n\searrow0$ et pour $u₀<0$ on a $u_n\nearrow0$.
         $f'(0)=½$ donc $u_{n+1}∼½u_n$ et la série $⅀u_n$ converge absolument
         (d'Alembert).
\EX {5}{}
785.
\EX {7}{}
$f(x) = \cos x$.
\EX {8}{}
$8(n³ + n) = (2n+1)(4n²-2n+5) - 5 ⇒ d = (2n+1)∧5
         ⇒ d=5$ si $n≡2\pmod5$, $d=1$ sinon.
\EX {11}{}
$P = a(X-b)^α$.
\EX {13}{}
\QQ {1}
$1-X² = (1-2X\cosθ+X²)(1 + 2X\cosθ + … + 2Xⁿ\cos nθ)
                    + 2X^{n+1}\cos(n+1)θ - 2X^{n+2}\cos nθ$.
\QQ {2}
$=\dfrac{\cos nθ - \cos(n+1)θ}{1-\cosθ}$.
\EX {14}{}
\QQ {3}
Développer le produit.
\EX {15}{}
$= |a-b|(a∧b)²$ ou $3|a-b|(a∧b)²$.
\EX {16}{}
\QQ {3}
Développer le produit.
\EX {17}{}
$a=b=±c$.
\EX {19}{}
\QQ {1}
$P₀(u) = 2$, $P₁(u) = u$, $P_{n+1}(u) = uP_n(u) - P_{n-1}(u)$.
\QQ {2}
$u_k = 2\cos(\frac {(2k+1)π}{2n})$, $k = 0, …, n-1$.
\EX {21}{}
\QQ {1}
$y = -1 + \dfrac1{1-λe^x}$ ou $y = -1$.
\QQ {2}
$y ≡ 2\arctan(λe^{-\cos x}) - \dfracπ2 \pmodπ$.
\QQ {3}
$y = ±√{1+(√x+λ)²}$ ou $y = ±1$.
\QQ {4}
$y = -\ln\bigl(1-x(1-1/e)\bigr)$.
\QQ {5}
$y=\left(λ+\dfrac x2\right)\left|λ+\dfrac x2\right|$ ou $y = 0$.
\EX {22}{}
\QQ {1}
$1 - \cosα = 2\sin(α/2) \cos((β+γ)/2)$ et
         $\cosβ + \cosγ = 2\sin(α/2) \cos((β-γ)/2)$.
\QQ {2}
$=1$.
\EX {29}{}
\QQ {1}
$F_n(X) = ⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac{e^{2ikπ/n}}{X+n(1-e^{2ikπ/n})}$.
\QQ {2}
%
    $F_n(2x) - F_n(-2x) = ⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac{4xe^{2ikπ/n}}{4x²-n²(1-e^{2ikπ/n})²}
                        = ⅀_{k=0}^{n-1}\dfrac{x}{x²e^{-2ikπ/n}+n²\sin(kπ/n)²}$.

    Supposons $n$ impair, et regroupons les termes conjugués obtenus pour
    $k$ et $n-k$~:

    $F_n(2x) - F_n(-2x) = \dfrac1x + ⅀_{k=1}^{(n-1)/2}\Bigl(\underbrace{
    \dfrac{x}{x²e^{-2ikπ/n}+n²\sin(kπ/n)²} + \dfrac{x}{x²e^{2ikπ/n}+n²\sin(kπ/n)²}
    }_{=u(k,n,x)}\Bigr)$.

    On transforme la somme en série de $k=1$ à $k=∞$ en posant $u(k,n,x) = 0$
    si $k>(n-1)/2$, puis on passe à la limite, sous réserve de justification,
    dans cette série pour $n→∞$, ce qui donne la formule demandée.
    \medskip
    Justification de l'interversion limite-série~:

    en utilisant $\sin(t)⩾\dfrac{2t}{π}$
    pour $0⩽t⩽\dfrac{π}2$ on a $|u(k,n,x)| ⩽\dfrac{2|x|}{4k²-x²}$ pour tout
    $k⩾|x/2|$, donc il y a convergence normale par rapport à $n$, à $x$ fixé.
\QQ {3}
$⅀_{k=1}^∞\dfrac{2}{x²+k²π²} = \dfrac{\coth(x)}x-\dfrac1{x²}$
    est normalement convergente sur $ℝ$, on peut passer à la limite
    pour $x→0$.
\EX {30}{}
$\cos 4x = -\sin x ⇒ x=\frac{3π}{10}$.
\EX {31}{}
Série alternée.
\EX {33}{}
\QQ {1}
$f(x) = (x|u)u + \cosα(u∧x)∧u + \sinα(u∧x)$.
\QQ {2}
$M = (\cosα)I
                + (1-\cosα)\mat(a² &ab &ac \cr
                                ab &b² &bc \cr
                                ac &bc &c² \cr)
                + \sinα\matr(   0  &-c &b  \cr
                                c  &0  &-a \cr
                                -b &a  &0  \cr)$.
\EX {35}{}
\QQ {3}
oui pour $φ_P$.

         Pour $ψ_P$ : $∀A,B$, $\tr({}^t\!AB)=\tr({}^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}BP)
                               =\tr(P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}B)$.

         Donc $P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1} = A$, donc $P\,^tP$ est scalaire,
         donc $P$ est une matrice de similitude.
\EX {37}{}
\QQ {3}
Fubini $⇒ I=\frac{π²}8$.
\EX {38}{}
\QQ {3}
Non lorsque la valeur propre médiane est nulle
             (paraboloïde hyperbolique, cylindre hyperbolique,
             cylindre parabolique, plans).
\EX {39}{}
$a,b,c$ deux à deux premiers entre eux.
\EX {40}{}
\QQ {1}
Soit $f$ non identiquement nulle vérifiant $f''=λΔ f$ avec $λ > 0$~:
    sur tout intervalle où $f$ est strictement positive, $f$ est strictement convexe
    donc ne peut pas s'annuler aux deux bords~; idem quand $f$ est strictement
    négative, il y a contradiction. Le cas $λ=0$ est trivial.
\QQ {2}
$(f│g) = ∫_{t=a}^bf'(t)g'(t)\,𝕕t = -∫_{t=a}^bf''(t)g(t)\,𝕕t  = -∫_{t=a}^bf(t)g''(t)\,𝕕t$.
\QQSQ {3}{98}
Si $f_λ$ a un nombre fini de zéros, soit $x_n$ le
    dernier et $A=\max(x_n,2)$.

    Sur $[A,+∞[$, $f$ est de signe constant, $ε$,
    et on a $f_λ''-λ f_λ = λ(Δ-1)f_λ = φ$
    d'où $$f_λ(x) = ∫_{t=A}^x\sin((x-t)√{-λ}\,)φ(t)\,𝕕t + α\cos(x√{-λ}\,) + β\sin(x√{-λ}\,).$$
    En particulier $f_λ(A)+f_λ\Bigl(A+\dfrac{π}{√{-λ}}\Bigr)
    = ∫_{t=A}^{A+π/√{-λ}}\sin((x-t)√{-λ}\,)φ(t)\,𝕕t$ est du
    signe de $-ε$, absurde.
    \smallskip
    Si l'ensemble des zéros de~$f$ admet un point d'accumulation~$x$ on
    a $f_λ(x) = f_λ'(x) = 0$ d'où $f_λ=0$, absurde.
\EX {41}{}
\QQ {1}
$1-X² = (1-2X\cosθ+X²)(1 + 2X\cosθ + … + 2Xⁿ\cos nθ)
                    + 2X^{n+1}\cos(n+1)θ - 2X^{n+2}\cos nθ$.
\QQ {2}
$=\dfrac{\cos nθ - \cos(n+1)θ}{1-\cosθ}$.
\EX {42}{}
\QQ {1}
$D_n = 2\cosθ D_{n-1} - D_{n-2} ⇒ D_n = \dfrac{\sin(n+1)θ}{\sinθ}$.
\QQ {2}
$-2\cos\left(\dfrac{kπ}{n+1}\right)$, $1 ⩽ k ⩽ n$.
\EX {44}{}
$(X²-X+1) (X²+X+1) (X²-X√3+1) (X²+X√3+1)$.
\EX {45}{}
\QQ {1}
Associative, commutative, $⦃e⦄$ = élt neutre,
             $A$ est symétrisable $⇔ A = ⦃a⦄$ avec $a$ symétrisable.
\QQ {2}
Oui.
\EX {46}{}
\QQ {1}
Système de Cramer ssi $m≠0,±2$ ; compatible ssi $m≠2$.
\QQ {2}
Système de Cramer ssi $m≠0,±1,±i$ ; compatible ssi $m≠0,±i$.
\QQ {3}
Système de Cramer ssi $m≠1,±2i$ ; compatible ssi $m≠1$.
\QQ {4}
Système de Cramer ssi $m ≠0,-2$ ; sinon incompatible.
\QQ {5}
Système de Cramer ssi $a,b,c$ sont distincts.
         Sinon, il y a des solutions ssi $d∈⦃a,b,c⦄$.
\QQ {6}
Système compatible ssi $3a+2b+2c+d=0$.
\QQ {7}
Système de Cramer.
\QQ {8}
Système de Cramer ssi $\cosα,\cosβ,\cosγ$ sont distincts.
         Sinon, il y a des solutions ssi les seconds membres
         correspondants sont égaux.
\QQ {9}
CN d'existence de solution : $p+q+r = 0$. C'est une CNS si la liste
         $(a,b,c)$ comporte au plus un zéro.
\QQ {10}
Système de Cramer ssi $a≠1,-2$ et $b≠0$. \par
         Pour $b=0$ : système incompatible.\par
         Pour $a=1$ : système compatible ssi $b=1$.\par
         Pour $a=-2$ : système compatibmle ssi $b=-2$.
\QQ {11}
Décomposition en éléments simples de
$F = \dfrac x{X+a} + \dfrac y{X+2a} + \dfrac z{X+3a}$ avec
$F(1) = F(2) = F(3) = 1$. Il y a une solution unique si $a ≠ 0$.
\EX {47}{}
$=2$.
\EX {49}{}
\QQSQ {3}{97}
$⅀_{k=1}^n (-1)^k\bin nk(n-k)^p$.
\SQ {98}
$⅀_{k=1}^n \dfrac{(-1)^kn!}{k!}$.
\EX {50}{}
Récurrence.