\centerline {\bf solutions}\bigskip 
\EX {2}{}
\QQSQ {1}{97}
Développer $f(x+h)$ et utiliser la symétrie de~$u$.
\SQ {98}
$𝛻f(x) = 2u(x)-b$.
\SQ {99}
$u$ est continue en tant qu'endomorphisme d'un ev de dimension
               finie.
\QQSQ {2}{97}
$u$ est bijective~; le seul point annulant $𝛻f(x)$ est
                 $x=\frac12u^{-1}(b)$.
\SQ {98}
Soit $λ∈\sp(u)$ et $x_λ$ un vecteur propre associé.
                 On a $f(tx_λ) = t²λ∥x_λ∥² - t(b│x_λ)⟶_{t→+∞}+∞$.
\SQ {99}
Soit~$x₀=\frac12u^{-1}(b)$ le point critique de~$f$.
                 On a $f(x₀+h) = f(x₀) + (u(h)│h)$ et $(u(h)│h)>0$
                 si $h≠0$ par décomposition de~$h$ dans une base orthonormale
                 propre pour~$u$. Donc $f$ admet un minimum global strict
                 en~$x₀$.
\EX {4}{}
\qq $x≡ 7422 \pmod {13860}$.
\qq $x≡ 7 \pmod {60}$.
\EX {5}{}
$A\,^t\!A = (a²+b²+c²+d²)I$.
\EX {6}{}
\QQ {1}
$\dim H + \dim K = \dim E$.
\QQ {2}
Si $H$ et $K$ ne sont pas supplémentaires alors $𝓔$ n'est pas
             stable pour $∘$.
\EX {7}{}
Ils sont égaux.
\EX {8}{}
\QQ {1}
Commutative, associative, $0=$ élt neutre, tout élt
             $≠1$ est régulier, seul 0 est symétrisable.
\QQ {2}
Tout élt est symétrisable et $x^{-1} = \dfrac x{x-1}$.
\EX {13}{}
\QQ {1}
%
    $Γ_n^0 = 1$, $Γ_n^1 = n$, $Γ_n^2 = \dfrac {n(n+1)}2$,
    $Γ_2^n = n+1$.
\EX {15}{}
\QQ {1}
$u_n\searrow√a$, et $u_n-√a < \dfrac{a-√a}{(2√a)^{2ⁿ-1}}$.
\QQ {2}
$u_{2n}→0$, $u_{2n+1}→1$.
\QQ {3}
Si $0⩽u₀⩽1$ : $u_n\searrow0$, sinon $u_n\searrow-∞$.
\QQ {4}
\vtop{\halign{&#\hfil\cr
   $¼ < α$                   &: &$u_n→∞$.\cr
   ${\scriptstyle-}¾ < α ⩽¼$ &: &$u_n→\dfrac{1-√{1-4a}}2$.\cr
   $-1 < α ⩽{\scriptstyle-}¾$&: &un point fixe et deux points réciproques.
                                 $(u_n)$ ne converge pas.\cr
}}
\QQ {5}
Si $u₀ > {\scriptstyle-}½$, $u_n→∞$;
         si $u₀ < {\scriptstyle-}½$, $u_n→-1$.
        
\QQ {6}
$u_n→½$.
\QQ {7}
Thm du point fixe sur $]-∞, \frac74] ⇒ u_n→1$.
\QQ {8}
Si $u₀≠1$, $∃n \tq 4-3u_n< 0⇒$ suite finie.
\QQ {9}
$u_n→α ≈ 0.39754$.
\QQ {10}
1 est point fixe, il y a deux points réciproques.
         $(u_n)$ ne converge pas.
\QQ {11}
\vtop{\halign{&#\hfil\cr
   $1 < α$    &: &$u_n→0 \text{ si } u₀<1$, $u_n→∞\text{ si } u₀>1$.\cr
   $-1< α <1$ &: &$u_n→1$.\cr
   $α ⩽-1$ &: &si $u₀ ≠1$, $(u_n)$ diverge.\cr
}}
\QQ {12}
\vtop{\halign{&#\hfil\cr
   $e^{1/e} < α$          &: &$u_n→∞$.\cr
   $1     < α <  e^{1/e}$ &: &deux pts fixes, $β<γ$.
                              $u_n→β \text{ si } u₀<γ$,
                               et $u_n→∞ \text{ si } u₀>γ$. \cr
   $e^{-e} ⩽ α <  1$      &: &un pt fixe, $β$, et $u_n→β$.\cr
   $        α <  e^{-e}$  &: &un point fixe et deux points réciproques.
                             $(u_n)$ ne converge pas.\cr
}}
\EX {16}{}
\QQ {1}
Bezout généralisé.
\QQ {3}
$((1-X)P' - nP)(1-X)^{n-1} + (nQ + XQ')X^{n-1} = 0$.
\QQ {4}
$P^{(k+1)}(0) = (n+k)P^{(k)}(0) ⇒ P = ⅀_{k=0}^{n-1} \bin{n+k-1}k X^k$.
\EX {17}{}
\QQ {2}
$⅛(9-15X²)$, $⅛(75X-105X³)$, $⅛(-15+45X²)$, $⅛(-105X+175X³)$.
\EX {18}{}
On suppose $h$ réel.
La série converge localement normalement sur $ℝ^*$ donc $f$ est définie
sur~$ℝ$ et continue sur $ℝ^*$. Continuité en~$0$~: on pose $A_n = ⅀_{k=n}^∞ a_k$
et $φ(t) = \dfrac{\sin²(t)}{t²}$ si $t≠0$, $φ(0) = 1$ ($φ$ est $𝓒^∞$
sur~$ℝ$ comme somme d'une série entière de rayon infini). Pour $h≠0$ on a~:
$$f(h) = ⅀_{n=1}^∞(A_n-A_{n+1})φ(nh)
       = A_1φ(h) + ⅀_{n=2}^∞ A_n(φ(nh)-φ((n-1)h))
       = A_1φ(h) + ⅀_{n=2}^∞ A_n∫_{t=(n-1)h}^{nh}φ'(t)\,𝕕t.$$
Cette dernière série est uniformément convergente sur~$ℝ$ car $A_n⟶_{n→∞}0$ et
$∫_{t=0}^{+∞}|φ'(t)|\,𝕕t$ est convergente.
\EX {19}{}
\QQ {1}
$1-X² = (1-2X\cosθ+X²)(1 + 2X\cosθ + … + 2Xⁿ\cos nθ)
                    + 2X^{n+1}\cos(n+1)θ - 2X^{n+2}\cos nθ$.
\QQ {2}
$=\dfrac{\cos nθ - \cos(n+1)θ}{1-\cosθ}$.
\EX {20}{}
\QQ {3}
oui pour $φ_P$.

         Pour $ψ_P$ : $∀A,B$, $\tr({}^t\!AB)=\tr({}^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}BP)
                               =\tr(P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}B)$.

         Donc $P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1} = A$, donc $P\,^tP$ est scalaire,
         donc $P$ est une matrice de similitude.
\EX {21}{}
Soit $p_n$ cette probabilité. En conditionnant par le résultat
du $n$-ème lancer, on a

$(2n+1)p_n = 1 + (2n-1)p_{n-1} = … = (n-1)+3p₁=n+1$.
\EX {22}{}
\QQ {2}
éléver au carré :
             $|α|² + |β|² + 2\underbrace{|αβ|}_{|µ|²} =
             \underbrace{|m-µ|² + |m+µ|²}_{2|m|² + 2|µ|²} +
             2\underbrace{|m²-µ²|}_{|α-β|²/4}$.
\EX {24}{}
\QQ {3}
$G = \tr(F)I - {}^tF$.
\EX {25}{}
Formule de Taylor : $\dfrac {P^{(k)}}{k!} ∈ ℤ[X]$.
\EX {26}{}
\QQ {3}
ssi $∃G ∈ 𝕂(X)$ tel que $G∘F = X ⇒ P∘F = X(Q∘F)$.
             $F = \dfrac AB$, $A∧B = 1 ⇒ A│(p₀ - Xq₀)$ et $B│(p_n - Xq_n) ⇒
              F$ est homographique.
\QQ {4}
$F = φ(X)$.
\EX {28}{}
On pose $g(t) = f(a|t|/π)$ pour $t∈{[-π,π]}$, prolongée par $2π$-périodicité.
Alors $g$ est paire, continue, et tous ses coefficients de Fourier sont nuls donc $g=0$.
\EX {29}{}
%
Pour $∥x∥⩽1$ et $∥y∥⩽1$ on a $∥f(x)-f(y)∥ = ∥x-y∥$.

Pour $∥x∥⩽1<∥y∥$ on a
$∥f(x)-f(y)∥⩽∥x-y∥ + \Bigr∥y - \dfrac y{∥y∥}\Bigr∥
= ∥x-y∥ + ∥y∥ - 1⩽∥x-y∥ + ∥y∥ - ∥x∥⩽2∥x-y∥$.

Pour $1 < ∥x∥⩽∥y∥$ on a $∥f(x) - f(y)∥ ⩽
\Bigl∥\dfrac x{∥x∥} - \dfrac y{∥x∥}\Bigr∥ +
\Bigl∥\dfrac y{∥x∥} - \dfrac y{∥y∥}\Bigr∥ ⩽
\dfrac{∥x-y∥ + ∥y∥ - ∥x∥}{∥x∥}⩽\dfrac{2∥x-y∥}{∥x∥}$.

\medskip
Remarque~: dans le cas où la norme est euclidienne, $f(x)$ est le projeté
de $x$ sur la boule unité, c'est-à-dire le point de la boule unité le plus
proche de~$x$. Dans ce cas, $f$ est $1$-lipschitzienne. Dans le cas d'une norme
non euclidienne on peut avoir $∥f(x)-f(y)∥ > ∥x-y∥$, par exemple
avec $x=(1,1)$ et $y=(½,\frac32)$ dans $ℝ²$ pour $∥\ ∥_∞$.
\EX {30}{}
\QQ {1}
$x  > -1$ : $ \frac π4   - \arctan x$,
             $x  < -1$ : $-\frac {3π}4- \arctan x$.
\QQ {2}
$= ½\arccos x$.
\QQ {3}
$-1 ⩽ x < -\frac1{√2}$ : $\arcsin x + \frac{3π}4$,
             $-\frac1{√2} < x ⩽ 1 $ : $\arcsin x - \frac{π}4$.
\QQ {4}
$=\fracπ4$.
\QQ {5}
$=π$ si $0<x<1$, $=0$ si $x<0$ ou $x>1$.
\EX {31}{}
%
${\bf a}⇔{\bf b}$~: thm du rang.

${\bf c}⇔{\bf d}$~: immédiat.

${\bf c}⇒{\bf b}$~: si $AX=XB$ alors pour tout polynôme $P$ on a
$P(A)X = XP(B)$.

$\overline{\bf c}⇒\overline{\bf b}$~: prendre $U$ vecteur propre de $A$,
$V$ vecteur propre de ${}^tB$ associés à la même valeur propre et $X=U^tV$.
\EX {33}{}
On remplace $A$ par $A + b_nI$ et $B$ par $B-b_nI$ ce
         qui ne modifie pas $C$. Maintenant les valeurs propres de~$B$ sont
         positves donc pour tout~$x∈ℂⁿ$ on a $(Ax│x) ⩽ (Cx│x)$.
         Soit $(x₁,…,x_n)$ une base orthonormale propre pour~$A$
         et $(y₁,…,y_n)$ une base orthonormale propre pour~$C$.
         Si $z∈\vect(x₁,…,x_i)$ alors $(Az│z) ⩾ a_i∥z∥²$
         et si $z∈\vect(y_i,…,y_n)$ alors $(Az│z) ⩽ (Cz│z) ⩽ c_i∥z∥²$.
         Or $\vect(x₁,…, x_i)$ et $\vect(y_i,…, y_n)$ ont une intersection
         non triviale (la somme des dimensions est égale à $n+1$) donc il existe
         $z≠0$ tel que $a_i∥z∥² ⩽ c_i∥z∥²$ d'où $a_i⩽ c_i$.
\EX {34}{}
\QQ {1}
Immédiat. La fonction prolongée est $𝓒¹$ sur~$ℝ$ et $𝓒²$ par morceaux.
\QQ {2}
On décompose $f$~:
    $f(x) = - ⅀_{n=1}^∞ \dfrac{c_n}{n²π²}\sin(nπ x)$ avec
    $c_n = 2∫_{u=0}¹ f''(u)\sin(nπu)\,𝕕u$.

    On en déduit~:
    $∥f∥_∞²⩽\Bigl(⅀_{n=1}^∞\dfrac1{n^4π^4}\Bigr)\Bigr(⅀_{n=1}^∞ c_n²\Bigr)
    = \dfrac{2\zeta(4)}{π^4}∥f''∥₂² = \dfrac{∥f''∥₂²}{45}$.
    \smallskip
    Autre démonstration sans utiliser les séries de Fourier~: pour $x∈{[0,1]}$
    on a
    $$\eqalign{
    f(x) &{}= ∫_{t=0}^x f'(t)\,𝕕t = xf'(x) -∫_{t=0}^xtf'(t)\,𝕕t\cr
    f(x) &{}= ∫_{t=1}^x f'(t)\,𝕕t = (x-1)f'(x) -∫_{t=1}^x(t-1)f'(t)\,𝕕t\cr
    f(x) &= (1-x)f(x) + xf(x) = ∫_{t=0}^x t(x-1)f''(t)\,𝕕t + ∫_{t=x}¹ x(t-1)f''(t)\,𝕕t\cr
         &= ∫_{t=0}¹φ(x,t)f''(t)\,𝕕t.\text{ avec }
          φ(x,t) = xt - \min(x,t).\cr}$$
    On en déduit $|f(x)|²⩽ ∥f''∥₂²∫_{t=0}¹φ(x,t)²\,𝕕t
    = \dfrac{x²(x-1)²}3∥f''∥₂²⩽ \dfrac{∥f''∥₂²}{48}$.
\EX {36}{}
\qq rotation autour de $(1,0,1)$ d'angle $-\arccos(1/3)$.
\qq rotation autour de $(-3,1,1)$ d'angle $-\arccos(7/18)$.
\qq demi-tour autour de $(-1,-2,1)$.
\qq rotation autour de $(0,1,1)$ d'angle $2π/3$.
\qq rotation autour de $(-2-√3,1+√2,√2 - √3)$
              d'angle $\arccos( \dfrac {√6 - √2 + 1}{2√6} )$.
\qq symétrie par rapport à $x=y+z$.
\qq symétrie par rapport à $3x=2y-z$.
\qq symétrie par rapport à $x+2y-z=0$.
\qq symétrie-rotation autour de $(1,-3,1)$ d'angle
                     $-\arccos(5/6)$.
\qq symétrie-rotation autour de $(1,-1,0)$ d'angle $π/3$.
\qq projection sur $2x+2y+z=0$ puis rotation d'angle
                 $\arccos(3/5)$.
\EX {37}{}
\QQ {3}
oui pour $φ_P$.

         Pour $ψ_P$ : $∀A,B$, $\tr({}^t\!AB)=\tr({}^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}BP)
                               =\tr(P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1}B)$.

         Donc $P\,^tP\,^t\!A^t(P^{-1})P^{-1} = A$, donc $P\,^tP$ est scalaire,
         donc $P$ est une matrice de similitude.
\EX {39}{}
$D={]-1,1[}$.

         Pour $0<x<1$, par comparaison de $⅀_{n=1}^∞x^{n²}$ à
         $∫_{t=0}^{+∞}x^{t²}\,𝕕t= (t=u/√{-\ln x}) = \dfrac{√π}{2√{-\ln x}}$,
         on obtient $f(x)\sim\dfrac{√π}{2√{1-x}}$.
\EX {40}{}
Soit $𝓑$ une BON fixée, $M = \fct{Mat}_𝓑(f)$,
         $𝓑'$ la BON cherchée et $P$ la matrice de passage de $𝓑$
         à $𝓑'$. On veut que ${}^tM'M'$ soit diagonale avec
         $M' = {}^tPMP$, cad ${}^tP\,^tMMP$ diagonale.
\EX {42}{}
Polynômes de Tchebychev
         $⇒ D = 2^{(n-1)(n-2)/2} V(\cosα₁,…, \cosα_n)$.
\EX {43}{}
La suite $(X_k)$ de fonctions définie par $X_k(t) = X₀$,
$X_{k+1}(t) = X₀ + ∫_{u=0}^t A(u)X_k(u)\,𝕕u$ converge localement
uniformément vers $X$ et $X_k(t)$ est clairement à composantes positives
pour $t⩾ 0$.
\EX {45}{}
\QQ {1}
Si $a≠0$~: $S_f(x) = ⅀_{n=-∞}^{+∞} \dfrac{e^{2π a}-1}{2π(a-in)}e^{inx}
    = \dfrac{e^{2π a}-1}{2πa} + ⅀_{n=1}^{+∞}\dfrac{e^{2π a}-1}{π(a²+n²)}(a\cos(nx) - n\sin(nx))$.
\QQ {2}
On peut supposer $a > 0$ car $I(-a) = -I(a)$ et $I(0) = 0$.
    On envisage d'intégrer terme à terme la
    relation~: $$\dfrac{e^{-u}}{1-e^{-u}}\sin(au) = ⅀_{n=1}^{∞}e^{-nu}\sin(au).$$
    On coupe l'intégrale $∫_0^{+∞}$ en $∫_0^{π/a}+∫_{π/a}^{+∞}$~:
    sur~$[0,π/a]$ le sinus est positif et le théorème d'intégration terme à
    terme, cas positif)
    s'applique. Sur~$[π/a,+∞[$ le théorème d'intégration terme
    à terme, cas vectoriel) s'applique car
    $∫_{π/a}^{+∞}|e^{-nu}\sin(au)|\,𝕕u ⩽ ∫_{π/a}^{+∞}e^{-nu}\,𝕕u
    = e^{-nπ/a}/n$. Ainsi,
    $$I(a) = ⅀_{n=1}^∞ ∫_{u=0}^{+∞}e^{-nu}\sin(au)\,𝕕u
           = ⅀_{n=1}^∞  \dfrac{a}{n²+a²}.$$
\QQ {3}
Déjà fait, $∫_{u=0}^{+∞}e^{-u}\sin(au)\,𝕕u =  \dfrac{a}{a²+1}$.
    Il doit y avoir une autre méthode pour la question précédente (???)
\QQ {4}
En comparant avec~{\bf 1)} pour~$x=0$ on obtient~:
    $I(a) = \dfracπ{2}\dfrac{e^{2aπ}+1}{e^{2aπ}-1}-\dfrac1{2a}$ pour $a>0$.
\EX {48}{}
%
$ℙ($riche$│$bleu$)p+ℙ($riche$│$rouge$)(1-p) = q$. La richesse est équitablement
répartie ssi $q=70\%$.

\EX {49}{}
$\dfrac1{⅀a_i²}(I - (a_ia_j))$.