commit 349546ba5abe48e611fdbdff36b46d75bc5b5947
parent f58b575afe6d420cba528a9cdfcddd01fb5ba348
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Sat, 9 Oct 2021 15:38:25 +0300
added lecture 5 and began lecture 6; fixed some typos; improved typesetting
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 270 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- |
2 files changed, 245 insertions(+), 25 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -10,7 +10,7 @@
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
-\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
+\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
@@ -61,6 +61,7 @@
\DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
\DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
+\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
@@ -70,6 +71,8 @@
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
+\let\mcsepold\multicolsep
+
\setcounter{section}{-1}
\newtheorem{Def}{Определение}
@@ -92,11 +95,13 @@
\makeindex[title=Индекс]{}
+\usepackage{epigraph}
+
\begin{document}
\tableofcontents\newpage
\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
-%\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому -3 от 6 не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
+\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому $-3$ от $6$ не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
Зачем нужна гомологическая алгебра:
\begin{enumerate}
\item Работа с ``препятствиями'':
@@ -171,7 +176,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
$H_n$~-- аддитивный функтор.
\end{stmt}
\begin{proof}
- TODO
+ \todo{доказательство}
\end{proof}
\begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$.
@@ -278,7 +283,6 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Аналогично строится $g_i$, что $\varepsilon g=\tau$.
\vspace*{\fill}
\end{multicols}
- \let\mcsepold\multicolsep
\setlength{\multicolsep}{\parskip}
\begin{multicols}{2}
Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалентности. Для этого нужно доказать, что $\exists s\colon P\to P$, что $gf-\id_P=sd+ds$ (в другую сторону точно так же).
@@ -429,7 +433,6 @@ Cтрелка по построению получается единствен
точна. Более того, если $A\to B$ мономорфизм, то последовательность точна в $\ker f$. А если $Y\to Z$ эпиморфизм, то последовательность точна в $\coker h$. $\partial$ определяется так: $\ker h\ni c\mapsto i^{-1}gp^{-1}(c)\in\coker f$.
\end{lemma}
Техника в доказательстве этой леммы называется ``diagram chasing''. Смысл в том, что мы берем элемент из начала и прогоняем его по стрелкам в диаграмме до конца. Так и строится нужный гомоморфизм.
-\let\mcsepold\multicolsep
\setlength{\multicolsep}{\parskip}
\begin{proof}
\begin{multicols}{2}
@@ -456,7 +459,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{multicols}
$i^{-1}g(x'+\im\alpha)=i^{-1}g(x')+i^{-1}\im if=i^{-1}g(x')+\im f$ ($i$~-- инъекция). Поэтому результат лежит в одном классе в $\coker f$.
- Получающаяся последовательность действительно точна: TODO.
+ \todo{Получающаяся последовательность действительно точна}
Это действительно гомоморфизм (по формуле).
@@ -519,7 +522,6 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{tikzcd}
\]
\end{multicols}
- \let\mcsepold\multicolsep
\setlength{\multicolsep}{\parskip}
\begin{multicols}{2}
Так как $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ точно, по лемме о змее $K_Y\twoheadrightarrow K_Z$ будет эпиморфизмом, поэтому к диаграмме справа сверху можно применить лемму о змее. По ней существует стрелка $K_{FK_Z}\to FX$. Убедимся, что $K_{FK_Z}=(L_1F)Z$.
@@ -577,7 +579,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 2: плоские конечно представимые модули}
Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль несколько фактов:
\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]\label{page_projinjdef}
- $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{r}{\Hom_R(X,\pi)}&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
+ $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{rr}{\Hom_R(X,\pi)}&&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
Двойственно, $R$-модуль $X$ инъективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный слева) контравариантный функтор $\Hom_R(-,X)$ точный.
\end{fact}
@@ -587,15 +589,17 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
\cdots\ar{r} & C_{i+1}\ar{rrr}{d_i}\ar[two heads]{rd} &&& C_i\ar{rrr}{d_{i-1}}\ar[two heads]{rd}\ar[two heads,labels=description]{rrd}{\small(1)} &&& C_{i-1}\ar{r}{d_{i-2}} &\cdots\\
& & \im d_i\ar[hook]{r}&\ker d_{i-1}\ar[hook]{ur}\ar[two heads,labels=description]{rd}{\small(3)} & &\coker d_i\ar[two heads,swap]{r}{(2)} & \im d_{i-1}\ar[hook]{ur}& & \\
- &&&& H_1\ar[hook,labels=description]{ur}{(4)}
+ &&&& H_i\ar[hook,labels=description]{ur}{(4)}
\end{tikzcd}
\]
Каждое отображение разбивается в композицию $C_{i+1}\twoheadrightarrow\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\hookrightarrow C_{i}$. $H_i$ по определению $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Последовательность $\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\twoheadrightarrow H_i$.
$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна.
+
+Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker_{d_{i-2}}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker_{d_{i-2}}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.{\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
\end{fact} %\vspace*{1em}
-На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу 3), но он не проективен(почему???)
+На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу 3), но он не проективен.\todo{(почему???)}
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$.
@@ -756,7 +760,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Понятно, что $\pd_R(M)\le\sup\{\ldots\}$ (или непонятно\ldots). В другую сторону: заметим, что если есть короткая точная последовательность $K_M\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$ с проективным $P$, то $\pd_R(K_M)=\pd_R(M)-1$. По индукции $\pd_R(K_M)=n$, запишем кусок длинной точной последовательности
\[\Ext_R^n(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^n(P,X)}\to\Ext_R^n(K_M,X)\to\Ext_R^{n+1}(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^{n+1}(P,X)}\]
- Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\marginpar{\tinyя потом допишу}
+ Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\todo{потом подробнее напишу}
\end{proof}
\begin{proof}[Альтернативное решение]\let\qed\relax
\end{proof}
@@ -798,15 +802,15 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\end{proof}
\end{enumerate}
\subsection{Фильтрованные копределы и производные функторы}
-\begin{Def}\index{Фильтрованная категория}
+\begin{Def}\index{Фильтрованная категория}\label{def_filtcat}
Малая категория $\mathcal{I}$ называется {\bfseries фильтрованной}, если
\begin{enumerate}
- \item $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})\Rightarrow\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$, что
+ \item\label{filtcat_p1} $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})\Rightarrow\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$, что
\begin{align*}
\Hom_\mathcal{I}(i,k)\ne\varnothing\\
\Hom_\mathcal{I}(j,k)\ne\varnothing
\end{align*}
- \item $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})$ и $f,g\in\Hom_\mathcal{I}(i,j),f\ne g$, то $\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$ и $h\in\Hom_\mathcal{I}(j,k)$, что \[hf=hg\]
+ \item\label{filtcat_p2} $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})$ и $f,g\in\Hom_\mathcal{I}(i,j),f\ne g$, то $\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$ и $h\in\Hom_\mathcal{I}(j,k)$, что \[hf=hg\]
\end{enumerate}
{\bfseries Фильтрованным копределом}\index{Фильтрованный копредел} называется копредел функтора из фильтрованной категории.
\end{Def}
@@ -853,7 +857,9 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
\begin{align*}\hspace{-8em}
\pi((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}})=\underbrace{\pi\left((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}}-\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)}_{=0\text{ из определения }f}+\pi\left(\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)=\pi\left(\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)
\end{align*}
- \item Отображение $A_i\to\colim A$~-- это в точности $\pi([\cdot]_i)$. Пусть $a\in\ker(A_i\to\colim A)\iff\pi([a]_i)=0$. Это означает, что $\exists\phi_k\colon i_k\to j_k$ и $c_k\in A_{i_k}$, что \[
+ \item Отображение $A_i\to\colim A$~-- это в точности $\pi([\cdot]_i)$. Понятно, что выполняется включение $\supseteq$: если для $a\in A_i$ верно $(A\phi)(a)=0$, то $[a]_i=[a]_i-[(A\phi)(a)]_j=[a]_i-0$ лежит в образе $f$.
+
+ Доказываем $\subseteq$. Пусть $a\in\ker(A_i\to\colim A)\iff\pi([a]_i)=0$. Это означает, что $\exists\phi_k\colon i_k\to j_k$ и $c_k\in A_{i_k}$, что \[
[a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}\right)
\]
Из фильтрованности $\mathcal{I}$ найдется $j\in\Ob\mathcal{I}$, что $\exists j_k\overset{\psi_k}{\to}j,i\overset{\phi}{\to}j$.
@@ -862,11 +868,13 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
\[
[(A\phi)(a)]_j=[a]_i-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}\right)-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)
\]
- и для всех $\psi_k\colon j_k\to j$
+ Так что можно доказывать, что $[(A\phi)(a)]_j$ лежит в каком-то ядре, $[a]_i$ тогда будет лежать в ядре композиции.
+
+ Для всех $\psi_k\colon j_k\to j$
\[
[c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}=[c_k]_{i_k}-[(A\psi_k\phi_k)(c_k)]_j-\left([(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}-[(A\psi_k)((A\phi_k)(c_k))]_j\right)
\]
- Поэтому можно считать, что \([a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i\right)\) для некоторых $\phi\colon i_k\to i$ и $c_k\in A_{i_k}$.
+ Поэтому можно считать, что \([a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i\right)\) для некоторых $\phi_k\colon i_k\to i$ и $c_k\in A_{i_k}$: переименовали $j_k$ в $i_k$ (добавили их в набор $\{i_k\}$) и вспомнили, что $j=i$.
Если $i_k=i$, то $[c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i=[c_k-A\phi_k(c_k)]_i\in\ker A\gamma$ для некоторого $\gamma\colon i\to i'$: из определения фильтрованной категории
\[
@@ -874,10 +882,34 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
i\ar[shift left=0.25em]{r}{\id}\ar[swap,shift right=0.25em]{r}{\phi_k} & i\ar{r}{\gamma}& i'
\end{tikzcd}
\]
- существует $\gamma\colon i\to i'$, что $\gamma=\gamma\phi_k$.
- Дальше я потерялся\ldots\qedhere
+ существует $\gamma\colon i\to i'$, что $\gamma=\gamma\phi_k$, поэтому $(A\gamma)([c_k-A\phi_k(c_k)]_i)=0$.
+
+ \begin{multicols}{2}
+ Теперь заметим, что если $A_i\ni b=b'+b'', b\in\ker A\phi, \phi\colon i\to j', b''\in\ker A\psi,\psi\colon i\to j''$, то найдутся стрелки $\beta'\colon j'\to j$, $\beta''\colon j''\to j$ (обе из свойства \ref{filtcat_p1} определения \ref{def_filtcat}) и $\delta\colon j\to k$, что $\delta\beta'\phi=\delta\beta''\psi$ (из свойства \ref{filtcat_p2} определения \ref{def_filtcat}). Поэтому $b\in\ker A(\delta\beta'\phi)$, поэтому можно считать, что $i_k\ne i$ для всех $k$.
+
+ \columnbreak
+ \noindent
+
+ \begin{tikzcd}
+ & & & k \\
+ & j'\ar{r}{\beta'} & j\ar{ur}{\delta} & \\
+ i\ar{ur}{\phi}\ar[swap]{r}{\psi}\ar[shift left=0.5]{urr}\ar[shift right=0.5]{urr} & j''\ar[swap]{ur}{\beta''}
+ \end{tikzcd}
+ \end{multicols}\marginpar{\vspace*{-7em}\tiny эти $i,j,j',k,\phi,\psi$ связаны с тем, что было раньше, так: $i=i$, $j'=i'$, $j''$~-- какой-то новый объект (для которого мы будем доказывать, приняв, что $i_k\ne i$), $\phi=\gamma$, $\psi$~-- новое отображение, в ядре которого все лежит}
+
+ Теперь предположим, что $i_l=i_t$. Если $\phi_l=\phi_t$, то можно заменить $c_l$, $c_t$ на их сумму. Если же $\phi_l\ne\phi_t$, то есть $\gamma\colon i\to j$, что $\gamma\phi_l=\gamma\phi_t$. Тогда заметим, что
+ \[\hspace*{-5em}
+ [(A\gamma)(a)]_j=\sum_k\left([c_k]_{i_k}-[(A\gamma\phi_k)(c_k)]_j\right)-\left(\left[\sum_k(A\phi_k)(c_k)\right]_i-\left[(A\gamma)\left(a+\sum_k(A\phi_k)(c_k)\right)\right]_j\right)
+ \]
+ %И опять можно доказывать сначала для $(A\gamma)(a)$.
+
+ В итоге осталось
+ \[[(A\phi)(a)]_j=\sum_k\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_i\right)\]
+ Все $i_k$ различны, $i_k\ne i$. В левой части равенства все $i_k$ компоненты равны $0$, справа равны $c_k$. Так как $[\cdot]_{i_k}$~-- вложение, все $c_k=0$, так что $(A\phi)(a)=0$.
+ \qedhere
\end{enumerate}
-\end{proof}\pagebreak
+\end{proof}
+
\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{filteredcolimitisexact_mainthm}]
\begin{multicols}{2}
Обозначим $f\colon\colim A\to\colim B$. Пусть $x\in\colim A\colon f(x)=0$. По пункту~\ref{colimelement} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $x=\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$. Из коммутативности $\pi_B\alpha_i(a)=0\Rightarrow\alpha_i(a)\in\ker(B_i\to\colim B)$. Из пункта~\ref{colimkernel} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $\exists\phi\colon i\to j$, что $(B\phi)\alpha_i(a)=0$. Из определения $\alpha_i$ (вспомните диаграмму~\ref{elementsinfilteredcolimit_ses} со стр.~\pageref{elementsinfilteredcolimit_ses}) $(B\phi)\alpha_i(a)=\alpha_j(A\phi)(a)\Rightarrow (A\phi)(a)=0\Rightarrow\pi(a)=0$.\qedhere
@@ -993,14 +1025,14 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{tikzcd}
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
- В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
+ \marginpar{\tinyпоэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут потому что это покушение на аксиоматический строй ррооороо рерррации с целью неконструктивного переворота}В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b\in Y\smallsetminus X'$. Рассмотрим $J=\{r\in R\,|\,br\in X'\}$~-- правый идеал $R$. Определим $J\overset{\phi'}{\to}M\colon r\mapsto f'(br)$. Из условия теоремы существует $\phi\colon R\to M$, что $\phi|_{J}=\phi'$. Но тогда рассмотрим $X''=X'+bR$ и $f''\colon X''\to M$, который определен так: $f''(a+br)=f'(a)+\phi(r)$.
$f''$ корректно определено: по определению $J$ $X'\cap bR=J$, а $f''$ корректно определено на пересечении. Существование $X'',f''$ противоречит максимальности $X'$.
\end{proof}
\begin{Def}
- Абелева группа $A$ называется {\bfseries\itshape делимой}, если \[\forall a\in A,n\in\Z\smallsetminus\{0\}\exists b\in A\colon nb=a\text{.}\]
+ Абелева группа $A$ называется {\bfseries\itshape делимой\index{Делимая группа}}, если \[\forall a\in A,n\in\Z\smallsetminus\{0\}\exists b\in A\colon nb=a\text{.}\]
\end{Def}
\begin{corollary*}[из~\hyperlink{baercriterion}{критерия Баера}]
Абелева группа $A$ инъективна тогда и только тогда, когда она делимая.
@@ -1018,8 +1050,8 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
\end{proof}
-\section*{Практика 4: гомологические размерности, продолжение}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 4: гомологические размерности, продолжение}
+\section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
\begin{enumerate}
\item Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по фон Нейману\index{Регулярное по фон Нейману кольцо}}, если для любого $a\in R$ существует $x\in X$ такой, что $axa=a$. Докажите, что $R$ регулярно по фон Нейману, если для любого конечно порождённого левого идеала $I$ модуль $R/I$ проективен.
@@ -1037,7 +1069,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\item Пусть имеется точная последовательность $0\to T_n\to\cdots\to T_0\to X\to 0$ такая, что $\pd_R(T_i)\le m$ для любого $0\le i\le n$. Докажите, что $\pd_R(X)\le n+m$.
\item Пусть $R\to S$~-- гомоморфизм колец, а $X$~-- $S$-модуль. Докажите, что $\pd_R(X)\le\pd_S(X)+\pd_R(S)$.
\item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля. Опишите $\Tor_n^R(R/(x),X)$ для всех модулей $X$ и для всех $n\ge0$. Докажите, что если $X$ является проективным $R/(x)$-модулем, то $\pd_R(X)=1$.
- \item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль. Докажите, что если $X$ не проективен над $R/(x)$, то $\pd_{R/(x)}(X)=\infty$.
+ \item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль такой, что $\pd_R(X)=1$. Докажите, что если $X$ не проективен над $R/(x)$, то $\pd_{R/(x)}(X)=\infty$.
\item(Первая проективная теорема о замене кольца\index{Первая проективная теорема о замене кольца}) Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль проективной размерности $m<\infty$. Докажите (индукцией по $m$), что $\pd_R(X)=m+1$.
\item(Вторая проективная теорема о замене кольца\index{Вторая проективная теорема о замене кольца}) Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R$-модуль такой, что $xy\ne0$ для любого ненулевого $y\in X$. Докажите (индукцией по $\pd_R(X)$, поняв, почему так можно), что $\pd_R(X)\ge\pd_{R/(x)}(X/xX)$.
\item Докажите, что для любого модуля $X$ выполнено $\pd_{R[x]}(R[x]\otimes_RX)=\pd_R(X)$.
@@ -1045,5 +1077,193 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\item Пусть $X$~-- $R[x]$-модуль. Докажите, что последовательность $0\to R[x]\otimes_RX\overset{\alpha}{\to}R[x]\otimes_RX\overset{\pi}{\to}X\to0$, где $\pi(f\otimes y)=fy$ и $\alpha(f\otimes y)=fx\otimes y-f\otimes xy$, является точной. Выведите отсюда, что $\pd_{R[x]}(X)\le\gldim(R)+1$ и как следствие, что $\gldim(R[x])=\gldim(R)+1$.
\item Докажите, что $\gldim(k[x_1,\ldots,x_n])=n$ для любого поля $k$.
\end{enumerate}
+\subsection{Инъективная резольвента}\marginpar{Лекция 5\\30 сентября}
+Из критерия Баера $\Q/\Z$~-- инъективный $\Z$-модуль. Используем это для доказательства того, что любой модуль можно вложить в инъективный.
+
+Пусть $R,S$~-- кольца, $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- $R$-$S$-бимодуль, $C$~-- правый $S$-модуль. Тогда функтор $-\otimes_RB$ сопряжен слева функтору $\Hom_S(B,-)$, то есть выполняется естественный изоморфизм
+\[
+\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\overset{\overset{\phi}{\longrightarrow}}{\underset{\underset{\psi}{\longleftarrow}}{\cong}}\Hom_R(A\otimes_RB,C)
+\]
+\setlength{\columnseprule}{0.4pt}
+\begin{multicols}{2}
+ Отображение $\phi$ устроено так: если \[g\colon A\to\Hom_S(B,C)\text{, то}\]
+ \[\Hom_R(A\otimes_RB,C)\ni\phi_g(a\otimes b)=g(a)(b)\]
+
+ \columnbreak
+
+ Отображение $\psi$ устроено так: если \[f\colon A\otimes_RB\to C\text{, то}\]
+ \[\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ni\psi_f(a)(b)=f(a\otimes b)\]
+\end{multicols}\setlength{\columnseprule}{0.0pt}
+
+``Естественность'' означает, что для морфизма левых $R$-модулей $\gamma\colon A\to A'$ коммутативна такая диаграмма
+\begin{equation}\label{homtpnaturaladjunction}
+\begin{tikzcd}
+ \Hom_R(A',\Hom_S(B,C))\ar{rrr}{\Hom_R(\gamma,\Hom_S(B,C))}\ar{d}{\phi} &&&\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ar{d}{\phi}\\
+ \Hom_R(A'\otimes_RB,C)\ar{rrr}{\Hom_S(\gamma\otimes\id_B,C)} &&&\Hom_R(A\otimes_RB,C)
+\end{tikzcd}
+\end{equation}
+и аналогичная для $\psi$.
+
+Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tinyна лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним, \hyperlink{projinjdef}{факт} (стр.~\pageref{page_projinjdef}) что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
+\[
+\begin{tikzcd}
+\Hom_R(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{эпиморфизм из}\\\text{инъективности }\Q}}}\ar{d}{\cong} &&&\Hom_R(\overset{\cong M}{M\otimes_RR},\Q)\ar{d}{\cong}\\
+\Hom_R(N,\Hom_\Z(R,\Q))\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{значит, и тут}\\\text{эпиморфизм}}}} &&&\Hom_R(M,\Hom_\Z(R,\Q))
+\end{tikzcd}
+\]
+Пусть $M$~-- левый $R$-модуль, $0\ne x\in M$. Тогда существует $f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, что $f(x)\ne0$. Рассмотрим такую диаграмму (из инъективности $\Q/\Z$):
+\[
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+\langle x\rangle_\Z\ar{rr}{\gamma}\ar[hook]{rd} & & \Q/\Z \\
+& M\ar[swap]{ru}{\exists\gamma'}
+\end{tikzcd}
+\]
+Положим $\gamma=\begin{cases}\text{любой ненулевой элемент}, &\text{если }\ord(x)=\infty\\\left[\frac{1}{n}\right],&\text{если }\ord(x)=n\end{cases}$\marginpar{\tiny$[\cdot]$~-- класс элемента $\cdot$ в $\Q/\Z$}.
+
+Выберем $f=\phi_{\gamma'}$ (образ при изоморфизме $\Hom_\Z(M,\Q/\Z)\cong\Hom_R(M,\Hom_\Z(R,\Q/\Z))$).
+
+\begin{corollary*}
+ Если $M$~-- $R$-модуль, то $\exists Q$~-- инъективный модуль, что $\exists M\hookrightarrow Q$.
+\end{corollary*}
+\begin{proof}
+ Выберем $Q=\prod\limits_{f\in\Hom(M,\Hom(R,\Q/\Z))}\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$ (произведение копий $\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, индексированное гомоморфизмами $M\to\Hom(R,\Q/\Z)$). Вложение $M\overset{\iota}{\hookrightarrow} Q$ определим так: $\iota(x)=(f(x))_{f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)}$. Оно инъективно из утверждения выше про то, что существует $f$ с ненулевым образом $x$ (поэтому образ $x$ равен 0$\iff x=0$).
+\end{proof}
+\begin{Def}\index{Инъективная резольвента}
+ Пусть $X$~-- $R$-модуль. Напомним, что его можно интерпретировать как комплекс $\cdots\to 0\to 0\to X\to 0\to0\to\cdots$. {\bfseries\itshape Инъективная резольвента $X$}~-- комплекс $\cdots\to0\to0\to Q_0\to Q_{-1}\to Q_{-2}\to\cdots$ с квазиизоморфизмом $\iota\colon X\to Q_*$, что все $Q_i$ инъективные для $i\le0$ и все $Q_i=0, i>0$.
+\end{Def}
+\begin{thm}
+ У любого модуля существует (единственная с точностью до гомотопической эквивалентности) инъективная резольвента.
+\end{thm}
+\begin{proof}
+Аналогично утверждению~\ref{stmt_projresexists}.
+\end{proof}
+\begin{Def}\index{Производный функтор}
+ $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- ковариантный (аддитивный) точный слева функтор. Правый производный функтор~-- это $(R_nF)(X)\defeq H_n(FQ_*)$, где $X\to Q_*$~-- инъективная резольвента $X$.
+\end{Def}
+Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного справа функтора. Аналогично доказывается лемма о змее, лемма о подкове и теорема о длинной точной последовательности: из $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ получается последовательность
+\[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)\to R_2F(X)\to\cdots\]
+\subsection{$\Ext$}
+\begin{Def}
+ $\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
+\end{Def}
+Аналогично $\Tor$ можно доказать, что $\Ext_R^n(X,Y)\cong(R_n\Hom(X,-))(Y)$. Но мы не будем этого делать, а получим это как следствие из хорошего свойства $\Ext$.
+\begin{Def}\index{$n$-расширение}
+ $X,Y$~-- $R$-модули. {\bfseries\itshape Длинная точная последовательность длины $n$}, начинающаяся с $Y$ и заканчивающаяся в $X$ ($n$-расширение $X$ с помощью $Y$, $n$-extension of $X$ by $Y$)~-- ациклический комплекс вида
+ \[
+ 0\to\underset{n}{Y_{\vphantom{n-1}}}\to\underset{n-1}{E_{n-1}}\to\cdots\to\underset{1}{E_1}\to\underset{0}{E_0}\to\underset{-1}{X_{\vphantom{-1}}}\to0
+ \]
+ ``Множество''\marginpar{\vspace*{-2em}\tinyПо-хорошему, совсем непонятно, почему этот объект будет множеством, но мы проигнорируем эту проблему и просто поверим в это} $n$-расширений $X$ с помощью $Y$ обозначается $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$, $n\ge0$.
+\end{Def}
+\paragraph{Вопрос из зала: почему $\mathcal{E}xt$ непусто?} При $n=0$ $n$-расширение выглядит как $0\to Y\to X\to0$, поэтому $\mathcal{E}xt^0_R(X,Y)\subseteq\Hom(Y,X)$. Там всегда есть нулевое отображение. При $n=1$ есть прямая сумма $0\to Y\to Y\oplus X\to X\to0$. При $n\ge2$ есть расширение $0\to Y\overset{\id_Y}{\to}Y\to0\to\cdots\to0\to X\overset{\id_X}{\to}X\to0$. Так что $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$ никогда не пусто.\vspace*{1em}
+
+Определим отношение между $n$-расширениями $X$ с помощью $Y$: они связаны, если
+\[
+\begin{tikzcd}
+ Y\ar{r}\ar[equal]{d}{\id_Y} & E_{n-1}\ar{r}\ar{d}{f_{n-1}} & \cdots\ar{r}\ar{d} & E_0\ar{r}\ar{d}{f_0}& X\ar[equal]{d}{\id_X} \\
+ Y\ar{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar{r}& X
+\end{tikzcd}
+\]
+для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\colon X\to X=\id_X$ и $f_n\colon Y\to Y=\id_Y$), что все квадраты коммутируют. Это отношение рефлексивное и транзитивное, но не обязательно симметричное\marginpar{\vspace{-2em}\tinyНо оно симметричное для $n=1$, потому что $f_1$ будет изоморфизмом из 5-леммы}. Обозначим $\sim$~-- наименьшее отношение эквивалентности, порожденное этим отношением. Обозначим $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\defeq\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)/\sim$.
+
+Мы построим ``хорошую'' биекцию между $\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny]\Ext^n_R(X,Y)\ar[bend left=20]{rr}{\phi} & \text{ и } & \widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\ar[bend left=20]{ll}{\psi}\end{tikzcd}$ как множествами, а потом докажем, что она сохраняет хорошо определенное сложение на $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)$, превращая её в изоморфизм $R$-модулей\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$\Ext^n_R(X,Y)$-- $R$-модуль\end{flushleft}}.
+\begin{proof}[Конструкция биекции]
+ Возьмем $0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0$~-- элемент $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$ и $P_*\to X$~-- проективную резольвенту $X$. Тогда существует $f_k\colon P_k\to E_k$ для $0\le k\le n-1$ и $f_n\colon P_n\to Y$, что диаграмма
+ \marginpar{\vspace*{2em}\tinyПоднимаем $\id_X$ в резольвенты как в утверждении~\ref{resolmorphism}}\[
+ \begin{tikzcd}[cramped,column sep=scriptsize]
+ \cdots\ar{r} & P_{n+1}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}\ar{r} & P_{n}\ar{r}\ar{d}{\exists f_n} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d}{\exists f_{n-1}} & \cdots\ar{r}\ar{d} & P_1\ar{rr}\ar[swap]{d}{\exists f_1}\ar{ddr}{\exists} & & P_0\ar[two heads]{r}\ar{d}{f_0} & X\ar[equal]{d}{\id_X}\\
+ & 0\ar{r} & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_1\ar{rr}\ar[two heads]{rd} & & E_0\ar[two heads]{r} & X\\
+ & & & & & & K_0\ar[hook]{ur} & &
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ коммутативна. $0=P_{n+1}\to P_n\to P_{n-1}\overset{f_{n-1}}{\to}E_{n-1}=P_{n+1}\to P_{n}\overset{f_n}{\to}Y\hookrightarrow E_{n-1}$, значит, $P_{n+1}\to P_n\overset{f_n}{\to}Y=0$. Поэтому $f_n\in\ker(\Hom(P_n,Y)\to\Hom(P_{n+1},Y))$~-- коцикл в комплексе $\Hom(P_*,Y)$, значит, $f_n$ представляет какой-то класс в $\Ext^n_R(X,Y)$. Определим $\psi(0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0)=[f_n]$~-- класс, соответствующий $f_n$.
+
+ \todo{Он не зависит от выборов}
+
+ Теперь пусть есть элемент $g\in\Ext^n_R(X,Y)$, то элемент $g\in\Hom(P_n,Y)$, что $gd_n=0$, где $P_*\to X$~-- проективная резольвента, а $d_n$~-- дифференциал в ней.
+
+ Строим $n$-расширение-представитель $\phi(g)$ таким образом:
+ \[\begin{tikzcd}[cramped]
+ \cdots\ar{r}&P_n\ar{r}{d_{n-1}}\ar{d}{g}&P_{n-1}\ar{r}\ar{d}\ar[sloped]{rd}{d_{n-2}}&P_{n-2}\ar{r}{d_{n-3}}\ar[equal]{d}&\cdots\ar{r}{d_1}\ar[equal]{d}&P_1\ar{r}{d_0}\ar[equal]{d}&P_0\ar[two heads]{r}{\varepsilon}\ar[equal]{d}&X\ar[equal]{d}\\
+ 0\ar{r}&Y\ar[hook]{r}\ar[bend right=20,swap]{rr}{0}&K_{n-1}\ar[phantom,very near start]{ul}{\ulcorner}\ar[dotted]{r}{\exists!}&P_{n-2}\ar{r}{d_{n-3}}&\cdots\ar{r}{d_1}&P_1\ar{r}{d_0}&P_0\ar[two heads]{r}{\varepsilon}&X\\
+ \end{tikzcd}\]
+ $E_k=P_k$ для $0\le k<n-1$. $E_{n-1}=K_{n-1}$~-- пушаут $Y\overset{g}{\leftarrow}P_n\overset{d_{n-1}}{\rightarrow}P_{n-1}$. Понятно, что нижняя строка точна в $X,P_0,\ldots,P_{n-3}$ (это просто копия верхней). Отображение $K_{n-1}\to P_{n-2}$ существует из универсального свойства пушаута (для стрелок $d_{n-2}\colon P_{n-1}\to P_{n-2}$ и $0\colon Y\to P_{n-2}$).
+
+ $Y\to K_{n-1}\to P_{n-2}=0$ по определению, $K_{n-1}\to P_{n-2}\to P_{n-3}$ существует единственный (по универсальному свойству пушаута) для $P_{n-1}\to P_{n-3}=0$ и $Y\to P_{n-3}=0$ и он совпадает с $0$.
+
+ Напомним, как в категории модулей устроен пушаут (вспомните, что пушаут~-- это коэквалайзер морфизмов в копроизведение): это модуль \[K_{n-1}=\frac{P_{n-1}\oplus Y}{\langle\{(d_{n-1}(a),-g(a))\,|\,a\in P_n\}\rangle}\text{.}\]
+
+ Докажем, что $Y\to K_{n-1}$~-- мономорфизм: $Y\ni y\mapsto[(0,y)]\in K_{n-1}$.\[
+ [(0,y)]=0\iff \exists a\in P_n\colon d_{n-1}(a)=0, -g(a)=y\text{.}
+ \]
+ Из точности проективной резольвенты $\exists b\in P_{n+1}\colon d_n(b)=a$, тогда $-g(a)=-g(d_n(b))=0\Rightarrow b=0$ ($g$~-- коцикл). Поэтому комплекс точен в $Y$.
+
+ Проверим, что он точен в $K_{n-1}$: $(x,y)\mapsto0\Rightarrow d_{n-2}(x)=0\Rightarrow\exists x'\in P_{n}\colon x=d_{n-1}(x')$, значит, класс $(x,y)$ совпадает с классом $(0,y+g(x'))$ ($(x,y)-(0,y+g(x'))=(x,-g(x'))=(d_{n-1}(x'),-g(x'))$), а он, понятно, лежит в $\im(Y\to K_{n-1})$.
+
+ И опять оно не зависит от выборов\todo{но это уже не так очевидно}.
+
+ Теперь доказываем биективность:
+ \begin{itemize}
+ \item[$\psi\circ\phi=\id$:] Из конструкции просто если по $g$ построить диаграмму, а потом поднять $\id_X$, опять получится $g$, так как мы знаем, что оно не зависит от выбора резольвенты.
+ \item[$\phi\circ\psi=\id$:] действительно, полученное под действием $\phi$ расширение будет эквивалентно исходному, потому что отображения $P_k\to E_k,0\le k\le n-2$ существуют и просто равны $f_k$ как в конструкции $\psi$. Отображение $K_{n-1}\to E_{n-1}$ существует по универсальному свойству пушаута из отображений $Y\to E_{n-1}$ (исходного) и $f_{n-1}\colon P_{n-1}\to E_{n-1}$.\qedhere
+ \end{itemize}
+\end{proof}
+Аналогично можно доказать, что как множества $\widetilde{\Ext}^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{S}et}{\cong}R_n(\Hom(X,-))(Y)$: нужно брать инъективную резольвенту $Y\to Q_*$ и строить пулбэк \[\begin{tikzcd}
+T\ar{r}\ar{d}\ar[phantom,very near start]{dr}{\lrcorner}& X\ar{d} \\
+Q_{-(n-1)}\ar{r}& Q_{-n}
+\end{tikzcd}\]вместо пушаута.
+
+Теперь\marginpar{Лекция 6\\7 октября} мы хотим построить сложение на элементах $\widetilde{\Ext}_R^n(X,Y)$, которое будет согласовано со сложением в $\Ext_R^n(X,Y)$. Это превратит наш изоморфизм множеств в изоморфизм абелевых групп.
+
+\begin{proof}[Конструкция сложения]Рассмотрим $f,g\in\Ext_R^n(X,Y)$ и соответствующие им расширения $Y\hookrightarrow E_{n-1}\to\cdots\to E_0\twoheadrightarrow X, Y\hookrightarrow E'_{n-1}\to\cdots\to E'_0\twoheadrightarrow X$. $P_*\to X$~-- проективная резольвента.
+\[
+\begin{tikzcd}[cramped]
+\cdots\ar{r} & P_n\ar{r}\ar{d}{f}\ar[bend right=15]{ddl}{g} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d}\ar[bend right=15]{ddl} & \cdots\ar{r}\ar{d}\ar[bend right=15]{ddl} & P_0\ar{d}\ar[two heads]{r}\ar[bend right=15]{ddl} & X\ar[equal]{d}\ar[bend right=15,equal]{ddl} \\
+ & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_0\ar[two heads]{r} & X \\
+Y\ar[hook]{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar[two heads]{r} & X &
+\end{tikzcd}
+\]
+\pagebreak
+\begin{multicols}{2}
+Сложим эти две последовательности, задав отображение в сумму из резольвенты прямой суммой для $Y\oplus Y$ и всех $E_i\oplus E_i'$ и для $X\to X\oplus X$ диагональной функцией $\Delta\colon x\mapsto(x,x)$.
+
+Эту прямую сумму надо превратить в $n$-расширение $X$ с помощью $Y$. Отображаем $Y\oplus Y\to Y$ суммой $\nabla(x,y)\mapsto x+y$ и заменяем $E_{n-1}\oplus E'_{n-1}$ пушаутом $K_{n-1}$.
+
+\columnbreak
+\noindent\[
+\hspace*{-0.5em}\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=scriptsize]
+P_n\ar{r}\ar{d}{{f}\choose{g}} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d} & \cdots\ar{r}\ar{d} & P_0\ar{d}\ar[two heads]{r} & X\ar{d}{\Delta} \\
+Y\oplus Y\ar[hook]{r}\ar{d}{\nabla} & E_{n-1}\oplus E'_{n-1}\ar{r}\ar{d} & \cdots\ar{r}\ar[equal]{d} & E_0\oplus E'_0\ar[two heads]{r}\ar[equal]{d} & X\oplus X\ar[equal]{d}\\
+Y\ar[hook]{r}\ar[equal]{d} & \ar[phantom,very near start]{ul}{\ulcorner}K_{n-1}\ar{r}\ar[equal]{d} & \cdots\ar{r}\ar[equal]{d} & E_0\oplus E'_0\ar[two heads]{r} & X\oplus X\\
+Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[phantom,very near start]{ur}{\urcorner} & X\ar{u}{\Delta}\\
+\end{tikzcd}
+\]
+\end{multicols}
+Аналогично заменяем $E_0\oplus E'_0$ пулбэком $L_0$. Получаем $n$-расширение $X$ с помощью $Y$. Почти понятно, что оно действительно будет длинной точной последовательностью. Совсем понятно, что в диаграмме все коммутирует и это расширение действительно соответствует коциклу $f+g$ (отображение $P_n\to Y$ это в точности $f+g$).
+
+Понятно, что в случае $n\ne1$ можно брать сначала пулбэк, а потом пушаут. Почему получается одно и то же для $n=1$ я потом напишу\todo{}.
+\end{proof}
+\begin{Def}\index{Сумма Баера}
+ Построенная выше сумма называется {\bfseries\itshape суммой Баера}.
+\end{Def}
+\begin{corollary*}
+ $R_n(\Hom(-,Y))(X)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\Ext^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\widetilde{\Ext}^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}R_n(\Hom(X,-))(Y)$.
+\end{corollary*}
+\subsection{$\Ext$ и расщепимость}
+\begin{Def}\index{Расщепляющееся расширение}
+ Расширение $Y$ с помощью $X$ (то же самое, что $1$-расширение и то же самое, что короткая точная последовательность c началом в $Y$ и концом в $X$) $Y\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}X$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если существует изоморфизм $\phi\colon E\to X\oplus Y$, что в диаграмме
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped]
+ Y\ar[hook]{r}{\alpha}\ar[equal]{d} & E\ar[two heads]{r}{\beta}\ar{d}{\phi}& X\ar[equal]{d}\\
+ Y\ar[hook]{r}{\iota} & X\oplus Y\ar[two heads]{r}{\pi} & X
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ все квадраты коммутируют.
+
+ Два расширения называются {\bfseries\itshape эквивалентными}, если они эквивалентны в смысле эквивалентности расширений, определенном ранее, то есть существует $E\to E'$, что все квадраты коммутируют. Заметим, что в случае $1$-расширений из 5-леммы следует, что отображение $E\to E'$~-- изоморфизм.
+\end{Def}
+Из определения эквивалентности получается, что расщепляющееся расширение~-- это то, которое эквивалентно тривиальному $Y\hookrightarrow X\oplus Y\twoheadrightarrow X$. Вспомним, что классы расширений соответствуют элементам $\Ext_R^1(X,Y)$, то есть расщепляющиеся расширения соответствуют 0. С другой стороны, если все расширения эквивалентны тривиальному, то есть только один класс, поэтому в $\Ext^1_R(X,Y)$ только один элемент~-- тривиальный.
+\begin{fact}
+ Все расширения $X$ с помощью $Y$ расщепляются$\iff\Ext^1_R(X,Y)=0$.
+\end{fact}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
