commit 67e4b0d9805ec226f563f1c7e4470893065028a9
parent a432dc8a8ff8d50731cde8af25845cd04703569f
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Sun, 17 Oct 2021 00:40:07 +0300
began lecture 7; began titlepage
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 129 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------- |
2 files changed, 111 insertions(+), 18 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -11,6 +11,8 @@
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
+\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
+\renewcommand{\dateseparator}{.}
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
@@ -97,11 +99,39 @@
\fancyhead[L]{\leftmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{2pt}
+%index
\makeindex[title=Индекс]{}
+%packages/commands for fun/art purposes
\usepackage{epigraph}
+\newcommand{\pride}[6]{{\color{red}#1}{\color{orange}#2}{\color{yellow}#3}{\color{green}#4}{\color{blue}#5}{\color{purple}#6}}
+%\usepackage{churchslavonic}
+
+%end of preamble
\begin{document}
+ \begin{titlepage}
+ \thispagestyle{empty}
+ \newgeometry{left=2cm, bottom=2.5cm, top=2.5cm, right=2cm}
+ \centering
+ $${\bigcap}\kern-0.8em\raisebox{0.3ex}{$\subset$}\kern-1.45em\raisebox{-0.2ex}{$\complement$}\mathbf{\tiny\kern-0.23em\raisebox{-2.8ex}{$\bigcup$}}\mathbf{\tiny\kern0.13em\raisebox{-2.8ex}{$\bigcup$}}\scriptsize\kern-0.87em\raisebox{-1.33ex}{-}$$
+ {\scshape\large Amogus University\par}
+ \vspace{5cm}
+ {\Huge\bfseries\pride{Г}{о}{м}{о}{л}{о}\pride{г}{и}{ч}{е}{с}{к}\pride{а}{я}{\ }{а}{л}{г}\pride{е}{б}{р}{а}{}{}\par}
+ \vspace{0.5cm}
+ {\scshape\Large Конспект лекций\par}
+ \vspace{2cm}
+ %{\Large\itshape ?\par}
+ %\vfill
+ %supervised by\par
+ %Dr.~Mark \textsc{Brown}
+
+ \vfill
+
+ % Bottom of the page
+ {\large \today\par}
+ \end{titlepage}
+\restoregeometry
\tableofcontents\newpage
\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
@@ -1198,7 +1228,10 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\]
коммутативна. $0=P_{n+1}\to P_n\to P_{n-1}\overset{f_{n-1}}{\to}E_{n-1}=P_{n+1}\to P_{n}\overset{f_n}{\to}Y\hookrightarrow E_{n-1}$, значит, $P_{n+1}\to P_n\overset{f_n}{\to}Y=0$. Поэтому $f_n\in\ker(\Hom(P_n,Y)\to\Hom(P_{n+1},Y))$~-- коцикл в комплексе $\Hom(P_*,Y)$, значит, $f_n$ представляет какой-то класс в $\Ext^n_R(X,Y)$. Определим $\psi(0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0)=[f_n]$~-- класс, соответствующий $f_n$.
- \todo{Он не зависит от выборов}
+ Он не зависит от способа выбора $f_i$\marginpar{\tinyвспомните, что способ поднять отображение из проективного модуля не единственный}: из двух разных $f_i,f_i'$ как в доказательстве утверждения~\ref{projresolutionequivce} получается, что $f_n,f_n'$ отличаются на границу (так как в $Y$ в нижней строке идет нулевая стрелка).
+
+ Он не зависит от выбора резольвенты: все резольвенты гомотопически эквивалентны, поэтому $f_n'\colon P_n'\to Y$ поднимается до коцикла $P_n\to Y$ из того же класса эквивалентности.
+ %кажется, это все выборы\todo{Он не зависит от выборов}
Теперь пусть есть элемент $g\in\Ext^n_R(X,Y)$, то элемент $g\in\Hom(P_n,Y)$, что $gd_n=0$, где $P_*\to X$~-- проективная резольвента, а $d_n$~-- дифференциал в ней.
@@ -1220,7 +1253,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Проверим, что он точен в $K_{n-1}$: $(x,y)\mapsto0\Rightarrow d_{n-2}(x)=0\Rightarrow\exists x'\in P_{n}\colon x=d_{n-1}(x')$, значит, класс $(x,y)$ совпадает с классом $(0,y+g(x'))$ ($(x,y)-(0,y+g(x'))=(x,-g(x'))=(d_{n-1}(x'),-g(x'))$), а он, понятно, лежит в $\im(Y\to K_{n-1})$.
- И опять оно не зависит от выборов\todo{но это уже не так очевидно}.
+ Полученная точная последовательность не зависит от выбора резольвенты: для другой резольвенты $P'_*\to X$ существует гомотопическая эквивалентность $P_i\to P_i',0\le i<k-1$, а отображение $P'_{k-1}\to K_{n-1}$ существует из универсального свойства пушаута, поэтому две последовательности будут эквивалентны. %криво получилось, но вроде понятно И опять оно не зависит от выборов\todo{но это уже не так очевидно}.
Теперь доказываем биективность:
\begin{itemize}
@@ -1236,7 +1269,7 @@ Q_{-(n-1)}\ar{r}& Q_{-n}
Теперь\marginpar{Лекция 6\\7 октября} мы хотим построить сложение на элементах $\widetilde{\Ext}_R^n(X,Y)$, которое будет согласовано со сложением в $\Ext_R^n(X,Y)$. Это превратит наш изоморфизм множеств в изоморфизм абелевых групп.
\begin{proof}[Конструкция сложения]Рассмотрим $f,g\in\Ext_R^n(X,Y)$ и соответствующие им расширения $Y\hookrightarrow E_{n-1}\to\cdots\to E_0\twoheadrightarrow X, Y\hookrightarrow E'_{n-1}\to\cdots\to E'_0\twoheadrightarrow X$. $P_*\to X$~-- проективная резольвента.
-\[
+\noindent\[
\begin{tikzcd}[cramped]
\cdots\ar{r} & P_n\ar{r}\ar{d}{f}\ar[bend right=15]{ddl}{g} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d}\ar[bend right=15]{ddl} & \cdots\ar{r}\ar{d}\ar[bend right=15]{ddl} & P_0\ar{d}\ar[two heads]{r}\ar[bend right=15]{ddl} & X\ar[equal]{d}\ar[bend right=15,equal]{ddl} \\
& Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_0\ar[two heads]{r} & X \\
@@ -1244,20 +1277,21 @@ Y\ar[hook]{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar[two heads]{r} & X &
\end{tikzcd}
\]
\pagebreak
+
\begin{multicols}{2}
Сложим эти две последовательности, задав отображение в сумму из резольвенты прямой суммой для $Y\oplus Y$ и всех $E_i\oplus E_i'$ и для $X\to X\oplus X$ диагональной функцией $\Delta\colon x\mapsto(x,x)$.
Эту прямую сумму надо превратить в $n$-расширение $X$ с помощью $Y$. Отображаем $Y\oplus Y\to Y$ суммой $\nabla(x,y)\mapsto x+y$ и заменяем $E_{n-1}\oplus E'_{n-1}$ пушаутом $K_{n-1}$.
\columnbreak
-\noindent\[
+\noindent\vspace*{\fill}\[
\hspace*{-0.5em}\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=scriptsize]
P_n\ar{r}\ar{d}{{f}\choose{g}} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d} & \cdots\ar{r}\ar{d} & P_0\ar{d}\ar[two heads]{r} & X\ar{d}{\Delta} \\
Y\oplus Y\ar[hook]{r}\ar{d}{\nabla} & E_{n-1}\oplus E'_{n-1}\ar{r}\ar{d} & \cdots\ar{r}\ar[equal]{d} & E_0\oplus E'_0\ar[two heads]{r}\ar[equal]{d} & X\oplus X\ar[equal]{d}\\
Y\ar[hook]{r}\ar[equal]{d} & \ar[phantom,very near start]{ul}{\ulcorner}K_{n-1}\ar{r}\ar[equal]{d} & \cdots\ar{r}\ar[equal]{d} & E_0\oplus E'_0\ar[two heads]{r} & X\oplus X\\
Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[phantom,very near start]{ur}{\urcorner} & X\ar{u}{\Delta}\\
\end{tikzcd}
-\]
+\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
Аналогично заменяем $E_0\oplus E'_0$ пулбэком $L_0$. Получаем $n$-расширение $X$ с помощью $Y$. Почти понятно, что оно действительно будет длинной точной последовательностью. Совсем понятно, что в диаграмме все коммутирует и это расширение действительно соответствует коциклу $f+g$ (отображение $P_n\to Y$ это в точности $f+g$).
@@ -1300,16 +1334,16 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
$A$~-- $G$-модуль. {\bfseries\itshape$n$-е гомологии $G$ c коэффициентами в $A$}~-- это $H_n(G,A)\defeq\Tor_n^{\Z G}(\Z,A)$. {\bfseries\itshape$n$-е когомологии $G$ c коэффициентами в $A$}~-- это $H^n(G,A)\defeq\Ext^n_{\Z G}(\Z,A)$.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Аугментационный идеал}
- Обозначим $\mathfrak{J}$ ядро отображения $\Z G\to\Z\colon g\mapsto 1$. Это идеал и свободная абелева группа, порожденная множеством $\{g-1\,|\,g\in G\smallsetminus\{1\}\}$. Этот идеал называется {\bfseries\itshape аугментационным идеалом}.
+ Обозначим $\mathcal{J}_G$ ядро отображения $\Z G\to\Z\colon g\mapsto 1$. Это идеал и свободная абелева группа, порожденная множеством $\{g-1\,|\,g\in G\smallsetminus\{1\}\}$. он называется {\bfseries\itshape аугментационным идеалом}.
\end{Def}
Первые примеры:
\[H_0(G,A)=\Tor_0^{\Z G}(\Z,A)=\Z\otimes_{\Z G}A\]
-Так как $\Z\cong\Z G/\mathfrak{J}$, $\Z\otimes_{\Z G}A\cong\Z G/\mathfrak{J}\otimes_{\Z G}A\cong A/\mathfrak{J}A$.
-\[A/\mathfrak{J}A=\frac{A}{\langle ga-a\,|\,g\in G,a\in A\rangle}\defeq A_G\]
+Так как $\Z\cong\Z G/\mathcal{J}_G$, $\Z\otimes_{\Z G}A\cong\Z G/\mathcal{J}_G\otimes_{\Z G}A\cong A/\mathcal{J}_GA$.
+\[A/\mathcal{J}_GA=\frac{A}{\langle ga-a\,|\,g\in G,a\in A\rangle}\defeq A_G\]
\begin{Def}\index{Коинварианты $G$-модуля}
Модуль $A_G$ называется {\bfseries\itshape коинвариантами} $A$. Это наибольший фактор, который является тривиальным $G$-модулем.
\end{Def}
-В частности (так как $\Z$~-- тривиальный модуль, так что $\mathfrak{J}\Z=0$) $H_0(G,\Z)=\Z,H_0(G,\Z G)=\Z$.
+В частности (так как $\Z$~-- тривиальный модуль, так что $\mathcal{J}_G\Z=0$) $H_0(G,\Z)=\Z,H_0(G,\Z G)=\Z$.
Пример когомологий:
\[H^0(G,A)=\Hom_{\Z G}(\Z,A)=\{a\in A\,|\,ga=a\forall g\in G\}\defeq A^G\text{,}\]
@@ -1340,7 +1374,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
Bar-резольвента~-- это комплекс\[
\cdots\to\Barr_2\to\Barr_1\to\Barr_0\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\Z
\]
- где $\Barr_n\defeq (\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G$\marginpar{\tiny$(\Z G)^{\otimes n}$~- тензорное произведение тоже над $\Z$}. Это свободный $\Z G$-модуль с базисом \[\{g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1\,|\,(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\}\text{\normalsize.}\]
+ где $\Barr_n\defeq (\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G$\marginpar{\tiny$(\Z G)^{\otimes n}$~- тензорное произведение тоже над $\Z$}~-- свободный $\Z G$-модуль с базисом \[\{g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1\,|\,(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\}\text{\normalsize.}\]
Элемент базиса $g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1$ будем обозначать $[g_1,g_2,\ldots,g_n]$.
Определим дифференциал $d_n\colon\Barr_{n+1}\to\Barr_{n}$ на базисе так:
@@ -1348,26 +1382,85 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
d_n([g_1,g_2,\ldots,g_{n+1}])=[g_2,\ldots,g_{n+1}]+\sum_{i=1}^n(-1)^i[g_1,\ldots,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\ldots,g_{n+1}]+(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}
\]
\end{Def}
-\begin{thm}
+\begin{thm}\label{thm_barisprojres}
$(\Barr_*,d_*)$~-- проективная резольвента $\Z$.
\end{thm}
\begin{proof} Модули $\Barr_n$~-- свободные $\Z G$-модули. Нужно проверить, что $(\Barr_*,d_*)$~-- точный комплекс.
\begin{enumerate}
\item $d_{n-1}d_n=0$~-- почти понятно: слагаемые в сумме обнуляются (так же как для дифференциалов в топологии), осталось дописать про первое и последнее слагаемое.
- \item ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то есть построим отображения $s_{-1}\colon\Z\to\Barr_0$, $s_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}$, что $\pi s_{-1}=\id_\Z$, $s_{n-1}d_{n-1}+d_{n}s_{n}=\id_{\Barr_n}$. Тогда цепное отображение $\id_{\Barr_*}$ гомотопно $0$, а значит все гомологии нулевые.\marginpar{\tinyвспомните утв.~\ref{stmt_homequivisqis}}
+ \item\label{proof_barresisexact} ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то есть построим отображения $s_{-1}\colon\Z\to\Barr_0$, $s_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}$, что $\pi s_{-1}=\id_\Z$, $s_{n-1}d_{n-1}+d_{n}s_{n}=\id_{\Barr_n}$. Тогда цепное отображение $\id_{\Barr_*}$ гомотопно $0$, а значит все гомологии нулевые.\marginpar{\tinyвспомните утв.~\ref{stmt_homequivisqis}}
Определим $s_{-1}\colon1\mapsto[\;]$, $s_n\colon [g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}\mapsto(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n,g_{n+1}]$.
\[(s_{-1}\pi+d_0s_0)([\;]g)=[\;]-d_0([g])=[\;]-([\;]-[\;]g)=[\;]g\]
Аналогично проверяется в общем случае.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
-$\ldots$
-\begin{thm}
- $H_1(G,\Z)=(G)_{\ab}$.
-\end{thm}
-$\ldots$
+Возьмем теперь бар-резольвенту $\Z$
+\[
+\begin{tikzcd}
+\cdots\ar{r}& \Z G\otimes\Z G\otimes\Z G\ar{rrr}{g\otimes h\otimes k\mapsto\begin{array}{l}h\otimes k\\-gh\otimes k\\+g\otimes hk\end{array}}&&& \Z G\otimes\Z G\ar{rr}{g\otimes h\mapsto h-gh} && \Z G\ar[two heads]{r}{\pi} & \Z
+\end{tikzcd}
+\]
+Применим функтор $-\otimes_{\Z G}\Z$, тогда \[\Barr_n\otimes_{\Z G}\Z=((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G)\otimes_{\Z G}\Z\cong(\Z G)^{\otimes n}\otimes_{\Z}(\Z G\otimes_{\Z G}\Z)\cong(\Z G)^{\otimes n}\]
+\[
+\begin{tikzcd}
+\cdots\ar{r}&\Z G\otimes\Z G\ar{rr}{g\otimes h\mapsto h-gh+g}&& \Z G\ar{rr}{g\mapsto 1-1\cdot g=0} && \Z\ar[two heads]{r} & \Z\otimes_{\Z G}\Z
+\end{tikzcd}
+\]
+Получается, что $H_1(G,\Z)=\frac{\Z G}{\langle h-gh+g\rangle}$. Это абелева группа; есть отображение $G\to H^1(G,\Z)\colon g\mapsto\bar{g}$, отправляющее $g\in G$ в его представителя. Оно корректно определено, так как $gh\mapsto \bar{gh}=\bar{g}+\bar{h}$ и $g^{-1}\mapsto-\bar{g}$. Кроме того, коммутант лежит в ядре этого отображения.
+
+Заметим, что отображение $\Z G\to G\colon g\mapsto g+[G,G]$ обратное, и получаем
+\begin{stmt}
+ $H_1(G,\Z)\cong G_{\ab}$.
+\end{stmt}
+
+Теперь применяем к ней $\Hom_{\Z G}(-,A)$. Из сопряженности $\otimes$ и $\Hom$ $\Hom_{\Z G}(X\otimes \Z G,A)\cong\Hom_\Z(X,A)$.
+\[
+A\overset{a\mapsto\phi_a}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G,A)\overset{f\mapsto\phi_f}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G\otimes\Z G,A)\to\cdots
+\]
+\[\phi_a(g)=a-ag\]
+\[\phi_f(g\otimes h)=f(h)-f(gh)+f(g)h\]
+Элементы $Z^2(G,A)=\{f\colon G\to A\,|\,f(gh)=g(h)+f(g)h\}\defeq\Der(G,A)$ называются {\bfseries\itshape crossed homomorphisms}\index{Crossed homomorphism}.
+
+Элементы $B^2(G,A)=\im(A\to\Hom_\Z(\Z G,A))\defeq\PDer(G,A)$ называются {\bfseries\itshape principal crossed homomorphisms}\index{Principal crossed homomorphism}.
+\begin{stmt}
+ $H^1(G,A)=\frac{\Der(G,A)}{\PDer(G,A)}$.
+\end{stmt}
+\marginpar{\vspace{0.1em}Лекция 7\\14 октября}Итак, для $\Barr_n\otimes_{\Z G}A=(\Z G)^{\otimes n}\otimes A$ дифференциал действует так: \begin{multline*}$$\hspace*{-4.8em}d_n^{\Barr_*\otimes_{\Z G}A}([g_1,\ldots,g_{n+1}]\otimes x)=[g_2,\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i[g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\\(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]\otimes g_{n+1}x$$\end{multline*}
+А для $\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)\cong\Hom_{\Z G}((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G, A)\cong\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},\Hom_{\Z G}(\Z G,A))\cong\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},A)$:
+\begin{multline*}$$\hspace*{-4.8em}d_n^{\Hom_{\Z G}(\Barr_*,A)}(f)(g_1,\ldots,g_{n+1})=f(g_2,\ldots,g_{n+1})+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^if(g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1})+\\(-1)^{n+1}f(g_1,\ldots,g_n)g_{n+1}$$\end{multline*}
+
+\subsubsection*{Некоторые другие виды резольвент}
+\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Некоторые другие виды резольвент}
+\paragraph{Normalized bar resolution.}\index{Normalized bar resolution} Рассмотрим $\widetilde{\Barr}_n\defeq\langle[g_1,\ldots,g_n]\,|\,\exists i\colon g_i=1\rangle$. Понятно, что это подмодуль $\Barr_n$. Понятно (просто по определению $s_n$), что $s_n(\widetilde{\Barr}_n)\subseteq\widetilde{\Barr}_{n+1}$\marginpar{\tiny$s_n$ из пункта~\ref{proof_barresisexact} теоремы~\ref{thm_barisprojres}}, поэтому $\widetilde{\Barr}_*$~-- точный комплекс, поэтому $\overline{\Barr}_*\defeq\Barr_*/\widetilde{\Barr}_*$~-- проективная резольвента. Она и называется нормализованной бар-резольвентой. Из конструкции почти понятно, что $\overline{\Barr}_{n}\cong(\Z G/\Z)^{\otimes n}\otimes\Z G$.
+
+В частности, отсюда следует, что любой элемент $H^n(G,A)$ можно представить коциклом $f$, что $f(\widetilde{\Barr}_n)=0$, то есть что $g_i=1$ для какого-то $i$.
+\paragraph{Homogenous bar resolution.} Конструкция, изоморфная $\Barr_n$, но идейно определяющаяся немножко по-другому, больше похожая на симплициальные комплексы. Рассмотрим биекцию \[\Barr_n\ni[g_1,\ldots,g_n]g\leftrightarrow(\overset{=b_1}{g_1\cdots g_ng},\overset{=b_2}{g_2\cdots g_ng},\ldots,\overset{=b_n}{g_ng},\overset{=b_{n+1}}{g})\in(\Z G)^{n+1}\]
+$G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2,\ldots,b_{n+1})\cdot g=(b_1g,b_2g,\ldots,b_{n+1}g)$.
+Дифференциал определяется так:\[d_n(b_1,\ldots,b_{n+2})=\sum_{i=1}^{n+2}(b_1,\ldots,\hat{b}_{i},\ldots,b_{n+2})\]
+\paragraph{Homogenous normalized bar resolution.} Так же как и выше: $(b_1,\ldots,b_n)=0\iff b_i=b_{i+1}$. Понятно (из биекции $b_i\leftrightarrow g_i\ldots g_ng$), что это эквивалентно тому, что $g_i=1$ для какого-то $i$.
+
+\vspace*{1em}
+\begin{center}
+ * * *
+\end{center}
\begin{thm}
- $H^1(G,A)=\frac{\Der(G,A)}{\PDer(G,A)}$
+ $G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot H_n(G,A)=\{0\}$ для любого $G$-модуля $A$ и любого $n\ge1$.
\end{thm}
+\begin{proof}
+ Рассмотрим $\phi_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}\colon[a_1,\ldots,a_n]\mapsto\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]$. Так как $G$ конечна, все корректно определено. Вычислим $d_n\phi_n+\phi_{n+1}d_{n+1}$:
+ \begin{multline*}
+ $$
+ (d_n\phi_n+\phi_{n+1}d_{n+1})([a_1,\ldots,a_n])=d_n\left(\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]\right)+\\
+ \phi_{n-1}\left([a_2,\ldots,a_n]+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i[a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_{n}]+(-1)^n[a_1,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)=\\
+ $$
+ \end{multline*}
+ \begin{comment}
+ m[a_1,\ldots,a_n]+\sum_{g\in G}\left(-[ga_1,a_2,\ldots,a_n]+\sum(-1)^i[g,a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_n]+\phantom{\right)}\\\phantom{\left(\sum_{g\in G}}(-1)^{n+1}[g,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)+\\
+ \left(\sum_{g\in G}[g,a_2,\ldots,a_n]+\right)
+ $$
+ \end{multline*}
+ \end{comment}
+\end{proof}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
