commit 6985d838f8c23f25368bc73a4bc28c207b88071a
parent 877fae3001bdd08e5f8be654f27e2a155f00b280
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Tue, 26 Oct 2021 22:42:12 +0300
added lecture 8
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 148 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- |
2 files changed, 131 insertions(+), 17 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -16,11 +16,11 @@
%\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[russian]{babel}
-\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath}
+\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath,stmaryrd}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
-\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
+\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace,microtype} % fancy headers, indices
\usepackage{multicol,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better hyperrefs
\usepackage[inline]{enumitem} % better enumerations
\usepackage[datesep={.}]{datetime2}
@@ -91,6 +91,9 @@
\DeclareMathOperator{\ab}{ab}
\DeclareMathOperator{\Der}{Der}
\DeclareMathOperator{\PDer}{PDer}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
@@ -187,7 +190,7 @@
\end{Def}
Немного переформулируем определение:
\begin{Def}\index{Градуированный модуль}
- Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus_{i\in\Z}X_i$.
+ Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus\limits_{i\in\Z}X_i$.
Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z\; f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{\normalfont def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
\end{Def}
@@ -278,8 +281,8 @@ Cтрелка по построению получается единствен
T\ar[two heads]{rr} & & M &
\end{tikzcd}
\item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=\langle P\rangle_R$.
- \item[$1\Rightarrow4$] аоао не знаю я хлебушек
- \item[$1\Leftarrow4$] добавил чтобы утверждение ниже уехало на следующую страницу а оно не уехало
+ \item[$1\Rightarrow4$] $P$ проективен $\Rightarrow$ он прямое слагаемое свободного. Свободный модуль изоморфен $R^{I}$ для некоторого множества $I$. Из $1\Rightarrow3$ с проекцией $R^I\to R$ получаем все нужные функции.
+ \item[$1\Leftarrow4$] Рассмотрим $P\to R^I$, определённое на компонентах функциями ${f_i}_{i\in I}$. Определение корректно, потому что все функции финитные. Понятно, что существует отображение $R^{I}\to P$ (сумма компонент), что композиция тождественная на $P$ (по условию). Из $2\Rightarrow1$ $P$ проективен.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Для любого модуля $M$ существует проективный модуль $P$ и $P\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} M$.\end{stmt}
@@ -1455,9 +1458,10 @@ A\overset{a\mapsto\phi_a}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G,A)\overset{f\mapsto\phi_f
\begin{stmt}
$H^1(G,A)=\frac{\Der(G,A)}{\PDer(G,A)}$.
\end{stmt}
-\marginpar{\vspace{0.1em}Лекция 7\\14 октября}Итак, для $\Barr_n\otimes_{\Z G}A=(\Z G)^{\otimes n}\otimes A$ дифференциал действует так: \begin{multline*}$$\hspace*{-4.8em}d_n^{\Barr_*\otimes_{\Z G}A}([g_1,\ldots,g_{n+1}]\otimes x)=[g_2,\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i[g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\\(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]\otimes g_{n+1}x$$\end{multline*}
-А для $\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)\cong\Hom_{\Z G}((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G, A)\cong\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},\Hom_{\Z G}(\Z G,A))\cong\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},A)$:
-\begin{multline*}$$\hspace*{-4.8em}d_n^{\Hom_{\Z G}(\Barr_*,A)}(f)(g_1,\ldots,g_{n+1})=f(g_2,\ldots,g_{n+1})+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^if(g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1})+\\(-1)^{n+1}f(g_1,\ldots,g_n)g_{n+1}$$\end{multline*}
+\marginpar{\vspace{0.1em}Лекция 7\\14 октября}Итак, для $\Barr_n\otimes_{\Z G}A=(\Z G)^{\otimes n}\otimes A$ дифференциал действует так: \begin{multline*}$$d_n^{\Barr_*\otimes_{\Z G}A}([g_1,\ldots,g_{n+1}]\otimes x)=[g_2,\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i[g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1}]\otimes x+\\(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]\otimes g_{n+1}x$$\end{multline*}
+А для $\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)$, так как
+\begin{multline*}$$\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)\cong\Hom_{\Z G}((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G, A)\cong\\\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},\Hom_{\Z G}(\Z G,A))\cong\Hom_{\Z}((\Z G)^{\otimes n},A)\text{:}$$\end{multline*}
+\begin{multline*}$$d_n^{\Hom_{\Z G}(\Barr_*,A)}(f)(g_1,\ldots,g_{n+1})=f(g_2,\ldots,g_{n+1})+\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^if(g_1,\ldots,g_ig_{i+1},\ldots,g_{n+1})+\\(-1)^{n+1}f(g_1,\ldots,g_n)g_{n+1}$$\end{multline*}
\subsubsection*{Некоторые другие виды резольвент}
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Некоторые другие виды резольвент}
@@ -1473,7 +1477,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
\begin{center}
\bfseries* * *
\end{center}
-\begin{thm}
+\begin{thm}\label{thm_ordermultisnullhomotopic}
$G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot H_n(G,A)=\{0\}$ для любого $G$-модуля $A$ и любого $n\ge1$.
\end{thm}
\begin{proof}
@@ -1494,7 +1498,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
Получается, что умножение на $m$ гомотопно нулевому отображению для всех $n>0$. Поэтому оно отображает гомологии в 0 для всех $n>0$.
\end{proof}
-\subsection{Расширения групп}
+\subsection{Расширения групп}\label{groupexts}
\begin{Def}
Расширение группы $G$ с помощью $A$~--- короткая точная последовательность в (в категории групп)\[A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G\text{.}\]
Два расширения $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ и $A\hookrightarrow E'\twoheadrightarrow G$ называются {\bfseries\itshape эквивалентными}, если\marginpar{\tiny всё как раньше} существует $\phi\colon E\to E'$, что все коммутирует. Опять из 5-леммы он будет изоморфизмом.
@@ -1520,15 +1524,11 @@ $E\cong G\times A$ как множество. Хотим понять, как у
\[
\sigma(g)\alpha(x)\sigma(h)\alpha(y)=\sigma(g)\sigma(h)\underbrace{\overbrace{\sigma(h)^{-1}\alpha(x)\sigma(h)}^{=\alpha(x\cdot h)}\alpha(y)}_{=\alpha(x\cdot h+y)}=\sigma(gh)\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\alpha(x\cdot h+y)
\]
-$\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\in\im\alpha\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)=\alpha(f(g,h))$ для некоторой функции $f\colon G\times G\to A$. Получается, что умножение $*$ на $E$ задается такой формулой:
+$\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\in\im\alpha\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)=\alpha(f(g,h))$ для некоторой функции $f\colon G\times G\to A$\marginpar{\label{groupcocycleeqn}\vspace*{-2em}\tiny Если отождествить $A$ с подгруппой $\alpha(A)$ в $G$, то можно просто записать\vspace{-1.7em}\[\hspace{-0.4em}f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\vspace{-1.5em}\](что мы и будем делать)}. Получается, что умножение $*$ в $E$ задается такой формулой:
\[(g,x)*(h,y)=(gh,f(g,h)+x\cdot h+y)\text{.}\]
Чтобы это было групповой операцией, нужно проверить ассоциативность: она непонятная только для странной функции $f$, поэтому достаточно проверять ее для элементов вида $(g,0)$.
-\[
-((g,0)*(h,0))*(t,0)=(gh,f(g,h))*(t,0)=(ght,f(g,h)\cdot t+f(gh,t))
-\]
-\[
-(g,0)*((h,0)*(t,0))=(g,0)*(ht,f(h,t))=(ght,f(g,ht)+f(h,t))
-\]
+\[((g,0)*(h,0))*(t,0)=(gh,f(g,h))*(t,0)=(ght,f(g,h)\cdot t+f(gh,t))\]
+\[(g,0)*((h,0)*(t,0))=(g,0)*(ht,f(h,t))=(ght,f(g,ht)+f(h,t))\]
То есть $*$ определяет группу тогда и только тогда, когда для $f$ выполняется условие \[\forall g,h,t\in G\colon f(h,t)-f(gh,t)+f(g,ht)-f(g,h)t=0\text{.}\] Заметим, что это эквивалентно тому, что отображение $\tilde{f}\colon\Z G\otimes\Z G\to A$ (соответствующее $f$)~-- 2-коцикл!
\section*{Практика 7: (ко)гомологии групп}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 7: (ко)гомологии групп}
@@ -1554,5 +1554,119 @@ $\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)
точна и её класс в $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)$ соответствует при каноническом изоморфизме $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)/\unsim\cong H^2(G,A)$ элементу, соответствующему изначальному расширению группы $G$ группой $A$.
\item Пусть имеется расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$ группы $G$ абелевой группой $A$, причём $|G|=m$ взаимно просто с $|A|<\infty$. Докажите, что любые две подгруппы в $E$ порядка $m$ сопряжены элементом из $A$.
\end{enumerate}
+
+\vspace*{1em}
+\marginpar{\vspace{1.3em}Лекция 8\\21 октября}\begin{center}
+ \bfseries* * *\\
+ \scriptsize Продолжаем про расширения групп
+\end{center}
+Заметим, что \[\Hom_{\Z G}(\Barr_n,A)\cong\Hom_{\Z}(\Z G^{\otimes n},A)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\Hom_{\mathcal{S}et}(G^n,A)\text{,}\] где $\Hom_{\mathcal{S}et}(G^n,A)$~-- множество функций (в смысле отображений между множествами) из $G^n$ в $A$ с поточечным сложением: действительно, $\Z G^{\otimes n}$~-- свободный $\Z$-модуль с базисом $g_1\otimes\ldots\otimes g_n$; образы базиса определяют отображение $G^n\to A$.
+
+$\Hom_{\Z G}(-,A)$, применённый к бар-резольвенте $\Z$, в такой записи имеет вид
+\[\begin{tikzcd}
+\cdots\ar{r}&\Hom_{\mathcal{S}et}(G,A)\ar{r}{h\mapsto\delta h}&\Hom_{\mathcal{S}et}(G^2,A)\ar{r}{f\mapsto\delta f}&\Hom_{\mathcal{S}et}(G^3,A)\ar{r}&\cdots\\
+\end{tikzcd}\]
+\vspace{-3.8em}\begin{align*}
+\delta h(g_1,g_2)=&h(g_2)-h(g_1g_2)+h(g_1)g_2\\
+\delta f(g_1,g_2,g_3)=&f(g_2,g_3)-f(g_1g_2,g_3)+f(g_1,g_2g_3)-f(g_1,g_2)g_3
+\end{align*}
+Это поможет нам ответить на вопрос ``когда функции $f,f'\in Z^2(G,A)$ определяют эквивалентные расширения?''
+
+При построении расширения мы выбирали только $\sigma\colon G\to E$. Пусть $\sigma\colon G\to E_1$ и $\tilde{\sigma}\colon G\to E_2$ задают эквивалентные расширения
+\[\begin{tikzcd}[cramped]
+A\ar[hook]{r}\ar[equal]{d}&E_1\ar{d}{\cong}\ar[two heads,shift left=-0.7]{r}&\ar[shift left=-0.7,swap]{l}{\sigma}G\ar[equal]{d}\\
+A\ar[hook]{r}&E_2\ar[two heads,shift left=-0.7]{r}&\ar[shift left=-0.7,swap]{l}{\tilde{\sigma}}G\\
+\end{tikzcd}\]
+Отождествим $E_1$ и $E_2$, тогда из условия на $\sigma$: $\beta\sigma=\beta\tilde{\sigma}=\id_G$, откуда\[(\sigma(x))^{-1}\tilde{\sigma}(x)\in\ker\beta=\im\alpha\]
+Обозначим $\gamma(x)\defeq(\sigma(x))^{-1}\tilde{\sigma}(x)$. Это функция $G\to A$. Получается, что $\tilde{\sigma}(x)=\sigma(x)\gamma(x)$.
+По условию на коциклы (вспомните замечание на с.~\pageref{groupcocycleeqn})
+\begin{multline*}
+\tilde{f}(x,y)=(\tilde{\sigma}(xy))^{-1}\tilde{\sigma}(x)\tilde{\sigma}(y)=(\sigma(xy)\gamma(xy))^{-1}\sigma(x)\gamma(x)\sigma(y)\gamma(y)=\\
+\gamma(xy)^{-1}\underbrace{\sigma(xy)^{-1}\sigma(x)\sigma(y)}_{=f(x,y)}\underbrace{\sigma(y)^{-1}\gamma(x)\sigma(y)}_{=\gamma(x)\cdot y}\gamma(y)
+\end{multline*}
+Переписывая это аддитивно (образы всех этих штук в $A$, поэтому их можно переставлять)
+\[\tilde{f}(x,y)=f(x,y)\underbrace{-\gamma(xy)+\gamma(y)-\gamma(x)\cdot y}_{\in B^2(G,A)}\]
+
+Получается, что $\gamma$~-- в точности кограница.
+
+Обозначим построенную нами с помощью коцикла $f\in Z^2(G,A)$ группу $E$-расширение $G$ с помощью $G$-модуля $A$ как $[G,A,f]$. Итак, получаем теорему
+\begin{thm}\label{thm_extsdescription}
+ Любое расширение $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, где $A$~-- $G$-модуль, изоморфно $A\hookrightarrow [G,A,f]\twoheadrightarrow G$ для некоторого $f\in Z^2(G,A)$. Коциклы, соответствующие изоморфным расширениям, отличаются на элемент $B^2(G,A)$.
+
+ Другими словами, есть каноническое соответствие между расширениями $G$ с помощью $G$-модуля $A$ с точностью до изоморфизма и элементами $H^2(G,A)$.
+\end{thm}
+\begin{corollary*}
+ $m,q$ взаимно просты, $X$~ группа\marginpar{\scriptsize\color{awesome}$X$ не обязательно абелева!} порядка $q$, $G$~-- группа порядка $m$. Тогда любое расширение $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ расщепляется.
+\end{corollary*}
+\begin{proof}[Доказательство следствия] Есть два случая
+ \begin{enumerate}
+ \item Если $X$ абелева, то все следует из теоремы~\ref{thm_extsdescription} об описании расширений и теоремы~\ref{thm_ordermultisnullhomotopic}: $m\cdot H^2(G,X)=0$ и $q\cdot H^2(G,X)=0$ (очевидно, потому что все элементы там~-- функции в $X$, умножение поточечное, а $|X|=q$). Поэтому $H^2(G,X)=0$, значит, все расширения~-- полупрямые произведения.
+
+ \item $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$. $|X|=q, |G|=m, \gcd(q,m)=1$.
+
+ Заметим, что расширение расщепляется, когда в $E$ есть подгруппа порядка $m$. Тогда она тривиально пересекается с $X$ (порядки взаимно просты) и поэтому она изоморфна $G$, поэтому $E$~-- (внутреннее) полупрямое произведение.
+
+ Доказываем индукцией по $|X|=q$. Пусть $p$~-- простое, делящее $q$, $P$~-- силовская $p$-подгруппа $X$ (и она же силовская $p$-подгруппа в $E$, потому что индекс $X$ в $E$ взаимно прост с порядком).
+
+ Обозначим $N\defeq N_E(P)$~-- нормализатор $P$ в $E$; $C\defeq Z(P)$~-- центр $P$: так как $P$~-- $p$-подгруппа (то есть порядка $p^k$), он нетривиален (из уравнения классов). Понятно, что $N_X(P)=N\cap X$.
+ \begin{multicols}{2}
+ \noindent\vspace*{\fill}
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
+ & E & \\
+ X\ar[dash]{ur}{m}& & N\ar[dash]{ul}\\
+ & N\cap X\ar[dash]{ur}{m}\ar[dash]{ul}&&H\ar[dash]{ul}\\
+ &P\ar[dash]{u}&\\
+ &C\ar[dash]{u}&\\
+ &\{1\}\ar[dash]{u}&
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ \vspace*{\fill}
+
+ \columnbreak
+
+ $[E:N]$ равно количеству силовских $p$-подгрупп: все силовские $p$-подгруппы сопряжены (то есть орбита одна), а нормализатор $N$ оставляет $P$ на месте, по теореме об орбите стабилизаторе орбита имеет длину $[E:N]$.
+
+ Оно же равно $[X:N\cap X]$~-- числе силовских подгрупп в $X$.
+ \end{multicols}
+ Понятно, что $N\trianglerighteqslant P\trianglelefteqslant N\cap X\trianglelefteqslant N$, поэтому есть короткая точная последовательность (точность из третьей теоремы об изоморфизме)\[\frac{N\cap X}{P}\hookrightarrow\frac{N}{P}\twoheadrightarrow\frac{N}{N\cap X}\text{.}\]
+ Группа $\frac{N}{N\cap X}$ порядка $m$, порядок группы $\frac{N\cap X}{P}$~-- делитель $q$ и не делитель $p$ (иначе она не была бы силовской), так что по индукции существует подгруппа порядка $m$ в $\frac{N}{P}$. Обозначим её $\frac{H}{P}$ для некоторого $P\trianglelefteqslant H\le N$.
+ Так как $P$ нормальна в $H$, $H$ должна сохранять $C$, поэтому $C\trianglelefteqslant H$.
+ Из третьей теоремы об изоморфизме есть короткая точная последовательность \[\frac{P}{C}\hookrightarrow\frac{H}{C}\twoheadrightarrow\frac{H}{P}\text{.}\]
+ \marginpar{\tiny бабка за дедку, дедка за центр, тянут-потянут и вытянули группу порядка $m$}$\frac{H}{P}$ порядка $m$; так как $C$ нетривиален, порядок $\frac{P}{C}$ меньше $q$. По индукционному предположению $\exists L\colon C\trianglelefteqslant L\le H$, что $|L/C|=m$. Поэтому есть расширение $C\hookrightarrow L\twoheadrightarrow L/C$. $C$ абелева, поэтому в $L$ есть подгруппа $K$ порядка $m$. $K\le L\le H\le N\le E$. Нашли подгруппу порядка $m$ в $E$.
+ \qedhere
+ \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Теперь рассматриваем расширения $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, когда $X$ не обязательно абелева. Всё ещё есть гомоморфизм $E\to\Aut(X^{\op})$, работающий так: \[y\mapsto\nu_y,\;\nu_y(x)=y^{-1}xy\;\forall x,y\in E\text{.}\]
+Но теперь если $y\in X$, то не обязательно $\nu_y=\id_X$. Однако всегда $\nu_y,y\in X$ лежит в $\Inn(X)$ (понятно). Получается, что отображение $y\mapsto\nu_y$ индуцирует отображение $G\overset{\psi}{\to}\Out(X)$. Получаем
+\[
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\\
+ & &\Inn(X)\ar[hook]{ur}\\
+\end{tikzcd}
+\]
+Получаем, что любое расширение $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ индуцирует $\psi\colon G\to\Out(X)$. Итак, задача: описать все расширения $G$ c помощью $X$, индуцирующее заданное $\psi$.
+
+Как и раньше, $X\overset{\alpha}{\hookrightarrow}G\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$~-- расширение. Опять $\sigma\colon G\to E\in\Hom_{\mathcal{S}et}(G,E)$, что $\beta\sigma=\id_G$. Опять если оно~-- гомоморфизм групп, то $E\cong G\ltimes X$.
+
+Как раньше определим $f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)$. Определим $\Aut(X)\ni\gamma_y\colon x\mapsto\sigma(y)^{-1}x\sigma(y)$.
+
+\[\bar{\gamma_y}=\psi(y)\text{~-- класс }\gamma_y\text{ в }\Out(X)\]
+\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition1}\gamma_y\gamma_z(x)=(\sigma(z)\sigma(y))^{-1}x\underbrace{(\sigma(z)\sigma(y))}_{=\sigma(zy)f(z,y)}=\nu_{f(z,y)}(\gamma_{zy}(x))\end{equation}
+Аналогично абелевому случаю умножение в $E\overset{\mathcal{S}et}{\cong}G\times X$ определяется так:
+\begin{equation}\label{eqn_arbext_multiplication}\tag{$*$}
+(g,a)*(h,b)=(gh,f(g,h)\gamma_h(a)b)
+\end{equation}
+Оно ассоциативно, значит,\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition2}f(gh,t)(\gamma_t f(g,h))=f(g,ht)f(h,t)\text{.}\end{equation}
+Получается, что $E$~-- расширение$\iff$выполняется~\ref{eqn_arbext_condition1} и~\ref{eqn_arbext_condition2}.
+
+Обозначим такое расширение $[G,X,\gamma,f]$. Мы доказали теорему
+\begin{thm}
+ Любое расширение $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, индуцирующее $\psi\colon G\to\Out(X)$, изоморфно расширению $X\hookrightarrow[G,X,\gamma,f]\twoheadrightarrow G$ для некоторых $\gamma\colon G\to\Aut(X)$, что диаграмма $\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]G\ar{d}{\gamma}\ar{rd}{\psi}&\\\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\end{tikzcd}$коммутативна, и $f\colon G\times G\to X$, удовлетворяющего~\ref{eqn_arbext_condition1} и~\ref{eqn_arbext_condition2}; $[G,X,\gamma,f]\overset{\mathcal{S}et}{\cong}G\times X$ с умножением, определенным~\ref{eqn_arbext_multiplication}.
+
+ Обратное тоже верно: если для $\gamma$ и $f$ выполняются эти условия, то $[G,X,\gamma,f]$~-- расширение, индуцирующее $\psi$.
+\end{thm}
+Вопрос: для каких $G,X,\psi$ можно построить функции $\gamma$ и $f$ (соответственно, построить расширение). Понятно, что можно построить $\gamma$~-- просто поднять $\psi$. Непонятно, как построить $f$.
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
