commit 6ecf77ac347fcd9c07bf023512a6adf4e938054a
parent f950135aa8e38f271049c2ac6e5aa92584b52c11
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date:   Sun, 19 Sep 2021 20:03:29 +0300

improved solutions

Diffstat:
M
notes.pdf
 | 
0

M
notes.tex
 | 
4
+++-

2 files changed, 3 insertions(+), 1 deletion(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -306,7 +306,9 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 		\[
 		0=\Tor_1^R(\Z,A)\to\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)\to A\to A\twoheadrightarrow\Z/m\Z\otimes_{\Z}A
 		\]
-		Все старшие торы, понятно, нулевые. $\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\cdot m)\otimes1}{\longrightarrow}\Z\otimes_{\Z}A)$. В ядро попадают все элементы $a\in A$, что $ma=0$.
+		Все старшие торы, понятно, нулевые: кусок последовательности $\overset{0=}{\Tor_n^R(\Z,A)}\to\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)\hookrightarrow\overset{=0}{\Tor_{n-1}^R(\Z,A)}$, поэтому $\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)=0$.
+
+		$\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\cdot m)\otimes1}{\longrightarrow}\Z\otimes_{\Z}A)$. В ядро попадают все элементы $a\in A$, что $ma=0$.
 	\end{proof}
 	\item Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
 	\item Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.