commit 74ce81757cfeb1b1d15a7f54d6a488c90d2bd5f4
parent da36ec2218d2e210ced9b2c7cbfeb1ce6b3d8821
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Sun, 7 Nov 2021 20:45:26 +0300
added more solutions
Diffstat:
2 files changed, 19 insertions(+), 7 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -426,16 +426,29 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Из задачи~\ref{Pract1Prob1}, аддитивности $\Tor$ и устройства конечно порождённых $\Z$-модулей знаем, что это правда для всех конечно порождённых. Для произвольной группы воспользуемся тем, что любая абелева группа~-- фильтрованный копредел своих конечно порождённых подгрупп и следствием из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits}. Копредел групп кручения~-- тоже группа кручения, потому что это коядро прямой суммы групп кручения (прообраз был конечного порядка, значит, и исходный элемент конечного порядка, см. с~\pageref{colimitinRMod}).
\end{proof}
\item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
- \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
-
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
+ \begin{enumerate}
+ \item[$\Leftarrow$] Абелева группа~-- копредел своих конечно порождённых подгрупп, все они имеют вид $\Z^m$ для какого-то $m$. Для любого модуля $X$ $\Tor^{\Z}_1(X,\Z^m)=0$, поэтому $\Tor^{\Z}_1(X,A)=0$, поэтому $A$~-- плоский модуль.
+ \item[$\Rightarrow$] Если $A$~-- плоский модуль, то для любой группы $\Z/m\Z$ $\Tor_1^{\Z}(\Z/m\Z,A)=0=\{a\in A\,|\,ma=0\}$.
+ \end{enumerate}
\end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\cong\{a\in A|\exists m\ne 0\colon ma=0\}$.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
-
+ Рассмотрим короткую точную последовательность $\Z\hookrightarrow\Q\twoheadrightarrow\Q/\Z$. Из неё получается длинная точная последовательность
+ \[
+ \cdots\to\Tor_1^\Z(\Q,A)\to\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\to\Z\otimes A\to\Q\otimes A\twoheadrightarrow \Q/\Z\otimes A
+ \]
+ $\Q$ свободна от кручения, поэтому она плоская, так что $\Tor_1^\Z(\Q,A)=0$, поэтому $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)$~-- ядро отображения $A\to\Q\otimes A$, отправляющее $a$ в $1\otimes a$. Понятно, что ядро этого отображения содержит кручение.\todo{Непонятно, почему в другую сторону работает}
\end{proof}
\item Пусть $A$~-- абелева $m$-группа. Вычислите $\Tor_n^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)$ для всех $n\ge 0$ и $d|m$.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ $m=d'd$.
+ Запишем $\Z/m\Z$-проективную резольвенту $\Z/d\Z$
+ \[\cdots\to\Z/m\Z\overset{\cdot d'}{\to}\Z/m\Z\overset{\cdot d}{\to}\Z/m\Z\twoheadrightarrow\Z/d\Z\]
+ и применим $-\otimes_{\Z/m\Z}A$.
+ \[\cdots\overset{\cdot d}{\to}A\overset{\cdot d'}{\to}A\overset{\cdot d}{\to}A\]
+ $\Tor_0^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=A/dA$. $\Tor_{2k+1}^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=\frac{\{a\,|\,da=0\}}{d'A}$. $\Tor_{2k}^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)=\frac{\{a\,|\,d'a=0\}}{dA}$.
\end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_1^R(R/I,R/J)\cong\frac{I\cap J}{IJ}$ для любых двусторонних идеалов кольца $R$.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
@@ -529,13 +542,13 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
- \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}%\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial}\\
+ \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r}\ar[draw=none]{ddd}[name=G, anchor=center]{} &\ker h\ar[hook]{d}%\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial}\\
\ar[rounded corners,%color=silver,
to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
|- (G.center) \tikztonodes
-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
-- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial} \\
- A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[crossing over,near start]{d}[name=G]{g}& C\ar[crossing over,near start]{d}{h}\\
+ A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[crossing over,near start]{d}{g}& C\ar[crossing over,near start]{d}{h}\\
X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[two heads]{d} & Z\ar[two heads]{d}\\
\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
\end{tikzcd}
@@ -1356,7 +1369,6 @@ Q_{-(n-1)}\ar{r}& Q_{-n}
Y\ar[hook]{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar[two heads]{r} & X &
\end{tikzcd}
\]
-\pagebreak
\begin{multicols}{2}
Сложим эти две последовательности, задав отображение в сумму из резольвенты прямой суммой для $Y\oplus Y$ и всех $E_i\oplus E_i'$ и для $X\to X\oplus X$ диагональной функцией $\Delta\colon x\mapsto(x,x)$.
@@ -1597,7 +1609,7 @@ $\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)
\end{tikzcd}
\]
и что это расширение соответствует коциклу $f_1+f_2$.
- \item Пусть $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$~-- расширение группы $G$ абелевой группой $A$. Пусть $F=\Z G^{\oplus E}$~-- свободный $G$-модуль с базисом $\{[e]\,|\,e\in E\}$. Пусть $R$~-- подмодуль $F$, порождённый множеством $\{[e_1+e_2]-[e_1]-\beta(e_1)[e_2]\,|\,e_1,e_2\in E\}$. Определим $G$-гомоморфизмы $\phi\colon A\to F/R$ и $\psi\colon F/R\to\Z G$ равенствами $\phi(a)=\alpha(a)+R$ и $\psi([e]+R)=\beta(e)-1$. Докажите, что последовательность
+ \item Пусть $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$~-- расширение группы $G$ абелевой группой $A$. Пусть $F=\Z G^{\oplus E}$~-- свободный $G$-модуль с базисом $\{[e]\,|\,e\in E\}$. Пусть $R$~-- подмодуль $F$, порождённый множеством $\{[e_1e_2]-[e_1]-\beta(e_1)[e_2]\,|\,e_1,e_2\in E\}$. Определим $G$-гомоморфизмы $\phi\colon A\to F/R$ и $\psi\colon F/R\to\Z G$ равенствами $\phi(a)=[\alpha(a)]+R$ и $\psi([e]+R)=\beta(e)-1$. Докажите, что последовательность
\[0\to A\overset{\phi}{\to}F/R\overset{\psi}{\to}\Z G\overset{\pi}{\to}\Z\to0\]
точна и её класс в $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)$ соответствует при каноническом изоморфизме $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)/\unsim\cong H^2(G,A)$ элементу, соответствующему изначальному расширению группы $G$ группой $A$.
\item Пусть имеется расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$ группы $G$ абелевой группой $A$, причём $|G|=m$ взаимно просто с $|A|<\infty$. Докажите, что любые две подгруппы в $E$ порядка $m$ сопряжены элементом из $A$.
