commit 849b85c29c1c11ff6449d02ffea30b4277c557b2
parent 5a0ae88622802ea54db8921ec83f9d6b55b8a745
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Thu, 23 Sep 2021 02:32:06 +0300
fixed typos
Diffstat:
2 files changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -93,7 +93,7 @@
\item Работа с "препятствиями":
\begin{enumerate}
\item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A\otimes_{\Z}C\hookrightarrow B\otimes_{\Z}C$? Оказывается, что за ``немономорфность'' отвечает $\Tor_\Z(B/A,C)$. Если он равен $0$, то есть мономорфизм.
- \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечнопорожденные). Если $R$ ``достаточно хорошее'', то выполнена теорема Жордана-Гёльдера: существует
+ \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечно порождённые). Если $R$ ``достаточно хорошее'', то выполнена теорема Жордана-Гёльдера: существует
$$M=M_0\ge M_1\ge\ldots\ge M_n=\{0\}$$
где $M_i/M_{i+1}$ простые. Значит, нужно описать простые модули и как из них составляются непростые.
(можно доказать, что) есть короткая точная последовательность $$S\hookrightarrow M\twoheadrightarrow T$$
@@ -454,7 +454,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Если $A\rightarrow B$~-- мономорфизм, то и $\ker f\to\ker g$~-- мономорфизм. Если $Y\rightarrow Z$~-- эпиморфизм, то и $\coker g\to\coker h$~-- эпиморфизм.
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
- На самом деле построенное отображение $\partial$ функторинально в таком смысле: если есть морфизм диаграмм (диаграмм из условия), то квадрат с получающимися морфизмами $\partial$ и $\partial'$ коммутирует:
+ На самом деле построенное отображение $\partial$ функториально в таком смысле: если есть морфизм диаграмм (диаграмм из условия), то квадрат с получающимися морфизмами $\partial$ и $\partial'$ коммутирует:
\[
\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
\ker h\ar{d}\ar{r}{\partial} & \coker f\ar{d}\\
@@ -473,7 +473,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{itemize}\setlength\itemsep{0.0em}
\item если $b,d$~-- мономорфизмы и $a$~-- эпиморфизм, то $c$~-- мономорфизм.
\item если $b,d$~-- эпиморфизмы и $e$~-- мономорфизм, то $c$~-- эпиморфизм.
- \item (если $a,b,d,e$~-- изоморфизмы, то $c$~-- изоморфзим).
+ \item (если $a,b,d,e$~-- изоморфизмы, то $c$~-- изоморфизм).
\end{itemize}
\end{fivelemma}
\begin{lemma}[\hypertarget{horseshoe}{о подкове}]\label{horseshoelemma}\index{Лемма о подкове}
@@ -752,7 +752,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$ совпадают\marginpar{\vspace{-1em}\tinyя не понимаю, что значит это обозначение. Левые и правые $\Tor$-размерности?}.
\item* Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
\item Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
- \item Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_M(R)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадаюют.
+ \item Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_R(M)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадают.
\item Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность. Докажите, что $\pd_R(M)\le\max(\pd_R(L),\pd_R(N))$,$\pd_R(N)\le\max(\pd_R(L)+1,\pd_R(M))$ и $\pd_R(L)\le\max(\pd_R(M),\pd_R(N)-1)$. Сформулируйте и докажите аналогичные неравенства для инъективной и плоской размерностей.
\end{enumerate}
\section{ашьхаъоьоа}
