commit 8962b0b517a05a5f0d4dc964b39f5394bfac2f2e
parent 0e16d165b58ed7f0c3bfb2ad8ba5acf05349deb1
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Mon, 18 Oct 2021 20:00:07 +0300
added practice problems 7
Diffstat:
2 files changed, 29 insertions(+), 4 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -85,6 +85,7 @@
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\newcommand\defeq{\overset{\text{\normalfont def}}{=}}
+\newcommand{\unsim}{\mathord{\sim}} % recommended way to correnct spacing around \sim
\let\phi\varphi
\renewcommand{\le}{\leqslant}
@@ -1227,7 +1228,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Y\ar{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar{r}& X
\end{tikzcd}
\]
-для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\colon X\to X=\id_X$ и $f_n\colon Y\to Y=\id_Y$), что все квадраты коммутируют. Это отношение рефлексивное и транзитивное, но не обязательно симметричное\marginpar{\vspace{-2em}\tiny Но оно симметричное для $n=1$, потому что $f_1$ будет изоморфизмом из 5-леммы}. Обозначим $\sim$~-- наименьшее отношение эквивалентности, порожденное этим отношением. Обозначим $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\defeq\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)/\sim$.
+для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\colon X\to X=\id_X$ и $f_n\colon Y\to Y=\id_Y$), что все квадраты коммутируют. Это отношение рефлексивное и транзитивное, но не обязательно симметричное\marginpar{\vspace{-2em}\tiny Но оно симметричное для $n=1$, потому что $f_1$ будет изоморфизмом из 5-леммы}. Обозначим $\unsim$~-- наименьшее отношение эквивалентности, порожденное этим отношением. Обозначим $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\defeq\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)/\unsim$.
Мы построим ``хорошую'' биекцию между $\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny]\Ext^n_R(X,Y)\ar[bend left=20]{rr}{\phi} & \text{ и } & \widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\ar[bend left=20]{ll}{\psi}\end{tikzcd}$ как множествами, а потом докажем, что она сохраняет хорошо определенное сложение на $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)$, превращая её в изоморфизм $R$-модулей\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$\Ext^n_R(X,Y)$-- $R$-модуль\end{flushleft}}.
\begin{proof}[Конструкция биекции]
@@ -1474,7 +1475,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
\left(\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}[g,a_2,\ldots,a_n]}+\underline{\color{pigmentblue}\underline{\color{pigmentblue}\sum_{g\in G}\left(\sum_{i=1}^{n-1}\cdots\cdots\cdots\right)}}\right)
$$
\end{multline*}
- Части, подчёркнутые один и два раза в последней строке, отличаются от соответствующих частей в предпоследней строке на знак, поэтому они обнуляются, остается только $m[a_1,\ldots,a_n]$.
+ Части, подчёркнутые один и два раза в последней строке, отличаются от соответствующих частей в предпоследней строке на знак, поэтому они обнуляются, остаётся только $m[a_1,\ldots,a_n]$.
Получается, что умножение на $m$ гомотопно нулевому отображению для всех $n>0$. Поэтому оно отображает гомологии в 0 для всех $n>0$.
\end{proof}
@@ -1487,7 +1488,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
Итак, задача разбивается на две: \begin{enumerate*}\item описать все структуры $G$-модуля на $A$;\item описать все расширения\end{enumerate*}. Первым пунктом мы заниматься не будем и везде будем считать, что нам задано действие $G$ на $A$.
-Итак, нам даны группы $A,G$ и действие $G$ на $A$ $\cdot\colon A\times G\to A$. Вспомним, что всегда существует тривиальное расширение $A\hookrightarrow A\rtimes G\twoheadrightarrow G$. $A\rtimes G$~-- это группа с множеством элементов $A\times G$ и умножением $(a,g)(b,h)=(a\cdot h+b,gh)$.
+Итак, нам даны группы $A,G$ и действие $G$ на $A$ $\cdot\colon A\times G\to A$. Вспомним, что всегда существует тривиальное расширение $A\hookrightarrow A\rtimes G\twoheadrightarrow G$. $A\rtimes G$~-- это группа с множеством элементов $A\times G$ и умножением $(a,g)(b,h)=(a\cdot h+b,gh)$\marginpar{\tiny операция в $G$~-- умножение, в $A$~-- сложение}.
\begin{Def}
Расширение $A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если $\exists G\overset{\sigma}{\to}E$~-- гомоморфизм групп, что $\beta\sigma=\id_G$.
\end{Def}
@@ -1502,7 +1503,7 @@ $(\sigma\beta(e))^{-1}e\in\im\alpha$: применим $\beta$, получим $
$E\cong G\times A$ как множество. Хотим понять, как устроено умножение. Запишем его просто и используем наше представление элементов $E$:
\[
-\sigma(g)\alpha(x)\sigma(h)\alpha(y)=\sigma(g)\sigma(h)\underbrace{\overbrace{\sigma(h)^{-1}\alpha(x)}^{=\alpha(x\cdot h)}\sigma(h)\alpha(y)}_{=\alpha(x\cdot h+y)}=\sigma(gh)\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\alpha(x\cdot h+y)
+\sigma(g)\alpha(x)\sigma(h)\alpha(y)=\sigma(g)\sigma(h)\underbrace{\overbrace{\sigma(h)^{-1}\alpha(x)\sigma(h)}^{=\alpha(x\cdot h)}\alpha(y)}_{=\alpha(x\cdot h+y)}=\sigma(gh)\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\alpha(x\cdot h+y)
\]
$\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\in\im\alpha\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)=\alpha(f(g,h))$ для некоторой функции $f\colon G\times G\to A$. Получается, что умножение $*$ на $E$ задается такой формулой:
\[(g,x)*(h,y)=(gh,f(g,h)+x\cdot h+y)\text{.}\]
@@ -1514,5 +1515,29 @@ $\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)
(g,0)*((h,0)*(t,0))=(g,0)*(ht,f(h,t))=(ght,f(g,ht)+f(h,t))
\]
То есть $*$ определяет группу тогда и только тогда, когда для $f$ выполняется условие \[\forall g,h,t\in G\colon f(h,t)-f(gh,t)+f(g,ht)-f(g,h)t=0\text{.}\] Заметим, что это эквивалентно тому, что отображение $\tilde{f}\colon\Z G\otimes\Z G\to A$ (соответствующее $f$)~-- 2-коцикл!
+\section*{Практика 7: (ко)гомологии групп}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 7: (ко)гомологии групп}
+\begin{enumerate}
+ \item Опишите для всех чисел $m,n$ и $C_m$-модулей $A$ группы $H_n(C_m,A)$ и $H^n(C_m,A)$.
+ \item Напомним, что аугментационный идеал $\mathcal{J}_G$~-- это ядро $\Z G$-линейного отображения $\pi\colon\Z G\to\Z$, которое переводит $1_G$ в единицу (и, следовательно, переводит любой $g\in G$ в единицу). Докажите, что $\{g-1\,|\,g\in G\smallsetminus\{1_G\}\}$~-- $\Z$-базис $\mathcal{J}_G$.
+ \item Пусть $G=F\langle X\rangle$~-- свободная группа на множестве образующих $X$. Докажите, что $\mathcal{J}_G$~-- свободный $\Z G$-модуль с базисом $\{x-1\,|\,x\in X\}$. Выведите отсюда, что $H_n(F\langle X\rangle,A)=H^n(F\langle X\rangle,A)=0$ для любого $A$ и любого $n\ge2$. Докажите, что если $A$~-- тривиальный $G$-модуль, то $H_1(G,A)\cong\bigoplus_{x\in X}A$ и $H^1(G,A)=\prod_{x\in X}A$.
+ \item Докажите, что $\mathcal{J}_{G*H}\cong(\mathcal{J}_G\otimes_{\Z G}\Z(G*H))\oplus(\mathcal{J}_H\otimes_{\Z H}\Z(G*H))$ (как $\Z(G*H)$-модуль, где $G*H$ обозначает свободное произведение групп $G$ и $H$).
+ \item Пусть $S\to R$~-- гомоморфизм колец такой, что $R$ является плоским $S$-модулем. Докажите, что для любого $S$-модуля $M$, любого $R$-модуля $T$ и любого $n\ge0$ выполнено $\Tor_n^R(T,R\otimes_SM)\cong\Tor_n^S(T,M)$ и $\Ext_R^n(R\otimes_SM,T)\cong\Ext_S^n(M,T)$ (где в первом случае $T$~-- правый модуль, а во втором~-- левый).
+ \item Докажите, что для $n\ge2$ и любого $G*H$-модуля $A$ выполнено $H_n(G*H,A)\cong H_n(G,A)\oplus H_n(H,A)$ и $H^n(G*H,A)\cong H^n(G,A)\oplus H^n(H,A)$. Докажите, что если $A$~-- тривиальный $G*H$-модуль, то эти изоморфизмы имеют место и для $n=1$.
+ \item Пусть $|G|=m$ и $A$~-- абелева группа, для которой гомоморфизм умножения на $m$ (операцию в $A$ мы считаем сложением) является изоморфизмом. Докажите, что $H_n(G,A)=H^n(G,A)=\{0\}$ для любого $n>0$.
+ \item Поймите, что для тривиального модуля $A$ выполнено $H^1(G,A)=\Hom_{\mathcal{G}rp}(G,A)$ ($\Hom$ в категории групп). Докажите, что для любой конечной группы $G$ выполнено $H^2(G,\Z)\cong\Hom(G,\mathbb{R}/\Z)$, где структура $G$-модуля на $\Z$ и $\mathbb{R}$ тривиальна.
+ \item Пусть $A\overset{\alpha_i}{\to}E_i\overset{\beta_i}{\to}G$ ($i=1,2$)~-- два расширения группы $G$ абелевой группой $A$, индуцирующие одинаковые действия $G$ на $A$. Пусть $f_i\colon G\times G\to A$~-- соответствующие им коциклы. Докажите, что существует единственное с точностью до изоморфизма расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$, которое задаётся коммутативной диаграммой\[
+ \begin{tikzcd}
+ A\oplus A\ar{r}{\alpha_1\oplus\alpha_2}\ar{d}{\nabla_A}&E_1\times E_2\ar{r}{\beta_1\times\beta_2}\ar{d}&G\times G\ar[equal]{d}\\
+ A\ar{r}{\alpha'}\ar[equal]{d}&E'\ar{r}{\beta'}&G\times G\\
+ A\ar{r}{\alpha}&E\ar{u}\ar{r}{\beta}&G\ar{u}{\Delta_G}
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ и что это расширение соответствует коциклу $f_1+f_2$.
+ \item Пусть $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$~-- расширение группы $G$ абелевой группой $A$. Пусть $F=\Z G^{\oplus E}$~-- свободный $G$-модуль с базисом $\{[e]\,|\,e\in E\}$. Пусть $R$~-- подмодуль $F$, порождённый множеством $\{[e_1+e_2]-[e_1]-\beta(e_1)[e_2]\,|\,e_1,e_2\in E\}$. Определим $G$-гомоморфизмы $\phi\colon A\to F/R$ и $\psi\colon F/R\to\Z G$ равенствами $\phi(a)=\alpha(a)+R$ и $\psi([e]+R)=\beta(e)-1$. Докажите, что последовательность
+ \[0\to A\overset{\phi}{\to}F/R\overset{\psi}{\to}\Z G\overset{\pi}{\to}\Z\to0\]
+ точна и её класс в $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)$ соответствует при каноническом изоморфизме $\mathcal{E}xt_{\Z G}^2(\Z,A)/\unsim\cong H^2(G,A)$ элементу, соответствующему изначальному расширению группы $G$ группой $A$.
+ \item Пусть имеется расширение $A\overset{\alpha}{\to}E\overset{\beta}{\to}G$ группы $G$ абелевой группой $A$, причём $|G|=m$ взаимно просто с $|A|<\infty$. Докажите, что любые две подгруппы в $E$ порядка $m$ сопряжены элементом из $A$.
+\end{enumerate}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
