commit b5ece52d0a07f2d298924171b7ce436f43d8f14c
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Wed, 8 Sep 2021 00:57:17 +0300
Initial commit
Diffstat:
| A | notes.pdf | | | 0 | |
| A | notes.tex | | | 223 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
2 files changed, 223 insertions(+), 0 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -0,0 +1,222 @@
+\documentclass[utf8,a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{cmap}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[russian]{babel}
+\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{comment}
+\usepackage{multicol}
+\usepackage{enumitem}
+
+\definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39}
+
+\usepackage[left=1.25cm,right=1.25cm,
+top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
+
+\newcommand*\cocolon{%
+ \nobreak
+ \mskip6mu plus1mu
+ \mathpunct{}%
+ \nonscript
+ \mkern-\thinmuskip
+ {:}%
+ \mskip2mu
+ \relax
+}
+
+\DeclareMathOperator{\id}{id}
+\DeclareMathOperator{\im}{im}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
+\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
+\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
+\setcounter{section}{-1}
+
+\newtheorem{Def}{Определение}
+\newtheorem{stmt}{Утверждение}
+\newtheorem{exc}{Упражнение}
+
+\begin{document}
+\section*{Введение}
+Зачем нужна гомологическая алгебра:
+\begin{enumerate}
+ \item Работа с "препятствиями":
+ \begin{enumerate}
+ \item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A\otimes_{\Z}C\hookrightarrow B\otimes_{\Z}C$? Оказывается, что за ``немономорфность'' отвечает $\Tor_\Z(B/A,C)$. Если он равен $0$, то есть мономорфизм.
+ \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечнопорожденные). Если $R$ "достаточно хорошее", то выполнена теорема Жордана-Гельдера: существует
+ $$M=M_0\ge M_1\ge\ldots\ge M_n=\{0\}$$
+ где $M_i/M_{i+1}$ простые. Значит, нужно описать простые модули и как из них составляются непростые.
+ (можно доказать, что) есть короткая точная последовательность $$S\hookrightarrow M\twoheadrightarrow T$$
+ где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличается'' от $S\oplus T$ отвечает $\Ext_R(T,S)$. Если он равен 0, то $M\cong S\oplus T$. Иначе может быть, что $M\not\cong S\oplus T$.
+ \end{enumerate}
+ \item Поиск инвариантов.
+ \begin{enumerate}
+ \item В топологии (ну понятно)
+ \item В алгебре: Алгебры сложно классифицировать с точностью до изоморфизма. Но можно брать производные категории (?) и классифицировать с точностью до их эквивалентности. Если эквивалентны, то изоморфны их (ко)гомологии Хохшильда(??)
+ \end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\section{Основные определения}
+\subsection{Компл\'{е}ксы}
+\begin{Def}
+ Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны) последовательность модулей $X_i$ $(i\in\Z)$ с гомоморфизмами $d_i\colon X_{i+1}\to X_i$, что $d_{i}\circ d_{i+1}=0\,\forall i\in\Z$.
+ $$
+ \cdots\to X_3\overset{d_2}{\to}X_2\overset{d_1}{\to}X_1\overset{d_0}{\to}X_0\overset{d_{-1}}{\to}X_{-1}\overset{d_{-2}}{\to}X_{-2}\to\cdots
+ $$
+\end{Def}
+Немного переформулируем определение:
+\begin{Def}
+ Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus_{i\in\Z}X_i$.
+
+ Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
+\end{Def}
+\begin{Def} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def}
+\begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный модуль с дифференциалом степени (в нашем случае) $-1$.\end{Def}
+\begin{Def}
+ $(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\overset{\text{def}}{=}Z_n/B_n$.
+\end{Def}
+Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigoplus_{i\in\Z}H_i(X)$.
+\begin{Def}
+ $X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим комплекс $X[n]_i=X_{i+n}$ с дифференциалом $d[n]_i=(-1)^n d_{i+n}$.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ Комплекс $X$ называется цикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ $(X,d^X)$, $(Y,d^Y)$~-- комплексы. Гомоморфизм $f\colon X\to Y$~-- гомоморфизм комплексов(иногда говорят ``цепное отображение''), если $|f|=0$ и $fd^X=d^Yf$.
+\end{Def}
+\begin{stmt}
+ Если $f\colon X\to Y$~-- цепное отображение, то оно индуцирует отображение $H_nf\colon H_nX\to H_nY$.
+\end{stmt}
+\begin{proof}
+\begin{multicols}{2}
+ Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setlength\parskip{-5pt},leftmargin=0.5cm,itemindent=.4cm,labelwidth=\itemindent,labelsep=0cm,align=left]
+ \itemsep0em
+ \item $x\in\ker d_{n-1}^X\Rightarrow 0=f_{n-1}d_{n-1}^X(x)=d_{n-1}^Yf_{n}(x)\Rightarrow f_{n}(\ker d_{n-1}^X)\subseteq\ker d_{n-1}^Y$
+ \item $f_n(\im d_n^X)=f_nd_n^X(X_{n+1})=d_n^Yf_{n+1}(X_{n+1})\subseteq\im d_n^Y$
+ \item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно.
+ \end{enumerate}
+
+ \columnbreak
+ \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+ X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^x_{n-1}}&X_{n-1}\ar{ddd}{f_{n-1}}\\
+ & \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[urr]\ar[hook]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
+ & \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[drr]\ar[two heads]{r} & H_nY\\
+ Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \ar{r}{d^Y_{n-1}}&Y_{n-1}
+ \end{tikzcd}
+\end{multicols}
+\end{proof}
+
+Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(\cdot)$ переводит композицию в композицию. И понятно, что переводит $\id$ в $\id$. Короче, $H_n(\cdot)$~-- функтор.
+
+\begin{Def}
+ Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ $f,g\colon X\to Y$~-- морфизмы комплексов. {\bfseries Гомотопией} между $f$ и $g$ называется гомоморфизм $s\colon X\to Y$, $|s|=1$, что $f-g=sd^X+d^Ys$. Обозначают $f\sim g$.
+ \[\begin{tikzcd}[sep=normal]
+ \cdots\ar{r}\ar{dd} & X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[sloped]{f_{i+1}-g_{i+1}} & X_i\ar{r}{d^X_{i-1}}\ar{dd}[sloped]{f_{i}-g_{i}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i+1}} & X_{i-1}\ar{r}\ar{dd}[sloped]{f_{i-1}-g_{i-1}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i}} & \cdots\ar[sloped]{ldd}{s_{i-1}}\\
+ & & & & \\
+ \cdots\ar{r} & Y_{i+1}\ar{r}{d^Y_{i}} & Y_i\ar{r}{d^Y_{i-1}} & Y_{i-1}\ar{r} & \cdots\\
+ \end{tikzcd}\]
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ %Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если\\ $\exists f\colon\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]X\ar[r,shift left=0.45ex]& \ar[l,shift right=-0.45ex]Y\end{tikzcd}$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
+ Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если\\ $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
+\end{Def}
+\begin{stmt}
+ Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм.
+\end{stmt}
+\begin{proof}
+ Даны $f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. Покажем, что $H_ng\circ H_nf=\id_{H_nX}=H_n(g\circ f)$ (в обратную сторону точно так же). Для этого покажем, что если $f\colon X\to X$~-- морфизм и $f\sim\id_X$, то $H_nf=\id_{H_nX}$. И правда, $H_nf=H_n\id_X\iff H_n(f-\id_X)=0$. Так как $f\sim\id_X$, то $\exists s\colon f-\id_X=sd+ds$. $H_n(sd+ds)\colon H_n(X)\to H_n(X)$. Часть $ds$ переводит в 0 в гомологиях, потому что образ~-- граница. Часть $sd$ переводит в 0 в гомологиях, потому что применяется к циклу.
+\end{proof}
+\subsection{Проективные модули}
+\begin{Def}
+ Модуль $P$ называется {\bfseries проективным}, если \[
+ \begin{tikzcd}[cramped]
+ P\ar[swap]{d}{\exists h} \ar{dr}{\forall f} & \\
+ A \ar[two heads]{r}{\forall g} & B % \ar{r} & 0
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{Def}
+Например, свободный модуль проективен.
+\begin{exc}
+ $P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$ $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис'').
+\end{exc}
+\begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Для любого модуля $M$ существует проективный модуль $P$ и $P\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} M$.\end{stmt}
+\begin{Def}
+ Пусть $M$~-- модуль. Его можно интерпретировать как комплекс
+ $$\cdots\to M_2=\{0\}\to M_1=\{0\}\to M_0=M\to M_{-1}=\{0\}\to\cdots$$
+ Комплекс $P$, где все $P_i$ проективные, с морфизмом комплексов $\varepsilon\colon P\to M$ называется {\bfseries проективной резольвентой}, если $P_i=0\forall i<0$ и $\varepsilon$~-- квазиизоморфизм.
+
+ Другими словами (и картинкой)
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ \cdots\ar{r}{d_2}& P_2\ar{r}{d_1}& P_1\ar{r}{d_0}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}& P_0\ar{r}\ar{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\
+ \cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ А из квазиизоморфности $H_iP=0,i\ne 0\iff \ker d_{i-1}=\im d_{i}, i\ne 0$. $P/\im d_0\cong M\Rightarrow\varepsilon$~-- эпиморфизм.
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ \cdots\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_2P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_1P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_0P\ar{r}\ar[two heads]{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\
+ \cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& H_0M=M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{Def}
+\begin{stmt}
+ У любого модуля существует проективная резольвента.
+\end{stmt}
+\begin{proof}
+ \begin{multicols}{2}
+ По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, существует $P_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}M$. Рассмотрим теперь $M_{0}=\ker\varepsilon$. По индукции $M_i=\ker d_{i-1},i>0$. утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, над $M_i$ существует проективный модуль $P_{i+1}\overset{\varepsilon_1}{\twoheadrightarrow}M_i$. Как $d_i$ возьмем композицию $P_{i+1}\twoheadrightarrow M_i\hookrightarrow P_{i}$. По построению это проективная резольвента.
+
+ \columnbreak
+ \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
+ & & & \ker d_0\ar[hook]{dr}{\iota_1} & & & & & \\
+ \cdots\ar{rr}{d_2}\ar[two heads]{rd} & & P_2\ar{rr}{d_1=\iota_1\varepsilon_2}\ar[two heads]{ur}{\varepsilon_2} & & P_1\ar{rr}{d_0=\iota_0\varepsilon_1}\ar[swap,two heads]{dr}{\varepsilon_1} & & P_0\ar[two heads]{rr}{\varepsilon} & & M \\
+ & \ker d_1\ar[hook]{ur}& & & & \ker\varepsilon\ar[swap,hook]{ur}{\iota_0}
+ \end{tikzcd}
+ \end{multicols}
+\end{proof}
+\setlength{\multicolsep}{\parskip}
+\begin{stmt}
+ Пусть $P\overset{\varepsilon}{\to}M$ и $Q\overset{\tau}{\to}M$~-- проективные резольвенты $M$. Тогда $\exists f\colon P\rightleftarrows Q\cocolon g$~-- взаимообратные гомотопические эквивалентности, что $\tau f=\varepsilon$ и $\varepsilon g=\tau$.
+\end{stmt}
+\begin{proof}
+ \begin{multicols}{2}
+ $\tau$~-- эпиморфизм, поэтому $\exists f_0\colon P_0\to Q_0$, что $\tau f_0=\varepsilon$.
+
+ Так как $\tau f_0d_0=\varepsilon d_0=0$ (последнее равенство из определения резольвенты), $\im f_0d_0\subseteq\ker\tau$. Поэтому существует $P_1\to\ker\tau$. Из проективности $P_1$ существует $\exists f_1\colon P_1\to Q_1$. По построению $f_0d_0=d_0'f_1$.
+
+ (ну итд, $d_0'f_1d_1=f_0d_0d_1=0\Rightarrow \im f_1d_1\subseteq\ker d_0'\Rightarrow\exists P_2\to\ker d_0'\Rightarrow\exists f_2\colon P_2\to Q_2$)
+
+ \columnbreak
+ \noindent\begin{center}
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{\exists f_2}\ar{rd} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar{rd}\ar{dd}{\exists f_1} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar{dd}{\exists f_0} & \\
+ & \ker d_0'\ar[hook]{rd} & &\ker\tau\ar[hook]{rd} & & M \\
+ Q_2\ar{rr}{d_1'}\ar[two heads]{ur}& & Q_1\ar{rr}{d_0'}\ar[two heads]{ur} & & Q_0\ar[two heads]{ru}{\tau} &
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ Аналогично строится $g_i$, что $\varepsilon g=\tau$.
+ \end{multicols}
+ \begin{multicols}{2}
+ Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалентности. Для этого нужно доказать, что $\exists s\colon P\to P$, что $gf-\id_P=sd+ds$ (в другую сторону точно так же).
+
+ Обозначим $gf\overset{\text{def}}{=}h$. Заметим, что $\varepsilon h=\varepsilon gf=\tau f=\varepsilon$, поэтому $\varepsilon(h_0-\id_{P_0})=0$. Поэтому $\im(h_0-\id_{P_0})\subseteq\ker\varepsilon\colon P_1\to\ker\varepsilon$. Из проективности $P_0$ существует $s_1\colon P_0\to P_1$. Из коммутативности всех треугольников получается $h_0-\id_{P_0}=d_0s_1$ (все $P_i=0,i<0$, так что $s_0d_{-1}=0$).
+
+ \columnbreak
+
+ \noindent\begin{center}
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[shift left=0.5em,sloped]{dd}{h_1-\id_{P_1}}\ar[color=coolblack, sloped,swap,shift right=0.25em]{dd}{h_1-\id_{P_1}-s_1d_0}\ar[color=coolblack]{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_2} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar[sloped]{dd}{h_0-\id_{P_0}}\ar{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_1} & \\
+ & & & & & M \\
+ P_2\ar{rr}{d_1}\ar[two heads]{rd}& & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[two heads]{rd} & &
+ P_0\ar[two heads]{ru}{\varepsilon} & \\
+ & \ker d_0\ar[color=coolblack,hook]{ur}& & \ker\varepsilon\ar[hook]{ur} & &
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ \end{multicols}
+ Далее нужно найти $s_2\colon P_1\to P_2$, что $h_1-\id_{P_1}=s_1d_0+d_1s_2$. Заметим, что $d_0(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)=d_0h_1-d_0-d_0s_1d_0=h_0d_0-d_0-(h_0-\id_{P_0})d_0=0$ (первое слагаемое из того, что $h$~-- это морфизм комплексов). Аналогично случаю для $\varepsilon$ $\im(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)\subseteq\ker d_0$. Поэтому есть стрелка $P_1\to\ker d_0$, поэтому из проективности $P_1$ существует $s_2\colon P_1\to P_2$. Далее аналогично.
+\end{proof}
+\end{document}
+\ No newline at end of file
