commit d150c439617ab49cf71de3ed300791a184893309
parent e4092b77cbe33c2e7aba738bc252b421b7fbad49
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Wed, 22 Sep 2021 22:29:56 +0300
added .gitignore; fixed proof of theorems; added problems; improved typesetting
Diffstat:
| A | .gitignore | | | 367 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ |
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 78 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------------------- |
3 files changed, 422 insertions(+), 23 deletions(-)
diff --git a/.gitignore b/.gitignore
@@ -0,0 +1,367 @@
+# Created by https://www.toptal.com/developers/gitignore/api/emacs,latex,git
+# Edit at https://www.toptal.com/developers/gitignore?templates=emacs,latex,git
+
+### Emacs ###
+# -*- mode: gitignore; -*-
+*~
+\#*\#
+/.emacs.desktop
+/.emacs.desktop.lock
+*.elc
+auto-save-list
+tramp
+.\#*
+
+# Org-mode
+.org-id-locations
+*_archive
+
+# flymake-mode
+*_flymake.*
+
+# eshell files
+/eshell/history
+/eshell/lastdir
+
+# elpa packages
+/elpa/
+
+# reftex files
+*.rel
+
+# AUCTeX auto folder
+/auto/
+
+# cask packages
+.cask/
+dist/
+
+# Flycheck
+flycheck_*.el
+
+# server auth directory
+/server/
+
+# projectiles files
+.projectile
+
+# directory configuration
+.dir-locals.el
+
+# network security
+/network-security.data
+
+
+### Git ###
+# Created by git for backups. To disable backups in Git:
+# $ git config --global mergetool.keepBackup false
+*.orig
+
+# Created by git when using merge tools for conflicts
+*.BACKUP.*
+*.BASE.*
+*.LOCAL.*
+*.REMOTE.*
+*_BACKUP_*.txt
+*_BASE_*.txt
+*_LOCAL_*.txt
+*_REMOTE_*.txt
+
+### LaTeX ###
+## Core latex/pdflatex auxiliary files:
+*.aux
+*.lof
+*.log
+*.lot
+*.fls
+*.out
+*.toc
+*.fmt
+*.fot
+*.cb
+*.cb2
+.*.lb
+
+## Intermediate documents:
+*.dvi
+*.xdv
+*-converted-to.*
+# these rules might exclude image files for figures etc.
+# *.ps
+# *.eps
+# *.pdf
+
+## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
+.pdf
+
+## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
+*.bbl
+*.bcf
+*.blg
+*-blx.aux
+*-blx.bib
+*.run.xml
+
+## Build tool auxiliary files:
+*.fdb_latexmk
+*.synctex
+*.synctex(busy)
+*.synctex.gz
+*.synctex.gz(busy)
+*.pdfsync
+
+## Build tool directories for auxiliary files
+# latexrun
+latex.out/
+
+## Auxiliary and intermediate files from other packages:
+# algorithms
+*.alg
+*.loa
+
+# achemso
+acs-*.bib
+
+# amsthm
+*.thm
+
+# beamer
+*.nav
+*.pre
+*.snm
+*.vrb
+
+# changes
+*.soc
+
+# comment
+*.cut
+
+# cprotect
+*.cpt
+
+# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
+*.spl
+
+# endnotes
+*.ent
+
+# fixme
+*.lox
+
+# feynmf/feynmp
+*.mf
+*.mp
+*.t[1-9]
+*.t[1-9][0-9]
+*.tfm
+
+#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
+*.end
+*.?end
+*.[1-9]
+*.[1-9][0-9]
+*.[1-9][0-9][0-9]
+*.[1-9]R
+*.[1-9][0-9]R
+*.[1-9][0-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9]
+*.eledsec[1-9]R
+*.eledsec[1-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9]R
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
+*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
+
+# glossaries
+*.acn
+*.acr
+*.glg
+*.glo
+*.gls
+*.glsdefs
+*.lzo
+*.lzs
+
+# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!)
+# *.ist
+
+# gnuplottex
+*-gnuplottex-*
+
+# gregoriotex
+*.gaux
+*.glog
+*.gtex
+
+# htlatex
+*.4ct
+*.4tc
+*.idv
+*.lg
+*.trc
+*.xref
+
+# hyperref
+*.brf
+
+# knitr
+*-concordance.tex
+# TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files
+# *.tikz
+*-tikzDictionary
+
+# listings
+*.lol
+
+# luatexja-ruby
+*.ltjruby
+
+# makeidx
+*.idx
+*.ilg
+*.ind
+
+# minitoc
+*.maf
+*.mlf
+*.mlt
+*.mtc[0-9]*
+*.slf[0-9]*
+*.slt[0-9]*
+*.stc[0-9]*
+
+# minted
+_minted*
+*.pyg
+
+# morewrites
+*.mw
+
+# newpax
+*.newpax
+
+# nomencl
+*.nlg
+*.nlo
+*.nls
+
+# pax
+*.pax
+
+# pdfpcnotes
+*.pdfpc
+
+# sagetex
+*.sagetex.sage
+*.sagetex.py
+*.sagetex.scmd
+
+# scrwfile
+*.wrt
+
+# sympy
+*.sout
+*.sympy
+sympy-plots-for-*.tex/
+
+# pdfcomment
+*.upa
+*.upb
+
+# pythontex
+*.pytxcode
+pythontex-files-*/
+
+# tcolorbox
+*.listing
+
+# thmtools
+*.loe
+
+# TikZ & PGF
+*.dpth
+*.md5
+*.auxlock
+
+# todonotes
+*.tdo
+
+# vhistory
+*.hst
+*.ver
+
+# easy-todo
+*.lod
+
+# xcolor
+*.xcp
+
+# xmpincl
+*.xmpi
+
+# xindy
+*.xdy
+
+# xypic precompiled matrices and outlines
+*.xyc
+*.xyd
+
+# endfloat
+*.ttt
+*.fff
+
+# Latexian
+TSWLatexianTemp*
+
+## Editors:
+# WinEdt
+*.bak
+*.sav
+
+# Texpad
+.texpadtmp
+
+# LyX
+*.lyx~
+
+# Kile
+*.backup
+
+# gummi
+.*.swp
+
+# KBibTeX
+*~[0-9]*
+
+# TeXnicCenter
+*.tps
+
+# auto folder when using emacs and auctex
+./auto/*
+*.el
+
+# expex forward references with \gathertags
+*-tags.tex
+
+# standalone packages
+*.sta
+
+# Makeindex log files
+*.lpz
+
+# xwatermark package
+*.xwm
+
+# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib
+# option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib.
+# Uncomment the next line to have this generated file ignored.
+#*Notes.bib
+
+### LaTeX Patch ###
+# LIPIcs / OASIcs
+*.vtc
+
+# glossaries
+*.glstex
+
+# End of https://www.toptal.com/developers/gitignore/api/emacs,latex,git
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -26,7 +26,8 @@
\hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
colorlinks,
linkcolor={cadmiumgreen},
- urlcolor={pigmentblue}
+ urlcolor={pigmentblue},
+ linktoc=all
}
% reverse column, to typeset adjoint functors or bijections like "f: F<=>G :g"
@@ -54,7 +55,7 @@
\DeclareMathOperator{\Tot}{Tot}
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
\DeclareMathOperator{\pd}{pd}
-\DeclareMathOperator{\fd}{id}
+\DeclareMathOperator{\fd}{fd}
\DeclareMathOperator{\gldim}{gldim}
\DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
@@ -78,12 +79,14 @@
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
\fancyhead[L]{\leftmark}
-
+\renewcommand{\headrulewidth}{2pt}
\makeindex[title=Индекс]{}
\begin{document}
+\tableofcontents\newpage
\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
+\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
%\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому -3 от 6 не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
Зачем нужна гомологическая алгебра:
\begin{enumerate}
@@ -103,7 +106,7 @@
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Основные определения}
-\subsection{Компл\'{е}ксы}
+%\subsection{Компл\'{е}ксы}
\begin{Def}\index{Комплекс}
Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны) последовательность модулей $X_i$ $(i\in\Z)$ с гомоморфизмами $d_i\colon X_{i+1}\to X_i$, что $d_{i}\circ d_{i+1}=0\,\forall i\in\Z$.
$$
@@ -289,10 +292,11 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Далее нужно найти $s_2\colon P_1\to P_2$, что $h_1-\id_{P_1}=s_1d_0+d_1s_2$. Заметим, что $d_0(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)=d_0h_1-d_0-d_0s_1d_0=h_0d_0-d_0-(h_0-\id_{P_0})d_0=0$ (первое слагаемое из того, что $h$~-- это морфизм комплексов). Аналогично случаю для $\varepsilon$ $\im(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)\subseteq\ker d_0$. Поэтому есть стрелка $P_1\to\ker d_0$, поэтому из проективности $P_1$ существует $s_2\colon P_1\to P_2$. Далее аналогично.
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
-\section{Практика 1}
+\section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
+\addcontentsline{toc}{section}{Практика 1: функтор $\Tor$}
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
-На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули.
+На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}).
Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано противоположное. Если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
@@ -561,7 +565,8 @@ Cтрелка по построению получается единствен
По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Далее из куска последовательности $\overset{=0}{T_nP}\to T_{n}X\to T_{n-1}K_X\to\overset{=0}{T_{n-1}P}$ по индукции получаем, что $T_{n}X\cong T_{n-1}K_X\cong(L_{n-1}F)K_X\cong(L_nF)X$. Из конструкции длинной точной последовательности (теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}) изоморфизм получается естественный.
\end{proof}
-\section{Практика 2}
+\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
+\addcontentsline{toc}{section}{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль и следующий
\paragraph*{\hypertarget{homologyincomplex}{Увлекательный факт~-- комплекс распадается в набор коротких точных последовательностей.}}\label{page_homologyincomplex}
Рассмотрим кусок комплекса
@@ -601,7 +606,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\]
$L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X\,i\ge1$.
\end{proof}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\label{def_flatmodule}
$R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $-\otimes_RX$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
\end{Def}
\begin{Def}
@@ -627,15 +632,23 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\begin{lemma}\label{acycliciffqis}
$f\colon U_*\to V_*$~-- цепное отображение. Тогда $f$~-- квазиизоморфизм $\iff\Cone(f)$ ацикличен\marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{acycliccomplex}}.
\end{lemma}
-Заметим, что существует короткая точная последовательность комплексов $V_*\hookrightarrow\Cone(f)\twoheadrightarrow U_*$. Эту лемму можно доказать применением два раза леммы о змее к этой короткой точной последовательности. Но возникает сложность~-- нужно доказать, что связующий гомоморфизм это в точности $f$. На лекции рассказывали другое доказательство.
-\begin{proof}[Доказательство (рабоче-крестьянское).]
- Запишем условие ацикличности: $\ker d_{i-1}\subseteq\im d_{i}$, то есть пусть $U_{i-1}\oplus V_i\ni(u,v)\in \ker d_{i-1}\iff d^U(u)=0$ и $f(u)+d^V(v)=0$. $(u,v)$ также лежит в образе, значит, $\exists(u',v')\colon u=-d^U(u')$ и $v=f(u')+d^V(v')$.
+Заметим, что существует короткая точная последовательность комплексов $V_*\hookrightarrow\Cone(f)\twoheadrightarrow U_*$. Эту лемму можно доказать применением два раза леммы о змее к этой короткой точной последовательности, но нужно понять, что связующий гомоморфизм это в точности $f$. На лекции рассказывали другое доказательство.
+\begin{proof}[Доказательство (рабоче-крестьянское).] Обозначим дифференциал в $\Cone(f)$ как $d$.
+ $$d_{n}=\begin{pmatrix}
+ -d^{U}_{n-1} & 0\\
+ f_n & d^{V}_n
+ \end{pmatrix}$$
+ Запишем условие ацикличности: $\ker d_{n-1}\subseteq\im d_n$, то есть пусть $U_{n-1}\oplus V_n\ni(u,v)\in \ker d_{n-1}\iff d^U_{n-2}(u)=0$ и $f_{n-1}(u)+d^V_{n-1}(v)=0$. $(u,v)$ также лежит в образе, значит, $\exists(u',v')\in U_n\oplus V_{n+1}\colon u=-d^U_{n-1}(u')$ и $v=f_n(u')+d^V_n(v')$.
+
+ $f$~-- квазиизоморфизм, то есть $H_n(f)$~-- мономорфизм и эпиморфизм.
+
+ $H_{n-1}(f)$~-- мономорфизм, значит (см. диаграмму к доказательству утв.~\ref{homologyisafunctor}), ядро отображения $\ker d^U_{n-2}\to\ker d^V_{n-2}\twoheadrightarrow H_nV_*$ это в точности $\im d^U_{n-1}$. То есть, если $u\in\ker d_{n-2}^U$ такой, что $\exists v\in V_{n-1}\colon f_{n-1}(u)=d^V_{n-1}(v)$ (то есть ушел в 0 на стрелке $\ker d^U_{n-2}\to H_{n-1}V_*$), то $\exists u'\in U_{n}$, что $u=d^U_{n-1}(u')$ (то есть он граница).
- $H_n(f)$~-- мономорфизм, значит (см. диаграмму к доказательству утв.~\ref{homologyisafunctor}), ядро отображения $\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1}\twoheadrightarrow H_nV_*$ изоморфно $\im d^U_{n}$. Это значит, что $\im d^U_n\cong\im d^V_n$, а $\ker(\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1})=0$.
+ $H_n(f)$~-- эпиморфизм, значит, $\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1}\twoheadrightarrow H_nV_*$ эпиморфизм, значит, отображение $\ker d^U_{n-1}\twoheadrightarrow\ker d^V_{n-1}$ эпиморфизм, то есть если $v\in\ker d_{n-1}^V$, то $\exists u\in\ker d_{n-1}^U\colon f_n(u)=v$.
- $H_n(f)$~-- эпиморфизм, значит, $\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1}\twoheadrightarrow H_nV_*$, значит, отображение $\ker d^U_{n-1}\twoheadrightarrow\ker d^V_{n-1}$ эпиморфизм $\iff d_{n-1}^V(v)=0\text{, что }\exists u\colon d^U_{n-1}(u)=0\text{ и }v=f(u)$.
+ Видно, что условие про $u$~-- это (c точностью до знака) условие на мономорфность, а условие на $v$~-- это условие на эпиморфность с точностью до границы.
\end{proof}
-\begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}
+\begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}\index{$\Tor$}
Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. Функтор $\Tor$~-- это $\Tor_n^R(A,B)\overset{\text{def}}{=}L_n(-\otimes_R B)(A)$.
\end{Def}
Для доказательства фактов про $\Tor$ нужно еще несколько определений.
@@ -697,14 +710,16 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
$L_n(-\otimes_RB)(A)\cong L_n(A\otimes_R-)(B)\overset{\text{def}}{=}\Tor_n^R(A,B)$.
\end{corollary*}
Можно вычислять $\Tor$, используя плоские резольвенты.
-\begin{stmt}
+\begin{stmt}\index{Плоский модуль}
Левый модуль плоский тогда и только тогда, когда для любого правого модуля $Y$ он $(Y\otimes_R-)$-ациклический.
\end{stmt}
+
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
-\section{Практика 3}
+\section*{Практика 3: гомологические размерности}
+\addcontentsline{toc}{section}{Практика 3: гомологические размерности}
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
-Пусть $M$~-- модуль. {\itshape Проективной размерностью}\index{Проективная размерность} $M$ называется минимальная длина проективной резольвенты $M$ (то есть такое минимальное $n$, что существует проективная резольвента $P_*$ модуля $M$, для которой выполнено $P_i=0$ для $i>n$). {\itshape Инъективной размерностью}\index{Инъективная размерность} $M$ называется минимальная длина инъективной резольвенты $M$, а {\itshape плоской размерностью}\index{Плоская размерность} $M$ называется минимальная длина плоской резольвенты $M$. Например, проективная (инъективная, плоская) размерность $M$ равна нулю тогда и только тогда, когда $M$~-- проективный (инъективный, плоский) модуль. Проективная, инъективная и плоская размерности $M$ обозначаются соответственно $pd_R(M)$, $id_R(M)$ и $fd_R(M)$.
+Пусть $M$~-- модуль. {\bfseries\itshape Проективной размерностью}\index{Проективная размерность} $M$ называется минимальная длина проективной резольвенты $M$ (то есть такое минимальное $n$, что существует проективная резольвента $P_*$ модуля $M$, для которой выполнено $P_i=0$ для $i>n$). {\bfseries\itshape Инъективной размерностью}\index{Инъективная размерность} $M$ называется минимальная длина инъективной резольвенты $M$, а {\bfseries\itshape плоской размерностью}\index{Плоская размерность} $M$ называется минимальная длина плоской резольвенты $M$. Например, проективная (инъективная, плоская) размерность $M$ равна нулю тогда и только тогда, когда $M$~-- проективный (инъективный, плоский) модуль. Проективная, инъективная и плоская размерности $M$ обозначаются соответственно $\pd_R(M)$, $\id_R(M)$ и $\fd_R(M)$.
\begin{enumerate}[start=0]
\item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
\begin{itemize}
@@ -716,12 +731,29 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\item Пользуясь критерием Баера, покажите, что $M$ инъективен тогда и только тогда, когда $\Ext_R^1(R/I,M)=0$ для любого левого идеала $I$ кольца $R$.
\item Докажите, что
\begin{align*}
- pd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(M,X)\ne 0\}\text{;}\\
- id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(X,M)\ne 0\}\text{;}\\
- fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_n(M,X)\ne 0\}\text{.}
+ \pd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(M,X)\ne 0\}\text{;}\\
+ \id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(X,M)\ne 0\}\text{;}\\
+ \fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_n(X,M)\ne 0\}\text{.}
\end{align*}
- \item Докажите, что $id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
- \item
+ \item Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
+ \item Докажите, что следующие числа равны:
+ \begin{itemize}
+ \item $\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-модуль}\}$;
+ \item $\sup\{\id_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-модуль}\}$;
+ \item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Ext_R^n(X,Y)\ne0\}$.
+ \end{itemize}
+ Это число называется (левой) {\bfseries\itshape глобальной размерностью $R$}\index{Глобальная размерность} и обозначается $\gldim(R)$.
+ \item Докажите, что следующие числа равны:
+ \begin{itemize}
+ \item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}$;
+ \item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- правый }R\text{-модуль}\}$;
+ \item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Tor_n^R(X,Y)\ne0\}$.
+ \end{itemize}
+ Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$ совпадают\marginpar{\vspace{-1em}\tinyя не понимаю, что значит это обозначение. Левые и правые $\Tor$-размерности?}.
+ \item* Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \item Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \item Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_M(R)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадаюют.
+ \item Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность. Докажите, что $\pd_R(M)\le\max(\pd_R(L),\pd_R(N))$,$\pd_R(N)\le\max(\pd_R(L)+1,\pd_R(M))$ и $\pd_R(L)\le\max(\pd_R(M),\pd_R(N)-1)$. Сформулируйте и докажите аналогичные неравенства для инъективной и плоской размерностей.
\end{enumerate}
\section{ашьхаъоьоа}
\begin{Def}\index{Фильтрованная категория}
@@ -738,5 +770,5 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\end{Def}
kerkerkercokerkerkerkercokerker~--\marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
Леди Гага научилась применять лемму о змее
-\printindex
+\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
