commit 22302e0093a8c3c0eaa04abdff74cbafc8afc1ea
parent 349546ba5abe48e611fdbdff36b46d75bc5b5947
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Thu, 14 Oct 2021 13:54:37 +0300
added some tasks and most of lecture 6
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 138 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------- |
2 files changed, 121 insertions(+), 17 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -62,10 +62,14 @@
\DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\DeclareMathOperator{\Barr}{Bar}
+\DeclareMathOperator{\ab}{ab}
+\DeclareMathOperator{\Der}{Der}
+\DeclareMathOperator{\PDer}{PDer}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
-\newcommand\defeq{\overset{\text{def}}{=}}
+\newcommand\defeq{\overset{\text{\normalfont def}}{=}}
\let\phi\varphi
\renewcommand{\le}{\leqslant}
@@ -131,7 +135,7 @@
\begin{Def}\index{Градуированный модуль}
Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus_{i\in\Z}X_i$.
- Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z\; f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
+ Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z\; f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{\normalfont def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def}
\begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный модуль с дифференциалом степени (в нашем случае) $-1$.\end{Def}
@@ -192,7 +196,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{Def}\index{Гомотопическая эквивалентность}
Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
\end{Def}
-\begin{stmt}
+\begin{stmt}\label{stmt_homequivisqis}
Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм.
\end{stmt}
\begin{proof}
@@ -329,7 +333,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Заметим, что $\Tor_1^R(K_X,M)=0$. Кроме того, $\Tor_n^R(P,M)=0$ (производный функтор от проективного модуля). Поэтому $\Tor_2^R(X,M)\hookrightarrow\Tor_1^R(K_X,M)=0$ мономорфизм. Поэтому $\Tor_2^R(X,M)=0$. В обратную сторону так же. Дальше аналогично.
\end{proof}
- \item Пусть $A$~-- абелева группа. Вычислите $\Tor_n^\Z(\Z/m\Z,A)$ для всех $m,n>0$.
+ \item\label{Pract1Prob1} Пусть $A$~-- абелева группа. Вычислите $\Tor_n^\Z(\Z/m\Z,A)$ для всех $m,n>0$.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
$\Z\overset{\cdot m}{\hookrightarrow}\Z\twoheadrightarrow\Z/m\Z$~-- короткая точная последовательность для $\Z/m\Z$.
@@ -342,7 +346,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{proof}
\item\label{Pract1Prob2} Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
-
+ Из задачи~\ref{Pract1Prob1}, аддитивности $\Tor$ и устройства конечно порождённых $\Z$-модулей знаем, что это правда для всех конечно порождённых. Для произвольной группы воспользуемся тем, что любая абелева группа~-- фильтрованный копредел своих конечно порождённых подгрупп и следствием из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits}. Копредел групп кручения~-- тоже группа кручения, потому что это коядро прямой суммы групп кручения (прообраз был конечного порядка, значит, и исходный элемент конечного порядка, см. с~\pageref{colimitinRMod}).
\end{proof}
\item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
@@ -577,7 +581,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{proof}
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 2: плоские конечно представимые модули}
-Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль несколько фактов:
+Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль (определение~\ref{def_injmodule}) и несколько фактов:
\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]\label{page_projinjdef}
$R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{rr}{\Hom_R(X,\pi)}&&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
@@ -599,15 +603,32 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker_{d_{i-2}}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker_{d_{i-2}}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.{\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
\end{fact} %\vspace*{1em}
-На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу 3), но он не проективен.\todo{(почему???)}
+На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу~\ref{Pract1Prob3}), но он не проективен.\todo{почему}
-Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$.
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$.\todo{правое или левое}
\begin{enumerate}
- \item Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$).
- \item Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность.
- \item Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
+ \item\label{Pract2Prob1} Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$).
+ \begin{proof}\let\qed\relax$ $
+ \begin{itemize}
+ \item[$\Rightarrow$] Если $A=0$, то из $A$ есть единственный нулевой морфизм в $\Q/\Z$.
+ \item[$\Leftarrow$] Если $x\in A$, то по определению инъективности для любого $f\colon\langle x\rangle\to\Q/\Z$ (выберем ненулевое, например, см. с.~\pageref{submoduleinjection_QZ}) и вложения $\langle x\rangle\hookrightarrow A$ существует $A\to\Q/\Z$, пропускающее $f$. Но единственное отображение $A\to\Q/\Z$~-- это $0$. Противоречие.
+ \end{itemize}
+ \end{proof}
+ \item\label{Pract2Prob2} Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность.
+ \begin{proof}\let\qed\relax
+ Последовательность точная, значит, $H_i=0$ во всех членах. Применение звездочки применяет ее и к ядрам, коядрам и гомологиям, поэтому $H_i^*=0$ по задаче~\ref{Pract2Prob1}.
+ \end{proof}
+ \item\label{Pract2Prob3} Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль\index{Конечно представимый модуль}~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
\item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
+ \begin{proof}\let\qed\relax
+ $M$~-- плоский конечно представимый. Проверим, что $\Hom(M,-)$ точный справа (тогда $M$ будет проективным). Пусть $X\twoheadrightarrow Y$~-- эпиморфизм. Тогда $Y^*\hookrightarrow X^*$~-- мономорфизм из задачи~\ref{Pract2Prob2}. Так как $M$ плоский, $Y^*\otimes_RM\hookrightarrow X^*\otimes_RM$ тоже мономорфизм. Применим к обоим модулям изоморфизм из задачи~\ref{Pract2Prob3}:
+ \[\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ Y^*\otimes_RM\ar[hook]{r}\ar{d}{\cong} & X^*\otimes_RM\ar{d}{\cong}\\
+ \Hom_R(M,Y)^*\ar[hook]{r} & \Hom_R(M,X)^*
+ \end{tikzcd}\]
+ Опять из задачи~\ref{Pract2Prob2} $\Hom_R(M,X)\twoheadrightarrow\Hom_R(M,Y)$ эпиморфизм.
+ \end{proof}
\end{enumerate}
\section{Функтор $\Tor$}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{torfunctor}
\subsection{Его определение}
@@ -817,7 +838,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из малой (пока что не обязательно фильтрованной) категории. Вспомним, как устроены его копределы.
Для $a\in A_i$ обозначим $[\cdot]_i\colon A_i\to\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i$ вложение в копроизведение.\marginpar{\tiny ker ker ker coker ker ker ker coker ker~-- Леди Гага научилась применять лемму о змее}
-\[
+\[\label{colimitinRMod}
\bigoplus_{\phi\colon i\to j}A_i\overset{f}{\to}\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\coker f\text{, где для }\phi\colon i\to j\text{ и }a\in A_i\,f\colon a\mapsto [a]_i-[(A\phi)(a)]_j\text{.}
\]
$\coker f$ и будет копределом $A$.
@@ -972,10 +993,10 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
$X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}\to R\mathrm{\mdash Mod}$~ функтор из фильтрованной категории, такой, что $\{A_i\}_{i\in\Ob\mathcal{I}}$~-- плоские модули.
Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~-- мономорфизм $\forall i\in\Ob\mathcal{I}$.
- Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow\colim(Y\otimes_R A_i)$~-- мономорфизм. $X\otimes_R\colim(A)\cong\colim(X\otimes_R A_i)$\marginpar{\tinyвроде это не очень очевидно, но на лекциях я доказательства не помню} для любого $X$, поэтому $X\otimes_R\colim(A)\hookrightarrow Y\otimes_R\colim(A)$~-- мономорфизм, поэтому $\colim(A)$ плоский.
+ Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow\colim(Y\otimes_R A_i)$~-- мономорфизм. $X\otimes_R\colim(A)\cong\colim(X\otimes_R A_i)$\todo{почему}\marginpar{\tinyвроде это не очень очевидно, но на лекциях я доказательства не помню} для любого $X$, поэтому $X\otimes_R\colim(A)\hookrightarrow Y\otimes_R\colim(A)$~-- мономорфизм, поэтому $\colim(A)$ плоский.
\end{proof}
\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
- $\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A,B)$.
+ $\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
\end{corollary*}
\section{Функтор $\Ext$}
\subsection{Инъективные модули}
@@ -1025,7 +1046,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{tikzcd}
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
- \marginpar{\tinyпоэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут потому что это покушение на аксиоматический строй ррооороо рерррации с целью неконструктивного переворота}В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
+ \marginpar{\tinyпоэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут потому что это покушение на аксиоматический строй гомолобической рерррации с целью неконструктивного переворота}В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b\in Y\smallsetminus X'$. Рассмотрим $J=\{r\in R\,|\,br\in X'\}$~-- правый идеал $R$. Определим $J\overset{\phi'}{\to}M\colon r\mapsto f'(br)$. Из условия теоремы существует $\phi\colon R\to M$, что $\phi|_{J}=\phi'$. Но тогда рассмотрим $X''=X'+bR$ и $f''\colon X''\to M$, который определен так: $f''(a+br)=f'(a)+\phi(r)$.
@@ -1113,7 +1134,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\]
Пусть $M$~-- левый $R$-модуль, $0\ne x\in M$. Тогда существует $f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, что $f(x)\ne0$. Рассмотрим такую диаграмму (из инъективности $\Q/\Z$):
\[
-\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]\label{submoduleinjection_QZ}
\langle x\rangle_\Z\ar{rr}{\gamma}\ar[hook]{rd} & & \Q/\Z \\
& M\ar[swap]{ru}{\exists\gamma'}
\end{tikzcd}
@@ -1143,7 +1164,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного справа функтора. Аналогично доказывается лемма о змее, лемма о подкове и теорема о длинной точной последовательности: из $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ получается последовательность
\[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)\to R_2F(X)\to\cdots\]
\subsection{$\Ext$}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{$\Ext$}
$\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
\end{Def}
Аналогично $\Tor$ можно доказать, что $\Ext_R^n(X,Y)\cong(R_n\Hom(X,-))(Y)$. Но мы не будем этого делать, а получим это как следствие из хорошего свойства $\Ext$.
@@ -1265,5 +1286,88 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
\begin{fact}
Все расширения $X$ с помощью $Y$ расщепляются$\iff\Ext^1_R(X,Y)=0$.
\end{fact}
+\section{(Ко)гомологии групп}
+\subsection{Определение и интерпретации в малых степенях}
+Везде $G$~-- группа.
+\begin{Def}\index{$G$-модуль}\index{Тривиальный $G$-модуль}
+ {\bfseries\itshape $G$-модулем} называется абелева группа, на которую $G$ действует аддитивно. В этом случае эта группа также будет $\Z G$-модулем.
+
+ $\Z G$-модуль $A$ называется {\bfseries\itshape тривиальным}, если $ga=a\,\forall g\in G,\,a\in A$.
+
+ Далее тривиальный $G$-модуль везде будет обозначаться $\Z$.
+\end{Def}
+\begin{Def}\index{Гомологии групп}\index{Когомологии групп}
+ $A$~-- $G$-модуль. {\bfseries\itshape$n$-е гомологии $G$ c коэффициентами в $A$}~-- это $H_n(G,A)\defeq\Tor_n^{\Z G}(\Z,A)$. {\bfseries\itshape$n$-е когомологии $G$ c коэффициентами в $A$}~-- это $H^n(G,A)\defeq\Ext^n_{\Z G}(\Z,A)$.
+\end{Def}
+\begin{Def}\index{Аугментационный идеал}
+ Обозначим $\mathfrak{J}$ ядро отображения $\Z G\to\Z\colon g\mapsto 1$. Это идеал и свободная абелева группа, порожденная множеством $\{g-1\,|\,g\in G\smallsetminus\{1\}\}$. Этот идеал называется {\bfseries\itshape аугментационным идеалом}.
+\end{Def}
+Первые примеры:
+\[H_0(G,A)=\Tor_0^{\Z G}(\Z,A)=\Z\otimes_{\Z G}A\]
+Так как $\Z\cong\Z G/\mathfrak{J}$, $\Z\otimes_{\Z G}A\cong\Z G/\mathfrak{J}\otimes_{\Z G}A\cong A/\mathfrak{J}A$.
+\[A/\mathfrak{J}A=\frac{A}{\langle ga-a\,|\,g\in G,a\in A\rangle}\defeq A_G\]
+\begin{Def}\index{Коинварианты $G$-модуля}
+ Модуль $A_G$ называется {\bfseries\itshape коинвариантами} $A$. Это наибольший фактор, который является тривиальным $G$-модулем.
+\end{Def}
+В частности (так как $\Z$~-- тривиальный модуль, так что $\mathfrak{J}\Z=0$) $H_0(G,\Z)=\Z,H_0(G,\Z G)=\Z$.
+
+Пример когомологий:
+\[H^0(G,A)=\Hom_{\Z G}(\Z,A)=\{a\in A\,|\,ga=a\forall g\in G\}\defeq A^G\text{,}\]
+так как $\Z$~-- тривиальный модуль, его порождающий может отправляться в элемент, неподвижный под действием всех элементов $G$. Ну и частный случай: $H^0(G,\Z)=\Z$.
+\begin{Def}\index{Элемент нормы}
+ В конечной группе $G$ {\bfseries\itshape элементом нормы} называется \[N=\sum_{g\in G}g\text{.}\]
+\end{Def}
+\begin{lemma}
+ \[(\Z G)^G=\begin{cases}
+ N\Z\text{\normalfont,}&|G|<\infty\text{\normalfont;}\\
+ 0\text{\normalfont,}&|G|=\infty\text{\normalfont.}
+ \end{cases}\]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ \[x=\sum a_gg\in(\Z G)^G\]
+ \[hx=\sum a_ghg=\sum a_{h^{-1}g}g=x\Rightarrow a_{h^{-1}g}=a_g\Rightarrow a_g=a\forall g\in G\]
+ \[x=\sum ag=aN\qedhere\]
+\end{proof}
+\begin{corollary*}
+ \[H^0(G,\Z G)\cong\begin{cases}
+ \Z\text{\normalfont,}&|G|<\infty\text{\normalfont;}\\
+ 0\text{\normalfont,}&|G|=\infty\text{\normalfont.}
+ \end{cases}\]
+\end{corollary*}
+\subsection{Bar resolution}
+По умолчанию обозначаем $A\otimes B=A\otimes_\Z B$.
+\begin{Def}\index{Bar resolution}
+ Bar-резольвента~-- это комплекс\[
+ \cdots\to\Barr_2\to\Barr_1\to\Barr_0\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\Z
+ \]
+ где $\Barr_n\defeq (\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G$\marginpar{\tiny$(\Z G)^{\otimes n}$~- тензорное произведение тоже над $\Z$}. Это свободный $\Z G$-модуль с базисом \[\{g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1\,|\,(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\}\text{\normalsize.}\]
+ Элемент базиса $g_1\otimes g_2\otimes\cdots\otimes g_n\otimes 1$ будем обозначать $[g_1,g_2,\ldots,g_n]$.
+
+ Определим дифференциал $d_n\colon\Barr_{n+1}\to\Barr_{n}$ на базисе так:
+ \[\hspace*{-4.8em}
+ d_n([g_1,g_2,\ldots,g_{n+1}])=[g_2,\ldots,g_{n+1}]+\sum_{i=1}^n(-1)^i[g_1,\ldots,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\ldots,g_{n+1}]+(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}
+ \]
+\end{Def}
+\begin{thm}
+ $(\Barr_*,d_*)$~-- проективная резольвента $\Z$.
+\end{thm}
+\begin{proof} Модули $\Barr_n$~-- свободные $\Z G$-модули. Нужно проверить, что $(\Barr_*,d_*)$~-- точный комплекс.
+ \begin{enumerate}
+ \item $d_{n-1}d_n=0$~-- почти понятно: слагаемые в сумме обнуляются (так же как для дифференциалов в топологии), осталось дописать про первое и последнее слагаемое.
+ \item ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то есть построим отображения $s_{-1}\colon\Z\to\Barr_0$, $s_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}$, что $\pi s_{-1}=\id_\Z$, $s_{n-1}d_{n-1}+d_{n}s_{n}=\id_{\Barr_n}$. Тогда цепное отображение $\id_{\Barr_*}$ гомотопно $0$, а значит все гомологии нулевые.\marginpar{\tinyвспомните утв.~\ref{stmt_homequivisqis}}
+
+ Определим $s_{-1}\colon1\mapsto[\;]$, $s_n\colon [g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}\mapsto(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n,g_{n+1}]$.
+ \[(s_{-1}\pi+d_0s_0)([\;]g)=[\;]-d_0([g])=[\;]-([\;]-[\;]g)=[\;]g\]
+ Аналогично проверяется в общем случае.\qedhere
+ \end{enumerate}
+\end{proof}
+$\ldots$
+\begin{thm}
+ $H_1(G,\Z)=(G)_{\ab}$.
+\end{thm}
+$\ldots$
+\begin{thm}
+ $H^1(G,A)=\frac{\Der(G,A)}{\PDer(G,A)}$
+\end{thm}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
