Lecture notes in homological algebra (in russian).
git clone https://tilde.club/~simplicialcomplex/git/homalg_lecnotes.git
Log | Files | Refs

commit 6c4f204f85596a7efd9b01e7603b219c86f9bf93
parent b5ece52d0a07f2d298924171b7ce436f43d8f14c
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date:   Sat, 18 Sep 2021 20:20:41 +0300

added indices; lecture 2

Diffstat:
Mnotes.pdf | 0
Mnotes.tex | 368+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----------
2 files changed, 322 insertions(+), 46 deletions(-)

diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf Binary files differ. diff --git a/notes.tex b/notes.tex @@ -3,16 +3,30 @@ \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools} +\usepackage[table]{xcolor} \usepackage{tikz-cd} \usepackage{comment} -\usepackage{multicol} -\usepackage{enumitem} +\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref} %better columns, better enumerations, better hyperrefs +\usepackage{makeidx} % indices +%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry} +\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry} -\definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39} -\usepackage[left=1.25cm,right=1.25cm, -top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry} +%for margin notes +\reversemarginpar + +\definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39} +\definecolor{cadmiumgreen}{rgb}{0.0, 0.42, 0.24} +\definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6} +\definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75} +\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0} +\hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes + colorlinks, + linkcolor={cadmiumgreen}, + urlcolor={pigmentblue} +} +% reverse column, to typeset adjoint functors or bijections like "f: F<=>G :g" \newcommand*\cocolon{% \nobreak \mskip6mu plus1mu @@ -23,65 +37,80 @@ top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry} \mskip2mu \relax } +\mathchardef\mdash="2D +\DeclareMathOperator{\op}{op} + +\DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \newcommand\Z{\mathbb{Z}} +\newcommand\Q{\mathbb{Q}} +\newcommand\N{\mathbb{N}} + \setcounter{section}{-1} \newtheorem{Def}{Определение} \newtheorem{stmt}{Утверждение} +\newtheorem{thm}{Теорема} +\newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{exc}{Упражнение} +%1-time use +\newtheorem*{fivelemma}{5-лемма} + +\usepackage{epigraph} + \begin{document} -\section*{Введение} +\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение} +%\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому -3 от 6 не отличаем.}{Безумно можно быть первым} Зачем нужна гомологическая алгебра: \begin{enumerate} \item Работа с "препятствиями": \begin{enumerate} \item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A\otimes_{\Z}C\hookrightarrow B\otimes_{\Z}C$? Оказывается, что за ``немономорфность'' отвечает $\Tor_\Z(B/A,C)$. Если он равен $0$, то есть мономорфизм. - \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечнопорожденные). Если $R$ "достаточно хорошее", то выполнена теорема Жордана-Гельдера: существует + \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечнопорожденные). Если $R$ ``достаточно хорошее'', то выполнена теорема Жордана-Гёльдера: существует $$M=M_0\ge M_1\ge\ldots\ge M_n=\{0\}$$ где $M_i/M_{i+1}$ простые. Значит, нужно описать простые модули и как из них составляются непростые. (можно доказать, что) есть короткая точная последовательность $$S\hookrightarrow M\twoheadrightarrow T$$ - где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличается'' от $S\oplus T$ отвечает $\Ext_R(T,S)$. Если он равен 0, то $M\cong S\oplus T$. Иначе может быть, что $M\not\cong S\oplus T$. + где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличается'' от $S\oplus T$, отвечает $\Ext_R(T,S)$. Если он равен 0, то $M\cong S\oplus T$. Иначе может быть, что $M\not\cong S\oplus T$. \end{enumerate} \item Поиск инвариантов. \begin{enumerate} \item В топологии (ну понятно) - \item В алгебре: Алгебры сложно классифицировать с точностью до изоморфизма. Но можно брать производные категории (?) и классифицировать с точностью до их эквивалентности. Если эквивалентны, то изоморфны их (ко)гомологии Хохшильда(??) + \item В алгебре: алгебры сложно классифицировать с точностью до изоморфизма. Но можно брать производные категории (?) и классифицировать с точностью до их эквивалентности. Если эквивалентны, то изоморфны их (ко)гомологии Хохшильда(??) \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Основные определения} \subsection{Компл\'{е}ксы} -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Комплекс} Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны) последовательность модулей $X_i$ $(i\in\Z)$ с гомоморфизмами $d_i\colon X_{i+1}\to X_i$, что $d_{i}\circ d_{i+1}=0\,\forall i\in\Z$. $$ \cdots\to X_3\overset{d_2}{\to}X_2\overset{d_1}{\to}X_1\overset{d_0}{\to}X_0\overset{d_{-1}}{\to}X_{-1}\overset{d_{-2}}{\to}X_{-2}\to\cdots $$ \end{Def} Немного переформулируем определение: -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Градуированный модуль} Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus_{i\in\Z}X_i$. - Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$. + Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z\; f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$. \end{Def} -\begin{Def} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def} +\begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def} \begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный модуль с дифференциалом степени (в нашем случае) $-1$.\end{Def} -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Гомологии} $(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\overset{\text{def}}{=}Z_n/B_n$. \end{Def} Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigoplus_{i\in\Z}H_i(X)$. -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс} $X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим комплекс $X[n]_i=X_{i+n}$ с дифференциалом $d[n]_i=(-1)^n d_{i+n}$. \end{Def} -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Цикличный комплекс}\index{Точный комплекс} Комплекс $X$ называется цикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''. \end{Def} -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Цепное отображение} $(X,d^X)$, $(Y,d^Y)$~-- комплексы. Гомоморфизм $f\colon X\to Y$~-- гомоморфизм комплексов(иногда говорят ``цепное отображение''), если $|f|=0$ и $fd^X=d^Yf$. \end{Def} \begin{stmt} @@ -89,39 +118,39 @@ top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry} \end{stmt} \begin{proof} \begin{multicols}{2} - Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setlength\parskip{-5pt},leftmargin=0.5cm,itemindent=.4cm,labelwidth=\itemindent,labelsep=0cm,align=left] + Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setlength\parskip{-5pt},leftmargin=0.5cm,itemindent=.4cm,labelwidth=\itemindent,labelsep=0cm,align=left] \itemsep0em \item $x\in\ker d_{n-1}^X\Rightarrow 0=f_{n-1}d_{n-1}^X(x)=d_{n-1}^Yf_{n}(x)\Rightarrow f_{n}(\ker d_{n-1}^X)\subseteq\ker d_{n-1}^Y$ \item $f_n(\im d_n^X)=f_nd_n^X(X_{n+1})=d_n^Yf_{n+1}(X_{n+1})\subseteq\im d_n^Y$ - \item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно. + \item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно.\qedhere \end{enumerate} - - \columnbreak - \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=small] - X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^x_{n-1}}&X_{n-1}\ar{ddd}{f_{n-1}}\\ - & \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[urr]\ar[hook]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\ - & \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[drr]\ar[two heads]{r} & H_nY\\ + \columnbreak\vspace*{\fill} + \noindent\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=small] + X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar[labels=description]{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^X_{n-1}}&X_{n-1}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n-1}}\\ + & \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[hook]{urr}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\ + & \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[hook]{drr}\ar[two heads]{r} & H_nY\\ Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \ar{r}{d^Y_{n-1}}&Y_{n-1} \end{tikzcd} + \vspace*{\fill} \end{multicols} + \end{proof} Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(\cdot)$ переводит композицию в композицию. И понятно, что переводит $\id$ в $\id$. Короче, $H_n(\cdot)$~-- функтор. -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Квазиизоморфизм} Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$. \end{Def} -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Гомотопия} $f,g\colon X\to Y$~-- морфизмы комплексов. {\bfseries Гомотопией} между $f$ и $g$ называется гомоморфизм $s\colon X\to Y$, $|s|=1$, что $f-g=sd^X+d^Ys$. Обозначают $f\sim g$. \[\begin{tikzcd}[sep=normal] - \cdots\ar{r}\ar{dd} & X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[sloped]{f_{i+1}-g_{i+1}} & X_i\ar{r}{d^X_{i-1}}\ar{dd}[sloped]{f_{i}-g_{i}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i+1}} & X_{i-1}\ar{r}\ar{dd}[sloped]{f_{i-1}-g_{i-1}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i}} & \cdots\ar[sloped]{ldd}{s_{i-1}}\\ + \cdots\ar{r}\ar{dd} & X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[sloped]{f_{i+1}-g_{i+1}}\ar{ddl} & X_i\ar{r}{d^X_{i-1}}\ar{dd}[sloped]{f_{i}-g_{i}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i+1}} & X_{i-1}\ar{r}\ar{dd}[sloped]{f_{i-1}-g_{i-1}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i}} & \cdots\ar[sloped]{ldd}{s_{i-1}}\ar{dd}\\ & & & & \\ \cdots\ar{r} & Y_{i+1}\ar{r}{d^Y_{i}} & Y_i\ar{r}{d^Y_{i-1}} & Y_{i-1}\ar{r} & \cdots\\ \end{tikzcd}\] \end{Def} -\begin{Def} - %Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если\\ $\exists f\colon\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]X\ar[r,shift left=0.45ex]& \ar[l,shift right=-0.45ex]Y\end{tikzcd}$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями. - Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если\\ $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями. +\begin{Def}\index{Гомотопическая эквивалентность} + Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями. \end{Def} \begin{stmt} Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм. @@ -129,10 +158,10 @@ Cтрелка по построению получается единствен \begin{proof} Даны $f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. Покажем, что $H_ng\circ H_nf=\id_{H_nX}=H_n(g\circ f)$ (в обратную сторону точно так же). Для этого покажем, что если $f\colon X\to X$~-- морфизм и $f\sim\id_X$, то $H_nf=\id_{H_nX}$. И правда, $H_nf=H_n\id_X\iff H_n(f-\id_X)=0$. Так как $f\sim\id_X$, то $\exists s\colon f-\id_X=sd+ds$. $H_n(sd+ds)\colon H_n(X)\to H_n(X)$. Часть $ds$ переводит в 0 в гомологиях, потому что образ~-- граница. Часть $sd$ переводит в 0 в гомологиях, потому что применяется к циклу. \end{proof} -\subsection{Проективные модули} -\begin{Def} +\section{Проективные модули} +\begin{Def}\index{Проективный модуль} Модуль $P$ называется {\bfseries проективным}, если \[ - \begin{tikzcd}[cramped] + \begin{tikzcd}[cramped,sep=large] P\ar[swap]{d}{\exists h} \ar{dr}{\forall f} & \\ A \ar[two heads]{r}{\forall g} & B % \ar{r} & 0 \end{tikzcd} @@ -140,24 +169,35 @@ Cтрелка по построению получается единствен \end{Def} Например, свободный модуль проективен. \begin{exc} - $P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$ $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис''). + $P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$(что то же самое, $T\cong P'\oplus h(P)$) $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис''). \end{exc} +\begin{proof}[Решение] Обозначим $F(P)$~-- свободный модуль, порожденный элементами $P$.Есть понятная сюрьекция $p\colon F(P)\twoheadrightarrow P$. + \begin{enumerate} + \item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективности такая конструкция работать не будет. Например, у $\Z$-модулей $\Z/n\Z$ вообще нет ненулевых гомоморфизмов в $\Z^n$.} Из проективности \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists i}\\F(P)\ar[two heads,swap]{r}{p}&P\end{tikzcd}. $pi=\id$, то есть $P$~-- прямое слагаемое $F(P)$. + \item[$2\Rightarrow1$] Подходит $F(P)$. Вспомним, что он проективен. + \begin{tikzcd}[cramped,sep=small] + & F(P)\ar[sloped,labels=description]{dl}{\exists h}\ar[near start,sloped,labels=description]{dr}{f\circ p}\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{rr}{p} & &\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{ll}{i}P\ar[sloped,labels=description,swap]{dl}{f}\ar[near end,dotted,sloped,labels=description]{llld}{h\circ i}\\ + T\ar[two heads]{rr} & & M & + \end{tikzcd} + \item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=F(P)$. + \end{enumerate} +\end{proof} \begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Для любого модуля $M$ существует проективный модуль $P$ и $P\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} M$.\end{stmt} -\begin{Def} +\begin{Def}\index{Проективная резольвента}\index{Резольвента} Пусть $M$~-- модуль. Его можно интерпретировать как комплекс $$\cdots\to M_2=\{0\}\to M_1=\{0\}\to M_0=M\to M_{-1}=\{0\}\to\cdots$$ Комплекс $P$, где все $P_i$ проективные, с морфизмом комплексов $\varepsilon\colon P\to M$ называется {\bfseries проективной резольвентой}, если $P_i=0\forall i<0$ и $\varepsilon$~-- квазиизоморфизм. Другими словами (и картинкой) \[ - \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal] + \begin{tikzcd}[cramped,sep=large] \cdots\ar{r}{d_2}& P_2\ar{r}{d_1}& P_1\ar{r}{d_0}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}& P_0\ar{r}\ar{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\ \cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \end{tikzcd} \] А из квазиизоморфности $H_iP=0,i\ne 0\iff \ker d_{i-1}=\im d_{i}, i\ne 0$. $P/\im d_0\cong M\Rightarrow\varepsilon$~-- эпиморфизм. \[ - \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal] + \begin{tikzcd}[cramped,sep=large] \cdots\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_2P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_1P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_0P\ar{r}\ar[two heads]{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\ \cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& H_0M=M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \end{tikzcd} @@ -168,18 +208,18 @@ Cтрелка по построению получается единствен \end{stmt} \begin{proof} \begin{multicols}{2} - По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, существует $P_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}M$. Рассмотрим теперь $M_{0}=\ker\varepsilon$. По индукции $M_i=\ker d_{i-1},i>0$. утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, над $M_i$ существует проективный модуль $P_{i+1}\overset{\varepsilon_1}{\twoheadrightarrow}M_i$. Как $d_i$ возьмем композицию $P_{i+1}\twoheadrightarrow M_i\hookrightarrow P_{i}$. По построению это проективная резольвента. + По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, существует $P_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}M$. Рассмотрим теперь $M_{0}=\ker\varepsilon$. По индукции $M_i=\ker d_{i-1},i>0$. утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, над $M_i$ существует проективный модуль $P_{i+1}\overset{\varepsilon_1}{\twoheadrightarrow}M_i$. Как $d_i$ возьмем композицию $P_{i+1}\twoheadrightarrow M_i\hookrightarrow P_{i}$. По построению это проективная резольвента.\qedhere - \columnbreak + \columnbreak\vspace*{\fill} \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny] & & & \ker d_0\ar[hook]{dr}{\iota_1} & & & & & \\ \cdots\ar{rr}{d_2}\ar[two heads]{rd} & & P_2\ar{rr}{d_1=\iota_1\varepsilon_2}\ar[two heads]{ur}{\varepsilon_2} & & P_1\ar{rr}{d_0=\iota_0\varepsilon_1}\ar[swap,two heads]{dr}{\varepsilon_1} & & P_0\ar[two heads]{rr}{\varepsilon} & & M \\ & \ker d_1\ar[hook]{ur}& & & & \ker\varepsilon\ar[swap,hook]{ur}{\iota_0} \end{tikzcd} + \vspace*{\fill} \end{multicols} \end{proof} -\setlength{\multicolsep}{\parskip} -\begin{stmt} +\begin{stmt}\label{projresolutionequivce} Пусть $P\overset{\varepsilon}{\to}M$ и $Q\overset{\tau}{\to}M$~-- проективные резольвенты $M$. Тогда $\exists f\colon P\rightleftarrows Q\cocolon g$~-- взаимообратные гомотопические эквивалентности, что $\tau f=\varepsilon$ и $\varepsilon g=\tau$. \end{stmt} \begin{proof} @@ -190,25 +230,28 @@ Cтрелка по построению получается единствен (ну итд, $d_0'f_1d_1=f_0d_0d_1=0\Rightarrow \im f_1d_1\subseteq\ker d_0'\Rightarrow\exists P_2\to\ker d_0'\Rightarrow\exists f_2\colon P_2\to Q_2$) - \columnbreak + \columnbreak\vspace*{\fill} \noindent\begin{center} - \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal] + \begin{tikzcd}[cramped,sep=small] P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{\exists f_2}\ar{rd} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar{rd}\ar{dd}{\exists f_1} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar{dd}{\exists f_0} & \\ & \ker d_0'\ar[hook]{rd} & &\ker\tau\ar[hook]{rd} & & M \\ Q_2\ar{rr}{d_1'}\ar[two heads]{ur}& & Q_1\ar{rr}{d_0'}\ar[two heads]{ur} & & Q_0\ar[two heads]{ru}{\tau} & \end{tikzcd} \end{center} Аналогично строится $g_i$, что $\varepsilon g=\tau$. + \vspace*{\fill} \end{multicols} + \let\mcsepold\multicolsep + \setlength{\multicolsep}{\parskip} \begin{multicols}{2} Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалентности. Для этого нужно доказать, что $\exists s\colon P\to P$, что $gf-\id_P=sd+ds$ (в другую сторону точно так же). Обозначим $gf\overset{\text{def}}{=}h$. Заметим, что $\varepsilon h=\varepsilon gf=\tau f=\varepsilon$, поэтому $\varepsilon(h_0-\id_{P_0})=0$. Поэтому $\im(h_0-\id_{P_0})\subseteq\ker\varepsilon\colon P_1\to\ker\varepsilon$. Из проективности $P_0$ существует $s_1\colon P_0\to P_1$. Из коммутативности всех треугольников получается $h_0-\id_{P_0}=d_0s_1$ (все $P_i=0,i<0$, так что $s_0d_{-1}=0$). \columnbreak - + \vspace*{\fill} \noindent\begin{center} - \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal] + \begin{tikzcd}[cramped,column sep=small, row sep=normal] P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[shift left=0.5em,sloped]{dd}{h_1-\id_{P_1}}\ar[color=coolblack, sloped,swap,shift right=0.25em]{dd}{h_1-\id_{P_1}-s_1d_0}\ar[color=coolblack]{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_2} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar[sloped]{dd}{h_0-\id_{P_0}}\ar{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_1} & \\ & & & & & M \\ P_2\ar{rr}{d_1}\ar[two heads]{rd}& & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[two heads]{rd} & & @@ -216,7 +259,240 @@ Cтрелка по построению получается единствен & \ker d_0\ar[color=coolblack,hook]{ur}& & \ker\varepsilon\ar[hook]{ur} & & \end{tikzcd} \end{center} + \vspace*{\fill} \end{multicols} Далее нужно найти $s_2\colon P_1\to P_2$, что $h_1-\id_{P_1}=s_1d_0+d_1s_2$. Заметим, что $d_0(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)=d_0h_1-d_0-d_0s_1d_0=h_0d_0-d_0-(h_0-\id_{P_0})d_0=0$ (первое слагаемое из того, что $h$~-- это морфизм комплексов). Аналогично случаю для $\varepsilon$ $\im(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)\subseteq\ker d_0$. Поэтому есть стрелка $P_1\to\ker d_0$, поэтому из проективности $P_1$ существует $s_2\colon P_1\to P_2$. Далее аналогично. + \setlength{\multicolsep}{\mcsepold} +\end{proof} +\section{Практика 1} +{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.} + +\section{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября} +\begin{Def}\index{Точный слева функтор}\index{Точный справа функтор}\index{Точный функтор} + $\mathcal{A},\mathcal{B}$~-- абелевы категории (например, категории модулей). Аддитивный ковариантный функтор $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ в $\mathcal{A}$ последовательность $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ в $\mathcal{B}$ точная справа (соотв. точная слева, точная). + + Контравариантный функтор называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если соответствующий ковариантный функтор $\mathcal{A}^{\op}\to\mathcal{B}$ точный справа (соотв. точный слева, точный). +\end{Def} +\begin{stmt}[обобщение утверждения~\ref{projresolutionequivce}]\label{resolmorphism} $f\colon M\to N$~-- морфизм. + $P\overset{\varepsilon}{\to} M$ и $Q\overset{\tau}{\to} N$~-- проективные резольвенты. Тогда существует единственный с точностью до гомотопической эквивалентности морфизм комплексов $f_*\colon P\to Q$, что $\tau f_0=f\varepsilon$. +\end{stmt} +Доказывается собственно точно так же. +\begin{Def} + $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (ковариантный аддитивный) точный справа функтор. Определим $i$-й производный функтор $(L_iF)(\cdot)$ так: пусть $M\in\mathrm{Mod\mdash}R$, $P_*\to M$~-- проективная резольвента. Тогда $(L_iF)(M)\overset{\text{def}}{=}H_i(F(P_*))$. + + Так как проективные резольвенты эквивалентны\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$F(P_*)$~-- комплекс, потому что $F(d_i)F(d_{i+1})=F(d_id_{i+1})=F(0)=0$ (так что $\im Fd_{i+1}\subseteq\ker Fd_i$).\end{flushleft}} с точностью до гомотопической эквивалентности, а они квазиизоморфизмы, определение корректно (с точностью до изоморфизма). + + $f\colon M\to N$~-- гомоморфизм. $P_*\to M$ и $Q_*\to N$~-- проективные резольвенты. По утверждению~\ref{resolmorphism} существует $f_*\colon P_*\to Q_*$, а поэтому существует $Ff_*\colon FP_*\to FQ_*$, поэтому определено $(L_iF)f=H_iFf_*\colon (L_iF)(M)\to (L_iF)(N)$. По утверждению~\ref{resolmorphism} $f_*$ для разных резольвент гомотопически эквивалентны, из аддитивности $F$ их $F$-образы тоже, поэтому $(L_iF)f$ не зависит от выбора $f_*$. +\end{Def} +Точность справа здесь (пока что) нигде не используется. Но из нее можно сказать, что (так как $F(P_1)\to F(P_0)\twoheadrightarrow F(M)$) $(L_0F)(M)=F(M)$ для любого $M$. + +Левые производные функторы можно определить не только для функторов между категориями модулей, но и между любыми абелевыми категориями $\mathcal{A}\to\mathcal{B}$, если в $\mathcal{A}$ \textit{достаточно проективных объектов(enough projectives)} (то есть если $\forall A\in\mathcal{A}$ существует проективный $P\in\mathcal{A}$ и $P\twoheadrightarrow A$ (утверждение~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules} как раз об этом)). +\begin{thm}[о длинной точной последовательности]\label{LESforleftderivedfunctors} + $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$~-- короткая точная последовательность в $\mathrm{Mod\mdash}R$. Тогда существует длинная точная последовательность + \[ + \cdots\to(L_2F)Z\overset{\partial}{\to}(L_1F)X\to(L_1F)Y\to (L_1F)Z\overset{\partial}{\to} FX\to FY\twoheadrightarrow FZ + \] + $\partial$ называется \textbf{связующим гомоморфизмом}. + + Более того, если есть морфизм коротких точных последовательностей + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize] + X\ar[hook]{r}\ar[]{d} & Y\ar[two heads]{r}\ar[]{d} & Z\ar[]{d} \\ + X'\ar[hook]{r} & Y'\ar[two heads]{r} & Z' + \end{tikzcd} + \] + то в длинных точных последовательностях все квадраты коммутируют + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=small] + \cdots\ar{r}\ar{d} & (L_2F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & (L_1F)X\ar{r}\ar{d} & (L_1F)Y\ar{r}\ar{d} & (L_1F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & FX\ar{r}\ar{d} & FY\ar[two heads]{r}\ar{d} & FZ\ar{d} \\ + \cdots\ar{r} & (L_2F)Z'\ar{r}{\partial'} & (L_1F)X'\ar{r} & (L_1F)Y'\ar{r} & (L_1F)Z'\ar{r}{\partial'} & FX'\ar{r} & FY'\ar[two heads]{r} & FZ' + \end{tikzcd} + \] +\end{thm} +Для доказательства понадобится несколько (в целом очень важных) лемм. +\begin{lemma}[о змее]\index{Лемма о змее}\label{snakelemma} Пусть такая диаграмма коммутативна + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize] + A\ar{r}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar{d}{g}& C\ar{d}{h}\\ + X\ar[hook]{r}{i} & Y\ar[r] & Z + \end{tikzcd} + \] + Верхняя строчка точна в $B$ и $C$, нижняя строчка точна в $X$ и $Y$. + + Тогда $\exists \partial\colon\ker h\to\coker f$, что последовательность + \[ + \ker f\to\ker g\to\ker h\overset{\partial}{\to}\coker f\to\coker g\to\coker h + \] + точна. Более того, если $A\to B$ мономорфизм, то последовательность точна в $\ker f$. А если $Y\to Z$ эпиморфизм, то последовательность точна в $\coker h$. $\partial$ определяется так: $\ker h\ni c\mapsto i^{-1}gp^{-1}(c)\in\coker f$. +\end{lemma} +Техника в доказательстве этой леммы называется ``diagram chasing''. Смысл в том, что мы берем элемент из начала и прогоняем его по стрелкам в диаграмме до конца. Так и строится нужный гомоморфизм. +\let\mcsepold\multicolsep +\setlength{\multicolsep}{\parskip} +\begin{proof} + \begin{multicols}{2} + Берем $x\in\ker h\subseteq C$. + + $p$~-- сюрьекция, поэтому $\exists x'\in p^{-1}(x)$. $x''=g(x')$. + \[\beta(x'')=\beta g(x')=hp(x')=h(x)=0\] (т.к. $x\in\ker h$). Поэтому $\exists x'''\in i^{-1}(x'')$. + + Это отображение не зависит от выбора: $i$ мономорфизм, поэтому $x'''$ единственный. $p^{-1}(x)=x'+\ker p=x'+\im\alpha$ (из точности в $B$). + + \columnbreak + \noindent{\scriptsize(отождествим $\ker h$ с подмодулем в $C$ для простоты)} + \vspace*{\fill} + \noindent\begin{center} + \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize] + \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial} \\ + A \ar{r}{\alpha}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[name=G]{d}{g}& C\ar{d}{h}\\ + X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[two heads]{d} & Z\ar[two heads]{d}\\ + \coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h + \end{tikzcd} + \end{center} + %{\tiny\itshape я к сожалению не справился нарисовать эту диаграмму красиво} + \vspace*{\fill} + \end{multicols} + $i^{-1}g(x'+\im\alpha)=i^{-1}g(x')+i^{-1}\im if=i^{-1}g(x')+\im f$ ($i$~-- инъекция). Поэтому результат лежит в одном классе в $\coker f$. + + Получающаяся последовательность действительно точна: TODO. + + Это действительно гомоморфизм (по формуле). + + Если $A\rightarrow B$~-- мономорфизм, то и $\ker f\to\ker g$~-- мономорфизм. Если $Y\rightarrow Z$~-- эпиморфизм, то и $\coker g\to\coker h$~-- эпиморфизм. + \setlength{\multicolsep}{\mcsepold} + + На самом деле построенное отображение $\partial$ функторинально в таком смысле: если есть морфизм диаграмм (диаграмм из условия), то квадрат с получающимися морфизмами $\partial$ и $\partial'$ коммутирует: + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=small] + \ker h\ar{d}\ar{r}{\partial} & \coker f\ar{d}\\ + \ker h'\ar{r}{\partial'}& \coker f' + \end{tikzcd} + \] +\end{proof} +\begin{fivelemma}[\hypertarget{fivelemma}{которой не было на лекции}]\index{5-лемма} + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize] + A\ar{d}{a}\ar{r} & B\ar{d}{b}\ar{r} & C\ar{d}{c}\ar{r} & D\ar{d}{d}\ar{r} & E\ar{d}{e} \\ + A'\ar{r} & B'\ar{r} & C'\ar{r} & D'\ar{r} & E' \\ + \end{tikzcd} + \] + Если такая диаграмма с точными строками коммутативна, то + \begin{itemize}\setlength\itemsep{0.0em} + \item если $b,d$~-- мономорфизмы и $a$~-- эпиморфизм, то $c$~-- мономорфизм. + \item если $b,d$~-- эпиморфизмы и $e$~-- мономорфизм, то $c$~-- эпиморфизм. + \item (если $a,b,d,e$~-- изоморфизмы, то $c$~-- изоморфзим). + \end{itemize} +\end{fivelemma} +\begin{lemma}[\hypertarget{horseshoe}{о подкове}]\label{horseshoelemma}\index{Лемма о подкове} + В диаграмме c проективными $P,Q$ и точной нижней (ну и верхней, понятно, тоже) строкой + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=small] + P\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r} & P\oplus Q\ar[two heads]{r} & Q\ar[two heads]{d}\\ + X\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r} & Z + \end{tikzcd} + \] + существует $P\oplus Q\twoheadrightarrow Y$, что все квадраты коммутируют. +\end{lemma} +\begin{proof} + Определим $P\to Y$ просто как композицию. Из проективности $Q$ существует отображение $Q\to Y$. Из универсального свойства прямой суммы получается отображение $P\oplus Q\to Y$. Из \hyperlink{fivelemma}{5-леммы} получается, что это эпиморфизм. \end{proof} +\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}.] + Обозначим $K_X$ ядро понятного из контекста (надеюсь!) морфизма в $X$. Рассмотрим такую диаграмму(слева) и применим к ней функтор $F$(точный справа!): + \begin{multicols}{2} + \[ + \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize] + K_X\ar[hook]{d}\ar[hook]{r} & K_Y\ar[hook]{d}\ar[two heads]{r} &K_Z\ar[hook]{d} \\ + P\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P\oplus Q\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d}& Q\ar[two heads]{d}\\ + X\ar{d}\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r}& Z\\ + 0 & & + \end{tikzcd} + \] + \columnbreak + \[ + \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize] + K_{FK_X}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d} \\ + FK_X\ar{d}\ar{r} & FK_Y\ar{d}\ar[two heads]{r} &FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{d} \\ + FP\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & FP\oplus FQ\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d}& FQ\ar[two heads]{d}\\ + FX\ar{r} & FY\ar[two heads]{r}& FZ + \end{tikzcd} + \] + \end{multicols} + \let\mcsepold\multicolsep + \setlength{\multicolsep}{\parskip} + \begin{multicols}{2} + Так как $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ точно, по лемме о змее $K_Y\twoheadrightarrow K_Z$ будет эпиморфизмом, поэтому к диаграмме справа сверху можно применить лемму о змее. По ней существует стрелка $K_{FK_Z}\to FX$. Убедимся, что $K_{FK_Z}=(L_1F)Z$. + + $\cdots\to Q_2\to Q_1\to Q\twoheadrightarrow Z$~-- проективная резольвента $Z$. Напомню, что проективная резольвента точна, так что $K_Z=\ker(Q\twoheadrightarrow Z)=\coker(Q_1\to Q_0)$. $F$~-- точный справа, поэтому $FK_Z=\coker Fd_1$. + + Отображение $FK_Z\to FQ$ распадается в $FK_Z\twoheadrightarrow\im Fd_0\hookrightarrow FQ$, то есть $K_{FK_Z}\hookrightarrow FK_Z\twoheadrightarrow\im Fd_0$. По \hyperlink{homologyincomplex}{удивительному факту о комплексах} на стр. \pageref{page_homologyincomplex}, получается, что $K_{FK_Z}=H_1FQ_*=(L_1F)Z$. + \columnbreak + \[ + \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize] + & \vdots\ar{d}\\ + \im Fd_1\ar[hook]{d} & \ar[two heads]{l}FQ_2\ar{dd}{Fd_1}\\ + \ker Fd_0\ar[hook]{dr}\ar[two heads]{d}{} & \\ + K_{FK_Z}\ar[hook]{d} & FQ_1\ar{dd}{Fd_0}\ar[two heads]{dl}\\ + FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{dr} & \\ + & FQ\ar[two heads]{d}\\ + & FZ + \end{tikzcd} + \] + \end{multicols} + Аналогично продолжаем для диаграммы + \[ + \begin{tikzcd}[cramped, sep=small] + K'_X\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}&K'_Y\ar[two heads]{r}\ar[hook]{d}&K'_Z\ar[hook]{d}\\ + P_1\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P_1\oplus Q_1\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d} & Q_1\ar[two heads]{d}\\ + K_X\ar[hook]{r}\ar{d}& K_Y\ar[two heads]{r}&K_Z\\ + 0 & & \\ + \end{tikzcd} + \] +\end{proof} +Из доказательства также получается, что если $Q_*\to Z$~-- проективная резольвента $Z$ и $K_Z=\ker(Q_0\twoheadrightarrow Z)$, то $(L_iF)K_Z=(L_{i+1}F)Z$. + +Если $G$~-- контравариантный точный слева функтор, то таким же образом строится $(R_nG)M=H_nGP_*$, если $P_*\to M$~-- проективная резольвента. + +Итак, пусть $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to \mathrm{Mod\mdash}S$. Тогда $L_iF$ удовлетворяют следующим свойствам: +\begin{enumerate} + \item \label{derfunct_prop_begin}$L_0F=F$ + \item \label{derfunct_prop_middle}Для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ строится длинная точная последовательность как в теореме~\ref{LESforleftderivedfunctors}. + \item \label{derfunct_prop_end} $(L_iF)P=0\,\forall n\ge 1$, если $P$ проективен (действительно $\cdots\to 0\to P\to 0\to\cdots$~-- проективная резольвента $P$). +\end{enumerate} +Оказывается, это работает как ``аксиоматическое'' определение производных функторов. +\begin{thm} + Если $T_n$ удовлетворяет свойствам (\ref{derfunct_prop_begin}-\ref{derfunct_prop_end}), то $T_n\cong L_nF$ для некоторого $F$. +\end{thm} +\begin{proof} + Для любого модуля $X$ найдется точная последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ с проективным $P$. + По пункту~\ref{derfunct_prop_end} для нее существует длинная точная последовательность + \[ + \cdots\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX + \] + По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Дальше аналогично. +\end{proof} +\section{Практика 2} +Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль и следующий +\paragraph*{\hypertarget{homologyincomplex}{Увлекательный факт~-- комплекс распадается в набор коротких точных последовательностей.}}\label{page_homologyincomplex} +Рассмотрим кусок комплекса +\[ +\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize] +\cdots\ar{r} & C_{i+1}\ar{rrr}{d_i}\ar[two heads]{rd} &&& C_i\ar{rrr}{d_{i-1}}\ar[two heads]{rd}\ar[two heads,labels=description]{rrd}{\small(1)} &&& C_{i-1}\ar{r}{d_{i-2}} &\cdots\\ + & & \im d_i\ar[hook]{r}&\ker d_{i-1}\ar[hook]{ur}\ar[two heads,labels=description]{rd}{\small(3)} & &\coker d_i\ar[two heads,swap]{r}{(2)} & \im d_{i-1}\ar[hook]{ur}& & \\ + &&&& H_1\ar[hook,labels=description]{ur}{(4)} +\end{tikzcd} +\] +Каждое отображение разбивается в композицию $C_{i+1}\twoheadrightarrow\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\hookrightarrow C_{i}$. $H_i$ по определению $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Последовательность $\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\twoheadrightarrow H_i$. + +$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна. +\vspace*{1em} + +На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу 3), но он не проективен(почему???) + +Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$. + +\begin{enumerate} + \item Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$). + \item Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность. + \item Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$. + \item Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен. +\end{enumerate} \end{document} \ No newline at end of file