commit 75bcb17df84399d2a15a214d9d7fbeb6453a1611
parent a7eadc8ad5e8cf6fdf78d84d99fbce09bddeda86
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Thu, 23 Sep 2021 23:46:23 +0300
added solutions to some practice problems 3; improved sections numbering
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 68 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------ |
2 files changed, 50 insertions(+), 18 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -22,6 +22,7 @@
\definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6}
\definecolor{brightblue}{HTML}{006699}
\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
+\definecolor{awesome}{rgb}{1.0, 0.13, 0.32}
\definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
\hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
colorlinks,
@@ -69,6 +70,7 @@
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{exc}{Упражнение}
+\newtheorem*{fact}{Факт}
\newtheorem*{corollary*}{Следствие}
%1-time use
@@ -106,7 +108,7 @@
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Основные определения}
-%\subsection{Компл\'{е}ксы}
+\subsection{Компл\'{е}ксы}
\begin{Def}\index{Комплекс}
Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны) последовательность модулей $X_i$ $(i\in\Z)$ с гомоморфизмами $d_i\colon X_{i+1}\to X_i$, что $d_{i}\circ d_{i+1}=0\,\forall i\in\Z$.
$$
@@ -184,7 +186,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{proof}
Даны $f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. Покажем, что $H_ng\circ H_nf=\id_{H_nX}=H_n(g\circ f)$ (в обратную сторону точно так же). Для этого покажем, что если $f\colon X\to X$~-- морфизм и $f\sim\id_X$, то $H_nf=\id_{H_nX}$. И правда, $H_nf=H_n\id_X\iff H_n(f-\id_X)=0$. Так как $f\sim\id_X$, то $\exists s\colon f-\id_X=sd+ds$. $H_n(sd+ds)\colon H_n(X)\to H_n(X)$. Часть $ds$ переводит в 0 в гомологиях, потому что образ~-- граница. Часть $sd$ переводит в 0 в гомологиях, потому что применяется к циклу.
\end{proof}
-\section{Проективные модули}
+\subsection{Проективные модули}
\begin{Def}\index{Проективный модуль}
Модуль $P$ называется {\bfseries проективным}, если \[
\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
@@ -293,7 +295,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
\section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
-\addcontentsline{toc}{section}{Практика 1: функтор $\Tor$}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 1: функтор $\Tor$}
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}).
@@ -361,7 +363,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{proof}
\end{enumerate}
-\section{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября}
+\subsection{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября}
\begin{Def}\index{Точный слева функтор}\index{Точный справа функтор}\index{Точный функтор}
$\mathcal{A},\mathcal{B}$~-- абелевы категории (например, категории модулей). Аддитивный ковариантный функтор $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ в $\mathcal{A}$ последовательность $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ в $\mathcal{B}$ точная справа (соотв. точная слева, точная).
@@ -565,9 +567,14 @@ Cтрелка по построению получается единствен
По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Далее из куска последовательности $\overset{=0}{T_nP}\to T_{n}X\to T_{n-1}K_X\to\overset{=0}{T_{n-1}P}$ по индукции получаем, что $T_{n}X\cong T_{n-1}K_X\cong(L_{n-1}F)K_X\cong(L_nF)X$. Из конструкции длинной точной последовательности (теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}) изоморфизм получается естественный.
\end{proof}
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
-\addcontentsline{toc}{section}{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
-Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль и следующий
-\paragraph*{\hypertarget{homologyincomplex}{Увлекательный факт~-- комплекс распадается в набор коротких точных последовательностей.}}\label{page_homologyincomplex}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 2: плоские конечно представимые модули}
+Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль несколько фактов:
+\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]
+ $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{r}{\Hom_R(X,\pi)}&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
+
+ Двойственно, $R$-модуль $X$ инъективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный слева) контравариантный функтор $\Hom_R(-,X)$ точный.
+\end{fact}
+\begin{fact}[\hypertarget{homologyincomplex}{Комплекс распадается в набор коротких точных последовательностей}]\label{page_homologyincomplex}
Рассмотрим кусок комплекса
\[
\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
@@ -579,7 +586,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Каждое отображение разбивается в композицию $C_{i+1}\twoheadrightarrow\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\hookrightarrow C_{i}$. $H_i$ по определению $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Последовательность $\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\twoheadrightarrow H_i$.
$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна.
-\vspace*{1em}
+\end{fact} %\vspace*{1em}
На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу 3), но он не проективен(почему???)
@@ -589,9 +596,10 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\item Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$).
\item Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность.
\item Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
- \item Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
+ \item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
\end{enumerate}
\section{Функтор $\Tor$}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{torfunctor}
+\subsection{Его определение}
\begin{Def}
$F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bfseries $F$-ацикличным}, если $(L_iF)T=0\,\forall i>0$.
\end{Def}
@@ -715,7 +723,9 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\section*{Практика 3: гомологические размерности}
-\addcontentsline{toc}{section}{Практика 3: гомологические размерности}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 3: гомологические размерности}
+Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективные модули, функтор $\Ext$ и коммутирование левых производных функторов и фильтрованных копределов.
+
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
Пусть $M$~-- модуль. {\bfseries\itshape Проективной размерностью}\index{Проективная размерность} $M$ называется минимальная длина проективной резольвенты $M$ (то есть такое минимальное $n$, что существует проективная резольвента $P_*$ модуля $M$, для которой выполнено $P_i=0$ для $i>n$). {\bfseries\itshape Инъективной размерностью}\index{Инъективная размерность} $M$ называется минимальная длина инъективной резольвенты $M$, а {\bfseries\itshape плоской размерностью}\index{Плоская размерность} $M$ называется минимальная длина плоской резольвенты $M$. Например, проективная (инъективная, плоская) размерность $M$ равна нулю тогда и только тогда, когда $M$~-- проективный (инъективный, плоский) модуль. Проективная, инъективная и плоская размерности $M$ обозначаются соответственно $\pd_R(M)$, $\id_R(M)$ и $\fd_R(M)$.
@@ -723,38 +733,60 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
\begin{itemize}
\item $M$ проективен;
- \item $\Ext_R^1(M,X)=0$ для любого модуля $X$;
+ \item $\Ext_R^1(M,X)=0$ для любого модуля $X$;\marginpar{\tiny\color{awesome}Обратите внимание на порядок модулей!}
\item $\Ext_R^n(M,X)=0$ для любого модуля $X$ и любого $n>0$.
\end{itemize}
Сформулируйте и докажите аналогичный критерий инъективности модуля $M$.
\item Пользуясь критерием Баера, покажите, что $M$ инъективен тогда и только тогда, когда $\Ext_R^1(R/I,M)=0$ для любого левого идеала $I$ кольца $R$.
- \item Докажите, что
+ \item\label{pdidfd} Докажите, что
\begin{align*}
\pd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(M,X)\ne 0\}\text{;}\\
\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(X,M)\ne 0\}\text{;}\\
\fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_n(X,M)\ne 0\}\text{.}
\end{align*}
- \item Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
- \item Докажите, что следующие числа равны:
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Понятно, что $\pd_R(M)\le\sup\{\ldots\}$ (или непонятно\ldots).В другую сторону: заметим, что если есть короткая точная последовательность $K_M\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$ с проективным $P$, то $\pd_R(K_M)=\pd_R(M)-1$. По индукции $\pd_R(K_M)=n$, запишем кусок длинной точной последовательности
+ \[\Ext_R^n(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^n(P,X)}\to\Ext_R^n(K_M,X)\to\Ext_R^{n+1}(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^{n+1}(P,X)}\]
+ Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\marginpar{я потом допишу}
+ \end{proof}
+ \item\label{RIid} Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
+ \item\label{gldim} Докажите, что следующие числа равны:
\begin{itemize}
\item $\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-модуль}\}$;
\item $\sup\{\id_R(M)\,|\,M\text{~-- }R\text{-модуль}\}$;
\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Ext_R^n(X,Y)\ne0\}$.
\end{itemize}
Это число называется (левой) {\bfseries\itshape глобальной размерностью $R$}\index{Глобальная размерность} и обозначается $\gldim(R)$.
- \item Докажите, что следующие числа равны:
+ \item\label{tordim} Докажите, что следующие числа равны:
\begin{itemize}
\item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}$;
\item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- правый }R\text{-модуль}\}$;
\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Tor_n^R(X,Y)\ne0\}$.
\end{itemize}
Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$\marginpar{\scriptsize \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_ring}{вспомните обозначение}} совпадают.
- \item* Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
- \item Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конечно порожденных $M$. В другую сторону докажем более сильное неравенство~-- для однопорождённых модулей. Из задач~\ref{RIid} и \ref{gldim}
+ \[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,M)\ne0\}\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}\]
+ Переставим $\sup$-ы и по задаче~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
+ \end{proof}
\item Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_R(M)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадают.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Поскольку проективные модули плоские, понятно, что $\fd_R(M)\le\pd_R(M)$.
+
+ Вспомним важное свойство нётерова кольца~-- у него все подмодули конечно порождённого модуля конечно порождены. Конечно порождённые модули~-- это в точности факторы $R^n$, так что у $M$ можно построить плоскую резольвенту из конечно порождённых свободных модулей: $K\hookrightarrow R^n\twoheadrightarrow M$, $K$~-- конечно порождённый. Пусть $\fd_R(M)=k+1$, построим проективную резольвенту такой же длины.
+ \[K\hookrightarrow R^{n_k}\to\cdots\to R^{n_1}\to R^{n_0}\twoheadrightarrow M\]
+ Так как $K$ конечно порожден, над ним тоже можно построить два раза резольвенту из конечно порождённых свободных модулей, так что он еще и конечно представим. Кроме того, он плоский: если это не так, то найдется $X$, что $\Tor_1^R(X,K)\ne0$, а значит, $\Tor_{k+2}^R(X,M)\ne0$, значит $\fd_R(M)>k+1$, противоречие. Из задаче~\ref{flfprisproj} с практики 2 получаем, что он проективный.
+
+ Из задач~\ref{tordim_fdim} и \ref{gldim_fdim} получаем равенство $\Tordim(R)=\gldim(R)$, из задачи~\ref{tordim} получаем равенство $\Tordim(R)=\Tordim(R^{\op})=\gldim(R^{\op})$.
+ \end{proof}
\item Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность. Докажите, что $\pd_R(M)\le\max(\pd_R(L),\pd_R(N))$,$\pd_R(N)\le\max(\pd_R(L)+1,\pd_R(M))$ и $\pd_R(L)\le\max(\pd_R(M),\pd_R(N)-1)$. Сформулируйте и докажите аналогичные неравенства для инъективной и плоской размерностей.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Запишем длинную точную последовательность для $\Ext$ из короткой точной последовательности и из задачи~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
+ \end{proof}
\end{enumerate}
-\section{ашьхаъоьоа}
+\subsection{Фильтрованные копределы и производные функторы}
\begin{Def}\index{Фильтрованная категория}
Малая категория $\mathcal{I}$ называется {\bfseries фильтрованной}, если
\begin{enumerate}
