commit 877fae3001bdd08e5f8be654f27e2a155f00b280
parent 72a50169901bc981c6706ae8c87ea8d8e12411b3
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Mon, 25 Oct 2021 02:58:12 +0300
stylistic changes and small fixes; git integration
Diffstat:
2 files changed, 32 insertions(+), 17 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -29,6 +29,9 @@
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
+% git integration
+\usepackage{gitinfo2}
+
%for margin notes
\reversemarginpar
@@ -43,7 +46,14 @@
colorlinks,
linkcolor={cadmiumgreen},
urlcolor={pigmentblue},
- linktoc=all
+ linktoc=all,
+ pdftitle={Конспект лекций по гомологической алгебре},
+ pdfsubject={Гомологическая алгебра},
+ pdfauthor={},
+ pdfcreator={},
+ pdfdirection={L2R},
+ pdflang={ru-RU}%,
+% unicode=true
}
% reverse column, to typeset adjoint functors or bijections like "f: F<=>G :g"
@@ -111,7 +121,7 @@
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
\fancyhead[L]{\scshape\nouppercase\leftmark}
-\renewcommand{\headrulewidth}{2pt}
+\renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
%index
\makeindex[title=Индекс]{}
@@ -129,9 +139,9 @@
\newgeometry{left=2cm, bottom=2.5cm, top=2.5cm, right=2cm}
\centering
$${\bigcap}\kern-0.8em\raisebox{0.3ex}{$\subset$}\kern-1.45em\raisebox{-0.2ex}{$\complement$}\mathbf{\tiny\kern-0.23em\raisebox{-2.8ex}{$\bigcup$}}\mathbf{\tiny\kern0.13em\raisebox{-2.8ex}{$\bigcup$}}\scriptsize\kern-0.87em\raisebox{-1.33ex}{-}$$
- {\scshape\large Amogus University\par}
+ {\scshape\large Amogus\par\vspace{-0.3em} University\par}
\vspace{5cm}
- {\Huge\bfseries\pride{Г}{о}{м}{о}{л}{о}\pride{г}{и}{ч}{е}{с}{к}\pride{а}{я}{\ }{а}{л}{г}\pride{е}{б}{р}{а}{}{}\par}
+ {\Huge\scshape\bfseries\pride{Г}{о}{М}{о}{Л}{о}\pride{Г}{и}{Ч}{е}{С}{к}\pride{А}{я}{\ }{А}{л}{Г}\pride{е}{Б}{р}{А}{}{}\par}
\vspace{0.5cm}
{\scshape\Large Конспект лекций\par}
\vspace{2cm}
@@ -143,7 +153,7 @@
\vfill
% Bottom of the page
- {\large \today\par}
+ {\large\texttt{Версия \gitBranch/\gitAbbrevHash}\par\texttt{\gitAuthorDate}\par}
\end{titlepage}
\restoregeometry
\tableofcontents\newpage
@@ -354,7 +364,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
\section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функтор $\Tor$}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функтор \texorpdfstring{$\Tor$}{Tor}}
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}). Кроме того, для решения задач~\ref{Pract1Prob2} и~\ref{Pract1Prob3} понадобится следствие из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits} (c.~\pageref{torpreservesfilteredcolimits}) и факт о том, что группа это копредел конечно порождённых подгрупп.
@@ -365,7 +375,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\item\label{Pract1Prob0} Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
\begin{itemize}
\item $M$ плоский;
- \item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$.
+ \item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$;
\item $\Tor_n^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$ и любого $n>1$.
\end{itemize}
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
@@ -496,8 +506,13 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
- \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial} \\
- A \ar{r}{\alpha}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[name=G]{d}{g}& C\ar{d}{h}\\
+ \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}%\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial}
+ \ar[rounded corners,
+ to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
+ |- (X.center) \tikztonodes
+ -| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
+ -- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial} \\
+ A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[crossing over,near start]{d}{g}& C\ar[crossing over,near start]{d}{h}\\
X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[two heads]{d} & Z\ar[two heads]{d}\\
\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
\end{tikzcd}
@@ -644,10 +659,10 @@ Cтрелка по построению получается единствен
$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна.
-Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker_{d_{i-2}}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker_{d_{i-2}}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.{\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
+Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker_{d_{i-2}}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker_{d_{i-2}}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.\marginpar{\vspace{-2em}\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
\end{fact} %\vspace*{1em}
-На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу~\ref{Pract1Prob3}), но он не проективен.\todo{почему}
+На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако, неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу~\ref{Pract1Prob3}), но он не проективен.\todo{почему}
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$.\todo{правое или левое}
@@ -674,7 +689,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
Опять из задачи~\ref{Pract2Prob2} $\Hom_R(M,X)\twoheadrightarrow\Hom_R(M,Y)$ эпиморфизм.
\end{proof}
\end{enumerate}
-\section{Функтор $\Tor$}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{torfunctor}
+\section{Функтор \texorpdfstring{$\Tor$}{Tor}}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{torfunctor}
\subsection{Его определение}
\begin{Def}
$F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bfseries $F$-ацикличным}, если $(L_iF)T=0\,\forall i>0$.
@@ -1042,7 +1057,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
$\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
\end{corollary*}
-\section{Функтор $\Ext$}
+\section{Функтор \texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
\subsection{Инъективные модули}
\begin{Def}\index{Инъективный модуль}\label{def_injmodule}
Модуль $M$ называется {\bfseries\itshape инъективным}, если
@@ -1191,7 +1206,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Если $M$~-- $R$-модуль, то $\exists Q$~-- инъективный модуль, что $\exists M\hookrightarrow Q$.
\end{corollary*}
\begin{proof}
- Выберем $Q=\prod\limits_{f\in\Hom(M,\Hom(R,\Q/\Z))}\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$ (произведение копий $\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, индексированное гомоморфизмами $M\to\Hom(R,\Q/\Z)$). Вложение $M\overset{\iota}{\hookrightarrow} Q$ определим так: $\iota(x)=(f(x))_{f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)}$. Оно инъективно из утверждения выше про то, что существует $f$ с ненулевым образом $x$ (поэтому образ $x$ равен 0$\iff x=0$).
+ Выберем $Q=\mkern-30mu\prod\limits_{f\in\Hom(M,\Hom(R,\Q/\Z))}\mkern-30mu\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$ (произведение копий $\Hom_\Z(R,\Q/\Z)$, индексированное гомоморфизмами $M\to\Hom(R,\Q/\Z)$). Вложение $M\overset{\iota}{\hookrightarrow} Q$ определим так: $\iota(x)=(f(x))_{f\colon M\to\Hom_\Z(R,\Q/\Z)}$. Оно инъективно из утверждения выше про то, что существует $f$ с ненулевым образом $x$ (поэтому образ $x$ равен $0\iff x=0$).
\end{proof}
\begin{Def}\index{Инъективная резольвента}
Пусть $X$~-- $R$-модуль. Напомним, что его можно интерпретировать как комплекс $\cdots\to 0\to 0\to X\to 0\to0\to\cdots$. {\bfseries\itshape Инъективная резольвента $X$}~-- комплекс $\cdots\to0\to0\to Q_0\to Q_{-1}\to Q_{-2}\to\cdots$ с квазиизоморфизмом $\iota\colon X\to Q_*$, что все $Q_i$ инъективные для $i\le0$ и все $Q_i=0, i>0$.
@@ -1207,7 +1222,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{Def}
Аналогично определяется $R_nF$ для контравариантного точного справа функтора. Аналогично доказывается лемма о змее, лемма о подкове и теорема о длинной точной последовательности: из $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ получается последовательность
\[0\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R_1F(X)\to R_1F(Y)\to R_1F(Z)\to R_2F(X)\to\cdots\]
-\subsection{$\Ext$}
+\subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext}}
\begin{Def}\index{$\Ext$}
$\Ext_R^n(X,Y)\defeq (R_n\Hom(-,Y))(X)$.
\end{Def}
@@ -1317,7 +1332,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
\begin{corollary*}
$R_n(\Hom(-,Y))(X)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\Ext^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}\widetilde{\Ext}^n_R(X,Y)\overset{\mathcal{A}b}{\cong}R_n(\Hom(X,-))(Y)$.
\end{corollary*}
-\subsection{$\Ext$ и расщепимость}
+\subsection{\texorpdfstring{$\Ext$}{Ext} и расщепимость}
\begin{Def}\index{Расщепляющееся расширение}
Расширение $Y$ с помощью $X$ (то же самое, что $1$-расширение и то же самое, что короткая точная последовательность c началом в $Y$ и концом в $X$) $Y\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}X$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если существует изоморфизм $\phi\colon E\to X\oplus Y$, что в диаграмме
\[
@@ -1456,7 +1471,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
\vspace*{1em}
\begin{center}
- * * *
+ \bfseries* * *
\end{center}
\begin{thm}
$G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot H_n(G,A)=\{0\}$ для любого $G$-модуля $A$ и любого $n\ge1$.
