commit e0c0a8bc9813b78a7cc6697e3bd2d0e5c6de5dca
parent 6ecf77ac347fcd9c07bf023512a6adf4e938054a
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Mon, 20 Sep 2021 03:48:01 +0300
added more lectures and practices
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 178 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- |
2 files changed, 160 insertions(+), 18 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -2,20 +2,19 @@
% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX root = notes.tex
-\documentclass[utf8,a4paper,12pt]{article}
-\usepackage{cmap}
+\documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
+\usepackage{cmap,fancyhdr}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
-\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools}
+\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
+\usepackage{imakeidx} % indices
\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
-\usepackage{makeidx} % indices
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
-
%for margin notes
\reversemarginpar
@@ -24,6 +23,7 @@
\definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6}
\definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
+\definecolor{brightblue}{HTML}{006699}
\hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
colorlinks,
linkcolor={cadmiumgreen},
@@ -52,6 +52,8 @@
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
+\DeclareMathOperator{\Tot}{Tot}
+\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
@@ -63,11 +65,19 @@
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{exc}{Упражнение}
+\newtheorem*{corollary*}{Следствие}
%1-time use
\newtheorem*{fivelemma}{5-лемма}
-\makeindex
+%headers/footers
+\pagestyle{fancyplain}
+\fancyhf{}
+\fancyhead[R]{\thepage}
+\fancyhead[L]{\leftmark}
+
+
+\makeindex[title=Индекс]{}
\begin{document}
\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
@@ -112,13 +122,13 @@
\begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}\label{shiftedcomplex}
$X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим комплекс $X[n]_i=X_{i+n}$ с дифференциалом $d[n]_i=(-1)^n d_{i+n}$.
\end{Def}
-\begin{Def}\index{Цикличный комплекс}\index{Точный комплекс}\label{cycliccomplex}
- Комплекс $X$ называется цикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''.
+\begin{Def}\index{Ацикличный комплекс}\index{Точный комплекс}\label{acycliccomplex}
+ Комплекс $X$ называется ацикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Цепное отображение}
$(X,d^X)$, $(Y,d^Y)$~-- комплексы. Гомоморфизм $f\colon X\to Y$~-- гомоморфизм комплексов(иногда говорят ``цепное отображение''), если $|f|=0$ и $fd^X=d^Yf$.
\end{Def}
-\begin{stmt}
+\begin{stmt}\label{homologyisafunctor}
Если $f\colon X\to Y$~-- цепное отображение, то оно индуцирует отображение $H_nf\colon H_nX\to H_nY$.
\end{stmt}
\begin{proof}
@@ -284,7 +294,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано противоположное. Если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
\begin{enumerate}[start=0]
- \item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
+ \item \label{Pract1Prob0}Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
\begin{itemize}
\item $M$ плоский;
\item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$.
@@ -306,17 +316,42 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\[
0=\Tor_1^R(\Z,A)\to\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)\to A\to A\twoheadrightarrow\Z/m\Z\otimes_{\Z}A
\]
- Все старшие торы, понятно, нулевые: кусок последовательности $\overset{0=}{\Tor_n^R(\Z,A)}\to\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)\hookrightarrow\overset{=0}{\Tor_{n-1}^R(\Z,A)}$, поэтому $\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)=0$.
+ Все старшие торы, понятно, нулевые: кусок последовательности \[\overset{0=}{\Tor_n^R(\Z,A)}\to\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)\hookrightarrow\overset{=0}{\Tor_{n-1}^R(\Z,A)}\text{, }\] поэтому $\Tor_n^R(\Z/m\Z,A)=0,\,n>1$.
$\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\cdot m)\otimes1}{\longrightarrow}\Z\otimes_{\Z}A)$. В ядро попадают все элементы $a\in A$, что $ma=0$.
\end{proof}
\item Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+
+ \end{proof}
\item Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+
+ \end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\cong\{a\in A|\exists m\ne 0\colon ma=0\}$.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+
+ \end{proof}
\item Пусть $A$~-- абелева $m$-группа. Вычислите $\Tor_n^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)$ для всех $n\ge 0$ и $d|m$.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+
+ \end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_1^R(R/I,R/J)\cong\frac{I\cap J}{IJ}$ для любых двусторонних идеалов кольца $R$.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Запишем длинную точную последовательность для $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$.
+ \[\underset{=0}{\Tor_1^R(R,R/J)}\to\Tor_1^R(R/I,R/J)\hookrightarrow I\otimes_RR/J\overset{f}{\to}R\otimes_RR/J\]
+ $\Tor_1^R(R/I,R/J)=\ker f$. Ну и почти очевидно, что оно равно $\frac{I\cap J}{IJ}$ ($I\cap J$ уходит в 0, но элементы $IJ$ уже 0).
+ \end{proof}
\item Докажите, что $\Tor_{n+1}^R(R/I,X)\cong\Tor_n^R(I,X)$ для любых правого идеала $I$, левого модуля $X$ и любого $n\ge 1$.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Очень простое следствие из комментария к теореме~\ref{LESforleftderivedfunctors} (см. с.~\pageref{LFkernelcomment}) для короткой точной последовательности $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$.
+ \end{proof}
\item Пусть $0\to A\to B\to C\to 0$~-- короткая точная последовательность модулей с плоским $C$. Докажите, что $A$ плоский тогда и только тогда, когда $B$ плоский.
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Вспомним, что $\Tor_n^R(X,M)=L_n(-\otimes_RM)(X)=L_n(X\otimes_R-)(M)$. Запишем кусок длинной точной последовательности.
+ \[\cdots\to\Tor_2^R(X,C)\to\Tor_1^R(X,A)\to\Tor_1^R(X,B)\to\Tor_1^R(X,C)\to\cdots\]
+ Несколько раз применяем задачу~\ref{Pract1Prob0}.
+ \end{proof}
\end{enumerate}
\section{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября}
@@ -498,8 +533,9 @@ Cтрелка по построению получается единствен
0 & & \\
\end{tikzcd}
\]
+ \setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
-Из доказательства также получается, что если $Q_*\to Z$~-- проективная резольвента $Z$ и $K_Z=\ker(Q_0\twoheadrightarrow Z)$, то $(L_iF)K_Z=(L_{i+1}F)Z$.
+\label{LFkernelcomment}Из доказательства также получается, что если $Q_*\to Z$~-- проективная резольвента $Z$ и $K_Z=\ker(Q_0\twoheadrightarrow Z)$, то $(L_iF)K_Z=(L_{i+1}F)Z$.
Если $G$~-- контравариантный точный слева функтор, то таким же образом строится $(R_nG)M=H_nGP_*$, если $P_*\to M$~-- проективная резольвента.
@@ -519,7 +555,8 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\[
\cdots \to T_2P\to T_2X\to T_1K_X\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX
\]
- По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. А дальше как?
+ По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Далее из куска последовательности $\overset{=0}{T_nP}\to T_{n}X\to T_{n-1}K_X\to\overset{=0}{T_{n-1}P}$ по индукции получаем, что $T_{n}X\cong T_{n-1}K_X\cong(L_{n-1}F)K_X\cong(L_nF)X$. Из конструкции длинной точной последовательности (теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}) изоморфизм получается естественный.
+
\end{proof}
\section{Практика 2}
Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль и следующий
@@ -562,6 +599,9 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
$L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X\,i\ge1$.
\end{proof}
\begin{Def}
+ $R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $X\otimes_R-$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
+\end{Def}
+\begin{Def}
$U_*,V_*$~-- комплексы, $f\colon U_*\to V_*$~-- морфизм комплексов. {\bfseries Конусом $f$} $\Cone(f)$ называется комплекс $U_*[-1]\oplus V_*$ \marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{shiftedcomplex}} с дифференциалом $\begin{pmatrix}
d^{U[-1]} & 0\\
f & d^{V}
@@ -581,17 +621,119 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\end{pmatrix}=0
\]
\end{Def}
-\begin{lemma}
- $f\colon U_*\to V_*$~-- цепное отображение. Тогда $f$~-- квазиизоморфизм $\iff\Cone(f)$ цикличен\marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{cycliccomplex}}.
+\begin{lemma}\label{acycliciffqis}
+ $f\colon U_*\to V_*$~-- цепное отображение. Тогда $f$~-- квазиизоморфизм $\iff\Cone(f)$ ацикличен\marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{acycliccomplex}}.
\end{lemma}
-\begin{proof}
- Запишем условие цикличности: пусть $U_{i-1}\oplus V_i\ni(u,v)\in \ker d_{i-1}$. То есть $d^U(u)=0$ и $f(u)+d^V(v)=0$. $(u,v)$ также лежит в образе, значит, $\exists(u',v')\colon u=-d^U(u')$ и $v=f(u')+d^V(v')$.
+Заметим, что существует короткая точная последовательность комплексов $V_*\hookrightarrow\Cone(f)\twoheadrightarrow U_*$. Эту лемму можно доказать применением два раза леммы о змее к этой короткой точной последовательности. Но возникает сложность~-- нужно доказать, что связующий гомоморфизм это в точности $f$. На лекции рассказывали другое доказательство.
+\begin{proof}[Доказательство (рабоче-крестьянское).]
+ Запишем условие ацикличности: $\ker d_{i-1}\subseteq\im d_{i}$, то есть пусть $U_{i-1}\oplus V_i\ni(u,v)\in \ker d_{i-1}\iff d^U(u)=0$ и $f(u)+d^V(v)=0$. $(u,v)$ также лежит в образе, значит, $\exists(u',v')\colon u=-d^U(u')$ и $v=f(u')+d^V(v')$.
- \ldots
+ $H_n(f)$~-- мономорфизм, значит (см. диаграмму к доказательству утв.~\ref{homologyisafunctor}), ядро отображения $\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1}\twoheadrightarrow H_nV_*$ изоморфно $\im d^U_{n}$. Это значит, что $\im d^U_n\cong\im d^V_n$, а $\ker(\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1})=0$.
+ $H_n(f)$~-- эпиморфизм, значит, $\ker d^U_{n-1}\to\ker d^V_{n-1}\twoheadrightarrow H_nV_*$, значит, отображение $\ker d^U_{n-1}\twoheadrightarrow\ker d^V_{n-1}$ эпиморфизм $\iff d_{n-1}^V(v)=0\text{, что }\exists u\colon d^U_{n-1}(u)=0\text{ и }v=f(u)$.
\end{proof}
\begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}
Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. Функтор $\Tor$~-- это $\Tor_n^R(A,B)\overset{\text{def}}{=}L_n(-\otimes_R B)(A)$.
\end{Def}
+Для доказательства фактов про $\Tor$ нужно еще несколько определений.
+\begin{Def}[тензорное произведение комплексов]\index{Тензорное произведение комплексов}
+ $U_*$~-- комплекс $\mathrm{{Mod}\mdash}R$, $V_*$~-- комплекс $R\mathrm{\mdash{Mod}}$. {\bfseries Тензорным произведением комплексов} $U_*\otimes_R V_*$ называется комплекс с \[(U_*\otimes_R V_*)_n\overset{\text{def}}{=}\bigoplus_{i+j=n}(U_i\otimes_RV_j)\]
+ Достаточно определить дифференциал на прямом слагаемом: $u\otimes v\in U_i\otimes_RV_j$
+ \[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\overset{\text{def}}{=}\underset{\in U_{i-1}}{d^U_{i-1}(u)}\otimes v+(-1)^iu\otimes \underset{\in V_{i-1}}{d^V_{j-1}(v)}\]
+ \[
+ \begin{tikzcd}[sep=scriptsize]
+ \ddots\ar{r}\ar{d}& \vdots\ar{d}\ar{r}& \vdots\ar{d}\ar{r} &\vdots\ar{d}\ar{r} & \adots\ar{d} \\
+ \cdots\ar{r}\ar{d} & X_{i+1,j+1}\ar{r}{d^{X,h}_{i,j+1}}\ar{d}{d^{X,v}_{i+1,j}} & X_{i,j+1}\ar{d}{d^{X,v}_{i,j}}\ar{r}{d^{X,h}_{i-1,j+1}} & X_{i-1,j+1}\ar{d}{d^{X,v}_{i-1,j}}\ar{r} &\cdots\ar{d}\\
+ \cdots\ar{r}\ar{d} & X_{i+1,j}\ar{r}{d^{X,h}_{i,j}}\ar{d}{d^{X,v}_{i+1,j-1}} & X_{i,j}\ar{d}{d^{X,v}_{i,j-1}}\ar{r}{d^{X,h}_{i-1,j}} & X_{i-1,j}\ar{r}\ar{d}{d^{X,v}_{i-1,j-1}}&\cdots\ar{d}\\
+ \cdots\ar{r}\ar{d}& X_{i+1,j-1}\ar[swap]{r}{d^{X,h}_{i,j-1}}\ar{d}& X_{i,j-1}\ar{d}\ar[swap]{r}{d^{X,h}_{i-1,j+1}}&X_{i-1,j-1}\ar{r}\ar{d}&\cdots\ar{d}\\
+ \adots\ar{r} & \vdots\ar{r} & \vdots\ar{r} &\vdots\ar{r} &\ddots
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{Def}
+\begin{Def}[альтернативное определение~-- через двойной комплекс]\index{Двойной комплекс}
+ {\bfseries Двойной комплекс}~-- это набор $\{X_{i,j}\}$ с ``вертикальными'' ($d^{X,v}_{i,j}\colon X_{i,j+1}\to X_{i,j}$) и ``горизонтальными'' ($d^{X,h}_{i,j}\colon X_{i+1,j}\to X_{i,j}$) дифференциалами, что оно комплексы в каждых вертикали и горизонтали и все квадраты либо коммутируют, либо антикоммутируют (то есть $d^{X,h}_{i,j}d^{X,v}_{i+1,j}+d^{X,v}_{i,j}d^{X,h}_{i,j+1}=0$).
+
+ \marginpar{\scriptsize Если не предполагать, что квадраты антикоммутируют, то в определении дифференциала должны быть знаки.}Для двойного комплекса $X_{*,*}$ с антикоммутирующими квадратами определим {\bfseries полный комплекс}\index{Полный комплекс} как $\Tot(X_{*,*})_n=\bigoplus_{i+j=n}X_{i,j}$ с дифференциалом $d^{\Tot(X_{*,*})}=d^{X,h}+d^{X,v}$.
+
+ Тогда определим $X_{i,j}=U_i\otimes_RV_j$ и $U_*\otimes_RV_*=\Tot(X_{*,*})$.
+\end{Def}
+\begin{thm}
+ $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. $P_*\twoheadrightarrow A$ (как правый модуль), $Q_*\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} B$ (как левый модуль)~-- проективные резольвенты. Тогда $\Tor_n^R(A,B)=H_n(P_*\otimes_RQ_*)$.
+\end{thm}
+\begin{proof}
+ По определению, $\Tor_n^R(A,B)=H_n(P_*\otimes_RB)$.
+ \[
+ P_*\otimes_RB=\cdots\to P_2\otimes_RB\to P_1\otimes_RB\to P_0\otimes_RB
+ \]
+ Понятно, что корректно определено $P_*\otimes_RQ_*\overset{\id_P\otimes\varepsilon}{\longrightarrow}P_*\otimes_RB$. Для \[d(\underset{\in P_i}{u},\underset{\in Q_j}{v})=\begin{cases}
+ 0 & j>0\\
+ u\otimes\varepsilon(v) &j=0
+ \end{cases}\]
+ Хотим показать, что $\id_P\otimes\varepsilon$~-- квазиизоморфизм. Пользуясь леммой~\ref{acycliciffqis}, проверим, что $\Cone(\id_P\otimes\varepsilon)$ ацикличен.
+
+ $\varepsilon$~-- морфизм комплексов. $\Cone(\varepsilon)$~-- это
+ \[
+ \cdots\overset{-d^Q_2}{\longrightarrow}Q_2\overset{-d^Q_1}{\longrightarrow}Q_1\overset{-d^Q_0}{\longrightarrow}Q_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}B\to0\to\cdots
+ \]
+ Обозначим его за $X$. Почти понятно, что он ацикличен.
+
+ Почти очевидно, что $\Cone(\id_P\otimes\varepsilon)=P_*\otimes_R\Cone(\varepsilon)$.
+
+ Будем доказывать по индукции по длине $P_*$. Это сработает (несмотря на то, что $P_*$ может быть бесконечным), потому что $P_*\otimes_R X$ ограничен справа ($X_i=0,\,i<0$ и $P_i=0,\,i<0$, поэтому $(P_*\otimes_R X)_{i,j}=0,\,i<0,\,j<0$), и в каждой диагональной линии с одинаковой суммой коэффициентов (откуда берутся прямые слагаемые в $\Tot(P_*\otimes_RX)_n$) используется только конечное число $P_i$, так что все $H_n$ можно узнать.
+
+ База: длина $P_*$~-- $1$. Проективные модули~-- плоские, поэтому сохраняют короткие точные последовательности, поэтому $P_0\otimes X$ ацикличен.
+
+ Длина $P_*$~-- $m+1$. \[P_{m+1}\to \underbrace{P_m\to\cdots\to P_1\to P_0\to 0\to\cdots}_{\overset{\text{def}}{=}\bar{P}}\] можно представить как конус $\Cone(P_{m+1}[m]\overset{d^P_m}{\longrightarrow}\bar{P})$ ($P_{m+1}$ интерпретирован как комплекс $\cdots\to0\to P_{m+1}\to0\to\cdots$ ну как раньше).
+
+ Тогда $P_*\otimes_RX=\Cone(P_{m+1}[m]\otimes_RX\to\bar{P}\otimes_RX)$ ациклично: $P_{m+1}[m]\otimes_RX$ так как $P_{m+1}[m]$ длины 1, а $\bar{P}\otimes_RX$ по индукции.
+
+ Доказали, что $\id_P\otimes\varepsilon$ квазиизоморфизм, поэтому $H_n(P_*\otimes_RQ_*)\cong H_n(P_*\otimes_RB)$.
+\end{proof}
+Аналогичным образом доказывается, что $H_n(A\otimes_RQ_*)\cong H_n(P_*\otimes_RQ_*)$, поэтому верно
+\begin{corollary*}
+ $L_n(-\otimes_RB)(A)\cong L_n(A\otimes_R-)(B)\overset{\text{def}}{=}\Tor_n^R(A,B)$.
+\end{corollary*}
+Можно вычислять $\Tor$, используя плоские резольвенты.
+\begin{stmt}
+ Модуль плоский тогда и только тогда, когда $\forall Y$ он $(-\otimes_RY)$-ациклический.
+\end{stmt}
+$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
+\section{Практика 3}
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
+
+Пусть $M$~-- модуль. {\itshape Проективной размерностью}\index{Проективная размерность} $M$ называется минимальная длина проективной резольвенты $M$ (то есть такое минимальное $n$, что существует проективная резольвента $P_*$ модуля $M$, для которой выполнено $P_i=0$ для $i>n$). {\itshape Инъективной размерностью}\index{Инъективная размерность} $M$ называется минимальная длина инъективной резольвенты $M$, а {\itshape плоской размерностью}\index{Плоская размерность} $M$ называется минимальная длина плоской резольвенты $M$. Например, проективная (инъективная, плоская) размерность $M$ равна нулю тогда и только тогда, когда $M$~-- проективный (инъективный, плоский) модуль. Проективная, инъективная и плоская размерности $M$ обозначаются соответственно $pd_R(M)$, $id_R(M)$ и $fd_R(M)$.
+\begin{enumerate}[start=0]
+ \item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
+ \begin{itemize}
+ \item $M$ проективен;
+ \item $\Ext_R^1(M,X)=0$ для любого модуля $X$;
+ \item $\Ext_R^n(M,X)=0$ для любого модуля $X$ и любого $n>0$.
+ \end{itemize}
+ Сформулируйте и докажите аналогичный критерий инъективности модуля $M$.
+ \item Пользуясь критерием Баера, покажите, что $M$ инъективен тогда и только тогда, когда $\Ext_R^1(R/I,M)=0$ для любого левого идеала $I$ кольца $R$.
+ \item Докажите, что
+ \begin{align*}
+ pd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(M,X)\ne 0\}\text{;}\\
+ id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(X,M)\ne 0\}\text{;}\\
+ fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_n(M,X)\ne 0\}\text{.}
+ \end{align*}
+ \item Докажите, что $id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
+ \item
+\end{enumerate}
+\section{ашьхаъоьоа}
+\begin{Def}\index{Фильтрованная категория}
+ Малая категория $\mathcal{I}$ называется {\bfseries фильтрованной}, если
+ \begin{enumerate}
+ \item $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})\Rightarrow\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$, что
+ \begin{align*}
+ \Hom_\mathcal{I}(i,k)\ne\varnothing\\
+ \Hom_\mathcal{I}(j,k)\ne\varnothing
+ \end{align*}
+ \item $\forall i,j\in\Ob(\mathcal{I})$ и $f,g\in\Hom_\mathcal{I}(i,j),f\ne g$, то $\exists k\in\Ob(\mathcal{I})$ и $h\in\Hom_\mathcal{I}(j,k)$, что \[hf=hg\]
+ \end{enumerate}
+ {\bfseries Фильтрованным копределом}\index{Фильтрованный копредел} называется копредел функтора из фильтрованной категории.
+\end{Def}
+kerkerkercokerkerkerkercokerker~--\marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
+Леди Гага научилась применять лемму о змее
\printindex
\end{document}
\ No newline at end of file
