commit e2f55eb39e59c89b1f92ac13302dda49491c67be
parent 67e4b0d9805ec226f563f1c7e4470893065028a9
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Sun, 17 Oct 2021 01:48:45 +0300
moved to lualatex
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 61 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------------------ |
2 files changed, 37 insertions(+), 24 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -1,18 +1,31 @@
+% !TeX program = lualatex
% !TeX encoding = UTF-8
% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX root = notes.tex
\documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
-\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
-\usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage[russian]{babel}
+% Encoding
+\usepackage{fontspec}
+\usepackage{polyglossia}
+\usepackage{csquotes}
+\setdefaultlanguage{russian}
+\setotherlanguages{english}
+
+\usepackage{fontspec}
+\setmainfont{CMU Serif}
+\setsansfont{CMU Sans Serif}
+\setmonofont{CMU Typewriter Text}
+%\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
+%\usepackage[utf8]{inputenc}
+%\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
-\usepackage[ddmmyyyy]{datetime}
-\renewcommand{\dateseparator}{.}
+\usepackage[datesep={.}]{datetime2}
+\DTMsetdatestyle{ddmmyyyy}
+%\renewcommand{\dateseparator}{.}
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
@@ -96,7 +109,7 @@
\pagestyle{fancyplain}
\fancyhf{}
\fancyhead[R]{\thepage}
-\fancyhead[L]{\leftmark}
+\fancyhead[L]{\scshape\nouppercase\leftmark}
\renewcommand{\headrulewidth}{2pt}
%index
@@ -340,10 +353,10 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
\end{proof}
\section*{Практика 1: функтор $\Tor$}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 1: функтор $\Tor$}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 1: функтор $\Tor$}
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
-На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}). Кроме того, для решения задач~\ref{Pract1Prob2} и~\ref{Pract1Prob3} понадобится следствие из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits} (c.~\pageref{torpreservesfilteredcolimits}) и <факт о том, что группа это копредел конечно порождённых подгрупп>.
+На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}). Кроме того, для решения задач~\ref{Pract1Prob2} и~\ref{Pract1Prob3} понадобится следствие из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits} (c.~\pageref{torpreservesfilteredcolimits}) и факт о том, что группа это копредел конечно порождённых подгрупп.
Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано противоположное. Если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
@@ -610,7 +623,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Далее из куска последовательности $\overset{=0}{T_nP}\to T_{n}X\to T_{n-1}K_X\to\overset{=0}{T_{n-1}P}$ по индукции получаем, что $T_{n}X\cong T_{n-1}K_X\cong(L_{n-1}F)K_X\cong(L_nF)X$. Из конструкции длинной точной последовательности (теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}) изоморфизм получается естественный.
\end{proof}
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 2: плоские конечно представимые модули}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 2: плоские конечно представимые модули}
Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль (определение~\ref{def_injmodule}) и несколько фактов:
\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]\label{page_projinjdef}
$R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{rr}{\Hom_R(X,\pi)}&&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
@@ -787,7 +800,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\section*{Практика 3: гомологические размерности}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 3: гомологические размерности}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 3: гомологические размерности}
Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективные модули (c.~\pageref{def_injmodule}), функтор $\Ext$ и коммутирование левых производных функторов и фильтрованных копределов (c.~\pageref{derivedfunctorpreservesfcolimits}).
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
@@ -830,8 +843,8 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Tor_n^R(X,Y)\ne0\}$.
\end{itemize}
Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$\marginpar{\scriptsize \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_ring}{вспомните обозначение}} совпадают.
- \item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
- \item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshape конечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
+ \item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshape конечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конечно порождённых $M$. В другую сторону докажем более сильное неравенство~-- для однопорождённых модулей. Из задач~\ref{RIid} и \ref{gldim}
\[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,M)\ne0\}\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}\]
@@ -875,7 +888,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
Рассмотрим функторы $A,B,C\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$ и предположим, что для всех $i\in\Ob\mathcal{I}$ последовательность $A_i\overset{\alpha_i}{\hookrightarrow}B_i\overset{\beta_i}{\twoheadrightarrow}C_i$ точна и для всех $\phi\colon i\to j$ в диаграмме
\begin{equation}\label{elementsinfilteredcolimit_ses}
-\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
A_i\ar{d}{A\phi}\ar[hook]{r}{\alpha_i} & B_i\ar{d}{B\phi}\ar[two heads]{r}{\beta_i} & C_i\ar{d}{C\phi} \\
A_j\ar[hook]{r}{\alpha_j} & B_j\ar[two heads]{r}{\beta_j} & C_j
\end{tikzcd}
@@ -991,7 +1004,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
& \cdots\ar{r} & P_1^k\ar{rr} & & P_0^k\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_k} & & A_k\\
\end{tikzcd}
\]
- была коммутативной\marginpar{\vspace{-5em}\tinyконструкция резольвенты в общем случае не предполагает, что $(A\psi\phi)^i=(A\psi)^i(A\phi)^i$, только их гомотопность, но нам этого недостаточно}. В $\mathrm{Mod\mdash}R$ можно построить хорошие резольвенты: выберем
+ была коммутативной\marginpar{\vspace{-5em}\tiny конструкция резольвенты в общем случае не предполагает, что $(A\psi\phi)^i=(A\psi)^i(A\phi)^i$, только их гомотопность, но нам этого недостаточно}. В $\mathrm{Mod\mdash}R$ можно построить хорошие резольвенты: выберем
\[P_0^i\defeq\langle A_i\rangle_R\]
$\varepsilon_i$ отправляет элемент базиса, соответствующий $a\in A_i$ (обозначим его $[1]_a$) в $a$.
\begin{multicols}{2}
@@ -1023,7 +1036,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
$X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}\to R\mathrm{\mdash Mod}$~ функтор из фильтрованной категории, такой, что $\{A_i\}_{i\in\Ob\mathcal{I}}$~-- плоские модули.
Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~-- мономорфизм $\forall i\in\Ob\mathcal{I}$.
- Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow\colim(Y\otimes_R A_i)$~-- мономорфизм. $X\otimes_R\colim(A)\cong\colim(X\otimes_R A_i)$\todo{почему}\marginpar{\tinyвроде это не очень очевидно, но на лекциях я доказательства не помню} для любого $X$, поэтому $X\otimes_R\colim(A)\hookrightarrow Y\otimes_R\colim(A)$~-- мономорфизм, поэтому $\colim(A)$ плоский.
+ Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow\colim(Y\otimes_R A_i)$~-- мономорфизм. $X\otimes_R\colim(A)\cong\colim(X\otimes_R A_i)$\todo{почему}\marginpar{\tiny вроде это не очень очевидно, но на лекциях я доказательства не помню} для любого $X$, поэтому $X\otimes_R\colim(A)\hookrightarrow Y\otimes_R\colim(A)$~-- мономорфизм, поэтому $\colim(A)$ плоский.
\end{proof}
\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
$\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A_i,B)$.
@@ -1076,7 +1089,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{tikzcd}
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
- \marginpar{\tinyпоэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут потому что это покушение на аксиоматический строй гомолобической рерррации с целью неконструктивного переворота}В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
+ \marginpar{\tiny поэтому я сомневаюсь что вообще выборы будут потому что это покушение на аксиоматический строй гомолобической рерррации с целью неконструктивного переворота}В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b\in Y\smallsetminus X'$. Рассмотрим $J=\{r\in R\,|\,br\in X'\}$~-- правый идеал $R$. Определим $J\overset{\phi'}{\to}M\colon r\mapsto f'(br)$. Из условия теоремы существует $\phi\colon R\to M$, что $\phi|_{J}=\phi'$. Но тогда рассмотрим $X''=X'+bR$ и $f''\colon X''\to M$, который определен так: $f''(a+br)=f'(a)+\phi(r)$.
@@ -1102,7 +1115,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{multicols}
\end{proof}
\section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
\begin{enumerate}
\item Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по фон Нейману\index{Регулярное по фон Нейману кольцо}}, если для любого $a\in R$ существует $x\in X$ такой, что $axa=a$. Докажите, что $R$ регулярно по фон Нейману, если для любого конечно порождённого левого идеала $I$ модуль $R/I$ проективен.
@@ -1155,7 +1168,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{equation}
и аналогичная для $\psi$.
-Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tinyна лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним, \hyperlink{projinjdef}{факт} (стр.~\pageref{page_projinjdef}) что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
+Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tiny на лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним, \hyperlink{projinjdef}{факт} (стр.~\pageref{page_projinjdef}) что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
\[
\begin{tikzcd}
\Hom_\Z(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{эпиморфизм из}\\\text{инъективности }\Q}}}\ar{d}{\cong} &&&\Hom_\Z(\overset{\cong M}{M\otimes_RR},\Q)\ar{d}{\cong}\\
@@ -1203,7 +1216,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\[
0\to\underset{n}{Y_{\vphantom{n-1}}}\to\underset{n-1}{E_{n-1}}\to\cdots\to\underset{1}{E_1}\to\underset{0}{E_0}\to\underset{-1}{X_{\vphantom{-1}}}\to0
\]
- ``Множество''\marginpar{\vspace*{-2em}\tinyПо-хорошему, совсем непонятно, почему этот объект будет множеством, но мы проигнорируем эту проблему и просто поверим в это} $n$-расширений $X$ с помощью $Y$ обозначается $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$, $n\ge0$.
+ ``Множество''\marginpar{\vspace*{-2em}\tiny По-хорошему, совсем непонятно, почему этот объект будет множеством, но мы проигнорируем эту проблему и просто поверим в это} $n$-расширений $X$ с помощью $Y$ обозначается $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$, $n\ge0$.
\end{Def}
\paragraph{Вопрос из зала: почему $\mathcal{E}xt$ непусто?} При $n=0$ $n$-расширение выглядит как $0\to Y\to X\to0$, поэтому $\mathcal{E}xt^0_R(X,Y)\subseteq\Hom(Y,X)$. Там всегда есть нулевое отображение. При $n=1$ есть прямая сумма $0\to Y\to Y\oplus X\to X\to0$. При $n\ge2$ есть расширение $0\to Y\overset{\id_Y}{\to}Y\to0\to\cdots\to0\to X\overset{\id_X}{\to}X\to0$. Так что $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$ никогда не пусто.\vspace*{1em}
@@ -1214,12 +1227,12 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Y\ar{r} & E'_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E'_0\ar{r}& X
\end{tikzcd}
\]
-для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\colon X\to X=\id_X$ и $f_n\colon Y\to Y=\id_Y$), что все квадраты коммутируют. Это отношение рефлексивное и транзитивное, но не обязательно симметричное\marginpar{\vspace{-2em}\tinyНо оно симметричное для $n=1$, потому что $f_1$ будет изоморфизмом из 5-леммы}. Обозначим $\sim$~-- наименьшее отношение эквивалентности, порожденное этим отношением. Обозначим $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\defeq\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)/\sim$.
+для $-1\le k\le n$ существует $f_k\colon E_k\to E'_k$ ($f_{-1}\colon X\to X=\id_X$ и $f_n\colon Y\to Y=\id_Y$), что все квадраты коммутируют. Это отношение рефлексивное и транзитивное, но не обязательно симметричное\marginpar{\vspace{-2em}\tiny Но оно симметричное для $n=1$, потому что $f_1$ будет изоморфизмом из 5-леммы}. Обозначим $\sim$~-- наименьшее отношение эквивалентности, порожденное этим отношением. Обозначим $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\defeq\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)/\sim$.
Мы построим ``хорошую'' биекцию между $\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny]\Ext^n_R(X,Y)\ar[bend left=20]{rr}{\phi} & \text{ и } & \widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)\ar[bend left=20]{ll}{\psi}\end{tikzcd}$ как множествами, а потом докажем, что она сохраняет хорошо определенное сложение на $\widetilde{\Ext}\strut^n_{R}(X,Y)$, превращая её в изоморфизм $R$-модулей\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$\Ext^n_R(X,Y)$-- $R$-модуль\end{flushleft}}.
\begin{proof}[Конструкция биекции]
Возьмем $0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0$~-- элемент $\mathcal{E}xt^n_R(X,Y)$ и $P_*\to X$~-- проективную резольвенту $X$. Тогда существует $f_k\colon P_k\to E_k$ для $0\le k\le n-1$ и $f_n\colon P_n\to Y$, что диаграмма
- \marginpar{\vspace*{2em}\tinyПоднимаем $\id_X$ в резольвенты как в утверждении~\ref{resolmorphism}}\[
+ \marginpar{\vspace*{2em}\tiny Поднимаем $\id_X$ в резольвенты как в утверждении~\ref{resolmorphism}}\[
\begin{tikzcd}[cramped,column sep=scriptsize]
\cdots\ar{r} & P_{n+1}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}\ar{r} & P_{n}\ar{r}\ar{d}{\exists f_n} & P_{n-1}\ar{r}\ar{d}{\exists f_{n-1}} & \cdots\ar{r}\ar{d} & P_1\ar{rr}\ar[swap]{d}{\exists f_1}\ar{ddr}{\exists} & & P_0\ar[two heads]{r}\ar{d}{f_0} & X\ar[equal]{d}{\id_X}\\
& 0\ar{r} & Y\ar[hook]{r} & E_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & E_1\ar{rr}\ar[two heads]{rd} & & E_0\ar[two heads]{r} & X\\
@@ -1228,7 +1241,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\]
коммутативна. $0=P_{n+1}\to P_n\to P_{n-1}\overset{f_{n-1}}{\to}E_{n-1}=P_{n+1}\to P_{n}\overset{f_n}{\to}Y\hookrightarrow E_{n-1}$, значит, $P_{n+1}\to P_n\overset{f_n}{\to}Y=0$. Поэтому $f_n\in\ker(\Hom(P_n,Y)\to\Hom(P_{n+1},Y))$~-- коцикл в комплексе $\Hom(P_*,Y)$, значит, $f_n$ представляет какой-то класс в $\Ext^n_R(X,Y)$. Определим $\psi(0\to Y\to E_{n-1}\to\cdots\to E_0\to X\to0)=[f_n]$~-- класс, соответствующий $f_n$.
- Он не зависит от способа выбора $f_i$\marginpar{\tinyвспомните, что способ поднять отображение из проективного модуля не единственный}: из двух разных $f_i,f_i'$ как в доказательстве утверждения~\ref{projresolutionequivce} получается, что $f_n,f_n'$ отличаются на границу (так как в $Y$ в нижней строке идет нулевая стрелка).
+ Он не зависит от способа выбора $f_i$\marginpar{\tiny вспомните, что способ поднять отображение из проективного модуля не единственный}: из двух разных $f_i,f_i'$ как в доказательстве утверждения~\ref{projresolutionequivce} получается, что $f_n,f_n'$ отличаются на границу (так как в $Y$ в нижней строке идет нулевая стрелка).
Он не зависит от выбора резольвенты: все резольвенты гомотопически эквивалентны, поэтому $f_n'\colon P_n'\to Y$ поднимается до коцикла $P_n\to Y$ из того же класса эквивалентности.
%кажется, это все выборы\todo{Он не зависит от выборов}
@@ -1388,7 +1401,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
\begin{proof} Модули $\Barr_n$~-- свободные $\Z G$-модули. Нужно проверить, что $(\Barr_*,d_*)$~-- точный комплекс.
\begin{enumerate}
\item $d_{n-1}d_n=0$~-- почти понятно: слагаемые в сумме обнуляются (так же как для дифференциалов в топологии), осталось дописать про первое и последнее слагаемое.
- \item\label{proof_barresisexact} ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то есть построим отображения $s_{-1}\colon\Z\to\Barr_0$, $s_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}$, что $\pi s_{-1}=\id_\Z$, $s_{n-1}d_{n-1}+d_{n}s_{n}=\id_{\Barr_n}$. Тогда цепное отображение $\id_{\Barr_*}$ гомотопно $0$, а значит все гомологии нулевые.\marginpar{\tinyвспомните утв.~\ref{stmt_homequivisqis}}
+ \item\label{proof_barresisexact} ``Расщепим'' последовательность в каждом члене, то есть построим отображения $s_{-1}\colon\Z\to\Barr_0$, $s_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}$, что $\pi s_{-1}=\id_\Z$, $s_{n-1}d_{n-1}+d_{n}s_{n}=\id_{\Barr_n}$. Тогда цепное отображение $\id_{\Barr_*}$ гомотопно $0$, а значит все гомологии нулевые.\marginpar{\tiny вспомните утв.~\ref{stmt_homequivisqis}}
Определим $s_{-1}\colon1\mapsto[\;]$, $s_n\colon [g_1,\ldots,g_n]g_{n+1}\mapsto(-1)^{n+1}[g_1,\ldots,g_n,g_{n+1}]$.
\[(s_{-1}\pi+d_0s_0)([\;]g)=[\;]-d_0([g])=[\;]-([\;]-[\;]g)=[\;]g\]
@@ -1414,7 +1427,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
$H_1(G,\Z)\cong G_{\ab}$.
\end{stmt}
-Теперь применяем к ней $\Hom_{\Z G}(-,A)$. Из сопряженности $\otimes$ и $\Hom$ $\Hom_{\Z G}(X\otimes \Z G,A)\cong\Hom_\Z(X,A)$.
+Теперь применяем к ней $\Hom_{\Z G}(-,A)$. Из $\otimes$-$\Hom$ сопряженности $\Hom_{\Z G}(X\otimes \Z G,A)\cong\Hom_\Z(X,A)$.
\[
A\overset{a\mapsto\phi_a}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G,A)\overset{f\mapsto\phi_f}{\longrightarrow}\Hom_\Z(\Z G\otimes\Z G,A)\to\cdots
\]
