commit fe423987197d6aba683c295e22b55c3b1b323469
parent 74ce81757cfeb1b1d15a7f54d6a488c90d2bd5f4
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Tue, 25 Jan 2022 18:23:34 +0300
added more
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 157 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- |
2 files changed, 148 insertions(+), 9 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
% !TeX root = notes.tex
\documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
% Encoding
-\usepackage{fontspec}
+%\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
\setdefaultlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}
@@ -460,7 +460,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Очень простое следствие из комментария к теореме~\ref{LESforleftderivedfunctors} (см. с.~\pageref{LFkernelcomment}) для короткой точной последовательности $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$.
\end{proof}
- \item Пусть $0\to A\to B\to C\to 0$~-- короткая точная последовательность модулей с плоским $C$. Докажите, что $A$ плоский тогда и только тогда, когда $B$ плоский.
+ \item\label{Pract1Prob8} Пусть $0\to A\to B\to C\to 0$~-- короткая точная последовательность модулей с плоским $C$. Докажите, что $A$ плоский тогда и только тогда, когда $B$ плоский.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
Вспомним, что $\Tor_n^R(X,M)=L_n(-\otimes_RM)(X)=L_n(X\otimes_R-)(M)$. Запишем кусок длинной точной последовательности.
\[\cdots\to\Tor_2^R(X,C)\to\Tor_1^R(X,A)\to\Tor_1^R(X,B)\to\Tor_1^R(X,C)\to\cdots\]
@@ -553,7 +553,6 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
\end{tikzcd}
\end{center}
- %{\tiny\itshape я к сожалению не справился нарисовать эту диаграмму красиво}
\vspace*{\fill}
\end{multicols}
$i^{-1}g(x'+\im\alpha)=i^{-1}g(x')+i^{-1}\im if=i^{-1}g(x')+\im f$ ($i$~-- инъекция). Поэтому результат лежит в одном классе в $\coker f$.
@@ -740,7 +739,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\]
$L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X,\,i\ge1$.
\end{proof}
-\begin{Def}\label{def_flatmodule}
+\begin{Def}\label{def_flatmodule}\index{Плоский модуль}
$R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $-\otimes_RX$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
\end{Def}
\begin{Def}
@@ -789,7 +788,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\begin{Def}[тензорное произведение комплексов]\index{Тензорное произведение комплексов}
$U_*$~-- комплекс $\mathrm{{Mod}\mdash}R$, $V_*$~-- комплекс $R\mathrm{\mdash{Mod}}$. {\bfseries Тензорным произведением комплексов} $U_*\otimes_R V_*$ называется комплекс с \[(U_*\otimes_R V_*)_n\defeq\bigoplus_{i+j=n}(U_i\otimes_RV_j)\]
Достаточно определить дифференциал на прямом слагаемом: $u\otimes v\in U_i\otimes_RV_j$
- \[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\defeq\underset{\in U_{i-1}}{d^U_{i-1}(u)}\otimes v+(-1)^iu\otimes \underset{\in V_{i-1}}{d^V_{j-1}(v)}\]
+ \[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\defeq\underset{\in U_{i-1}}{d^U_{i-1}(u)}\otimes v+(-1)^iu\otimes \underset{\in V_{j-1}}{d^V_{j-1}(v)}\]
\[
\begin{tikzcd}[sep=scriptsize]
\ddots\ar{r}\ar{d}& \vdots\ar{d}\ar{r}& \vdots\ar{d}\ar{r} &\vdots\ar{d}\ar{r} & \adots\ar{d} \\
@@ -1248,7 +1247,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\end{equation}
и аналогичная для $\psi$.
-Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tiny на лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним, \hyperlink{projinjdef}{факт} (стр.~\pageref{page_projinjdef}) что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
+Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tiny на лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним \hyperlink{projinjdef}{факт}(стр.~\pageref{page_projinjdef}), что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
\[
\begin{tikzcd}
\Hom_\Z(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{эпиморфизм из}\\\text{инъективности }\Q}}}\ar{d}{\cong} &&&\Hom_\Z(\overset{\cong M}{M\otimes_RR},\Q)\ar{d}{\cong}\\
@@ -1490,7 +1489,7 @@ Y\ar[hook]{r} & K_{n-1}\ar{r} & \cdots\ar{r} & L_0\ar[two heads]{r}\ar{u}\ar[pha
Возьмем теперь бар-резольвенту $\Z$
\[
\begin{tikzcd}
-\cdots\ar{r}& \Z G\otimes\Z G\otimes\Z G\ar{rrr}{g\otimes h\otimes k\mapsto\begin{array}{l}h\otimes k\\-gh\otimes k\\+g\otimes hk\end{array}}&&& \Z G\otimes\Z G\ar{rr}{g\otimes h\mapsto h-gh} && \Z G\ar[two heads]{r}{\pi} & \Z
+\cdots\ar{r}& \Z G\otimes\Z G\otimes\Z G\ar{rrr}{g\otimes h\otimes k\mapsto\begin{array}{l}\phantom{+}h\otimes k\\-gh\otimes k\\+g\otimes hk\end{array}}&&& \Z G\otimes\Z G\ar{rr}{g\otimes h\mapsto h-gh} && \Z G\ar[two heads]{r}{\pi} & \Z
\end{tikzcd}
\]
Применим функтор $-\otimes_{\Z G}\Z$, тогда \[\Barr_n\otimes_{\Z G}\Z=((\Z G)^{\otimes n}\otimes_\Z\Z G)\otimes_{\Z G}\Z\cong(\Z G)^{\otimes n}\otimes_{\Z}(\Z G\otimes_{\Z G}\Z)\cong(\Z G)^{\otimes n}\]
@@ -1697,7 +1696,7 @@ A\ar[hook]{r}&E_2\ar[two heads,shift left=-0.7]{r}&\ar[shift left=-0.7,swap]{l}{
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
-
+\subsection{Расширения с произвольным ядром}
Теперь рассматриваем расширения $X\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, когда $X$ не обязательно абелева. Всё ещё есть гомоморфизм $E\to\Aut(X^{\op})$, работающий так: \[y\mapsto\nu_y,\;\nu_y(x)=y^{-1}xy\;\forall x,y\in E\text{.}\]
Но теперь если $y\in X$, то не обязательно $\nu_y=\id_X$. Однако всегда $\nu_y,y\in X$ лежит в $\Inn(X)$ (понятно). Получается, что отображение $y\mapsto\nu_y$ индуцирует отображение $G\overset{\psi}{\to}\Out(X)$. Получаем
\[
@@ -1712,7 +1711,7 @@ Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\\
Как раньше определим $f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)$. Определим отображение (как множеств) $\gamma\colon y\mapsto \gamma_y$, $\Aut(X)\ni\gamma_y\colon x\mapsto\sigma(y)^{-1}x\sigma(y)$.
-\[\bar{\gamma_y}=\psi(y)\text{~-- класс }\gamma_y\text{ в }\Out(X)\]
+\[\bar{\gamma}_y=\psi(y)\text{~-- класс }\gamma_y\text{ в }\Out(X)\]
\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition1}\gamma_y\gamma_z(x)=(\sigma(z)\sigma(y))^{-1}x\underbrace{(\sigma(z)\sigma(y))}_{=\sigma(zy)f(z,y)}=\nu_{f(z,y)}(\gamma_{zy}(x))\end{equation}
Аналогично абелевому случаю умножение в $E\overset{\mathcal{S}et}{\cong}G\times X$ определяется так:
\begin{equation}\label{eqn_arbext_multiplication}\tag{$*$}
@@ -1750,9 +1749,149 @@ Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\\
\end{lemma}
\begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kis3cocycle}]
Рассмотрим выражение $f(xyz,t)\gamma_t(f(xy,z)\gamma_zf(x,y))$ и преобразуем его разными способами
+ \begin{enumerate}
+ \item $\begin{aligned}[t]
+ &\overset{\text{\tiny из \ref{eqn_arbext_condition4}}}{=}f(xyz,t)\gamma_t(f(x,yz)f(y,z))\gamma_t(K(x,y,z))\\
+ &\overset{\text{\tiny из \ref{eqn_arbext_condition4}}}{=}\underbrace{f(xyz,t)\gamma_tf(x,yz)}\gamma_tf(y,z)\gamma_tK(x,y,z)\\
+ &=K(x,yz,t)f(x,yzt)\underbrace{f(yz,t)\gamma_tf(y,z)}\gamma_tK(x,y,z)\\
+ &=f(x,yzt)f(y,zt)f(z,t)\underbrace{(K(y,z,t)+K(x,yz,t)+\gamma_tK(x,y,z))}_{\text{\tiny сложение в }C_X\text{~-- умножение в }X}
+ \end{aligned}$
+ \item $\begin{aligned}
+ &=\underbrace{f(xyz,t)\gamma_tf(xy,z)}\underbrace{\gamma_t\gamma_zf(x,y)}\\
+ &\overset{\text{\tiny во второй скобке из \ref{eqn_arbext_condition1}}}{=}f(xy,zt)f(z,t)K(xy,z,t)\cdot f(z,t)^{-1}\gamma_{zt}f(x,y)f(z,t)\\
+ &=\underbrace{f(xy,zt)\gamma{zt}f(x,y)}f(z,t) K(xy,z,t)\\
+ &=f(x,yzt)f(y,zt)f(z,t)(K(xy,z,t)+K(x,y,zt))
+ \end{aligned}$
+ \end{enumerate}
+ Сравниваем 1 и 2, получаем условие на 3-коцикл.
\end{proof}
\begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kisinhomology}]
+ Вспомним равенство~\ref{eqn_arbext_condition1}: если $f$ эквивалентно $f'$, то $\nu_{f(x,y)}=\nu_{f'(x,y)}$, то есть $f,f'$ отличаются на элемент центра. Возьмем $h\colon G\times G\to C_X$, что $f'=fh$.
+
+ Из равенства~\ref{eqn_arbext_condition4} получаем,
+ \[K'(x,y,z)f'(x,yz)f'(y,z)=f'(xy,z)\gamma_zf(x,y)\]
+ Подставим $f'(x,y)=f(x,y)h(x,y)$ и перепишем элементы центра аддитивно
+ \[(K'(x,y,z)+h(x,yz)+h(y,z))f(x,yz)f(y,z)=(h(xy,z)+\gamma_zh(x,y))f(xy,z)\gamma_zf(x,y)\]
+ Перепишем в правой части по условию~\ref{eqn_arbext_condition4} и сократим, получим
+ \[K'(x,y,z)=K(x,y,z)\underbrace{-h(x,yz)-h(y,z)+h(xy,z)+\gamma_zh(x,y)}_{\in B^3(G,C_X)}\qedhere\]
+ \end{proof}
+Мы все доказали при фиксированном $\gamma$. Можно ли его менять?
+\begin{lemma}
+ Если $\gamma$ удовлетворяет условию~\ref{eqn_arbext_condition1} и $K$ удовлетворяет~\ref{eqn_arbext_condition4}, а $\gamma'$~-- другое поднятие $\psi$, то $\exists f'$, что $\gamma',f'$ удовлетворяет~\ref{eqn_arbext_condition1},~\ref{eqn_arbext_condition4} (для того же $K$).
+\end{lemma}
+\begin{proof} Чтобы поднятия соответствовали одному классу, нужно, чтобы $\gamma,\gamma'$ отличались на внутренний автоморфизм, то есть чтобы
+ $\gamma'_x=\nu_{g(x)}\gamma_x$ для некоторого $g\colon G\to X$.
+ \[\begin{aligned}
+ \gamma'_y\gamma'_x&=\nu_{g(y)}\gamma_y\nu_{g(x)}\gamma_x=\nu_{g(y)\gamma_yg(x)}\gamma_y\gamma_x\\
+ &=\nu_{g(y)\gamma_yg(x)}\nu_{f(x,y)}\gamma_{xy}\\
+ &=\nu_{g(y)\gamma_yg(x)}\nu_{f(x,y)}\nu_{g(xy)^{-1}}\gamma'_{xy}
+ &=\nu_{g(xy)^{-1}f(x,y)g(y)\gamma_yg(x)}\gamma'_{xy}
+ \end{aligned}\]
+ Получается, что $f'(x,y)=g(xy)^{-1}f(x,y)g(y)\gamma_yg(x)$.
+
+ Вычислением можно показать, что это $f'$ удовлетворяет~\ref{eqn_arbext_condition4}.
+\end{proof}
+Объединяя все эти леммы, получаем теорему
+\begin{thm}
+ Для $G,X,\psi\colon G\to\Out(X)$ можно выбрать $\gamma$~-- поднятие $\psi$ и $f$, что выполняется~\ref{eqn_arbext_condition1}. Определим $K(x,y,z)=f(y,z)^{-1}f(x,yz)^{-1}f(xy,z)\gamma_zf(x,y)$.
+
+ Существует расширение $G$ с помощью $X$, индуцирующее $\psi$, тогда и только тогда, когда $K=0$ в $H^3(G,C_X)$.
+\end{thm}
+Поэтому иногда элементы $H^3(G,C_X)$ называют \textit{препятствиями}\index{Препятствия для построения расширений} для построения расширения.
+\begin{thm}
+ Если существует расширение $G$ с помощью $X$, индуцирующее $G\overset{\psi}{\to}\Out(X)$\marginpar{\tiny $\psi$ индуцирует $\bar{\psi}\colon G\to\Aut(C_X)$, значит, структуру $G$-модуля на $C_X$.} то классы изоморфизмов всех таких расширений соответствуют элементам $H^2(G,C_X)$.
+\end{thm}
+\begin{proof}[Набросок доказательства.]
+ Если $[G,\gamma,f,X]$~-- некоторое расширение $G$ по $X$, то все другие расширения $[G,\gamma,fh,X]$, где $h\colon G\times G\to C_X$ и два расширения, соответствующие $fh$ и $fh'$ изоморфны, если $h-h'\in B^2(G,C_X)$.
+\end{proof}
+\section*{Практика 8: (ко)гомологии групп 2}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практика 8: (ко)гомологии групп 2}
+\begin{enumerate}
+ \item
+ \item
+ \item
+ \item Пусть $G$~-- некоторая группа порядка не меньше 3, $A$~-- $G$-модуль, а $h\colon G\times G\times G\to A$~-- нормализованный коцикл (т.е. такой, что $h(1,x,y)=h(x,1,y)=h(x,y,1)=0$ для всех $x,y\in G$). Пусть $F$~-- свободная группа на множестве $\{f_{x,y}|x,y\in G\smallsetminus\{1\}\}$. Для удобства положим $f_{1,x}=f_{x,1}=0$ для всех $x\in G$. Обозначим группу $A\times F$ через $X$. Для $x\in G$ определим гомоморфизм $\phi(x)\colon X\to X$ равенствами $\phi(x)(a)=xa$ для $a\in A$ и $\phi(x)(f_{y,z})=(h(x,y,z),f_{x,y}f_{xy,z}f^{-1}_{x,yz})$. Докажите, что
+ \begin{itemize}
+ \item Для любого $x\in G$ отображение $\phi(x)$ является автоморфизмом;
+ \item Отображение $\phi\colon G\to\Aut(X)$ индуцирует гомоморфизм $\psi\colon G\to\Out(X)$;
+ \item Препятствием к нахождению расширения группы $G$ группой $X$, индуцирующего гомоморфизм $\psi$, является класс коцикла $h$.
+ \end{itemize}
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+ Заметим, что определение эндоморфизма это почти в точности условие~\ref{eqn_arbext_condition4} на 3-коцикл (только тут левые модули).
+ Докажем, что $\phi(x)\phi(y)=\nu_{f_{x,y}}\phi(xy)$. И правда:
+ \[\phi(x)\phi(y)(a)=xya\]
+ \[\phi(x)\phi(y)(f_{z,t})=\phi(x)(h(y,z,t),f_{y,z}f_{yz,t}f^{-1}_{y,zt})=\]
+ \[\hspace{-3em}=(xh(y,z,t)+h(x,y,z)+h(x,yz,t)-h(x,y,zt),f_{x,y}f_{xy,z}f^{-1}_{x,yz}f_{x,yz}f_{xyz,t}f^{-1}_{x,yzt}(f_{x,y}f_{xy,zt}f^{-1}_{x,yzt})^{-1})\]
+ В первой компоненте до условия на коцикл не хватает $-h(xy,z,t)$.
+ \[=(h(xy,z,t),f_{x,y}f_{xy,z}f_{xyz,t}f_{xy,zt}^{-1}f_{x,y}^{-1})\]
+ $\phi(x)\phi(x^{-1})=\nu_{f_{x,y}}\phi(1)$~-- внутренний автоморфизм, поэтому для всех $x$ $\phi(x)$~-- биекция.
+
+ Так как группа $F$ свободная и у ней больше одного порождающего, у нее тривиальный центр, поэтому $C_X=A$. По построению $h$~-- это в точности препятствие.
+ \end{proof}
+ \item Пусть $A$~-- $C_2$-модуль, $h\colon C_2\times C_2\times C_2\to A$~-- нормализованный коцикл. Обозначим через $\rho$ образующую $C_2$. Пусть $\phi$~-- автоморфизм $A\times C_\infty^{\oplus\Z}$, определенный равенствами $\phi(a)=\rho a$ для $a\in A$ и $\phi([x]_i)=[x]_{i+2}$, где $[x]_{i}$~-- элемент $C_\infty^{\oplus\Z}$, у которого на позиции $i$ стоит $x$, а на остальных~-- единицы (мультипликативные). Пусть $\gamma\colon C_{\infty}\to\Aut(A\times C_\infty^{\oplus\Z})$~-- гомоморфизм, переводящий образующую $C_\infty$ в $\phi^2$. Введем $X=(A\times C_\infty^{\oplus\Z})\rtimes_{\gamma}C_\infty$. Продолжим $\phi$ до автоморфизма $X$, положив $\phi(0,1,y)=(h(\rho,\rho,\rho),1,y)$. Докажите, что
+ \begin{itemize}
+ \item Отображение $C_2\to\Aut(X)$, переводящее единицу в $\id$, а $\rho$ в $\phi$ индуцирует гомоморфизм $\psi\colon C_2\to\Out(X)$;
+ \item Препятствием к нахождению расширения группы $C_2$ группой $X$, индуцирующего гомоморфизм $\psi$, является класс коцикла $h$.
+ \end{itemize}
+ \begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
\end{proof}
+\end{enumerate}
+\section{Формулы Кюннета и теоремы об универсальных коэффициентах}
+\subsection{Формулы Кюннета}
+Идея в том, что пусть есть $X_*$~-- комплекс правых $R$-модулей, $Y_*$~-- комплекс левых $R$-модулей. Знаем $H_*(X_*)$ и $H_*(Y_*)$, хотим научиться выражать $H_*(X_*\otimes_RY_*)$ и $H_*(\Hom_R(X_*,Y_*))$.
+\begin{lemma}\label{lesforhomology}
+ $U_*,V_*,W_*$~-- комплексы, цепные отображения $U_*\overset{f_*}{\hookrightarrow}V_*\overset{g_*}{\twoheadrightarrow}W_*$~-- КТП для всех $i\in\Z$.
+
+ Тогда существует $\delta_i\colon H_{i+1}(W_*)\to H_i(U_*)$ и длинная точная последовательность
+ \[
+ \cdots\to H_{i+1}(W_*)\overset{\delta_i}{\to}H_i(U_*)\overset{Hf_i}{\to}H_i(V_*)\overset{Hg_i}{\to}H_i(W_*)\overset{\delta_{i-1}}{\to}H_{i-1}(U_*)\to\cdots
+ \]
+ естественное по $U_*,V_*,W_*$, то есть для любых морфизмов
+ \begin{tikzcd}[sep=tiny]
+ U_*\ar[hook]{r}\ar{d}{\alpha_*}&V_*\ar[two heads]{r}\ar{d}{\beta_*}&W_*\ar{d}{\gamma_*}\\
+ U'_*\ar[hook]{r}&V'_*\ar[two heads]{r}&W'_*\\
+ \end{tikzcd}
+ индуцируются морфизмы длинных точных последовательностей, что все квадраты коммутативные.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ Как лемма о змее (утв.~\ref{snakelemma}).
+\end{proof}
+\begin{thm}[Формула Кюннета для гомологий\index{Формулы Кюннета}]\marginpar{Лекция 10\\11 октября}
+ $U_*$~-- комплекс левых $R$-модулей, $U_*$~-- комплекс правых $R$-модулей. $U_i$ и $d_*(U_i)$ плоские для всех $i\in\Z$. Тогда существуют естественная короткая точная последовательность, естественная по $U_*$,$V_*$
+ \[
+ \begin{tikzcd}
+ \bigoplus\limits_{i+j=n}H_iU_*\otimes_R H_jV_*\ar[hook]{r}&H_n(U_*\otimes_RV_*)\ar[two heads]{r}&\bigoplus\limits_{i+j=n-1}\Tor_1^R(H_iU_*,H_jV_*)
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{thm}
+\begin{proof}
+ Комплекс $U_*$ разбивается на короткие точные последовательности $Z_i\hookrightarrow U_i\twoheadrightarrow B_{i-1}$. $U_i,B_i$ плоские, значит $Z_i$ тоже (задача~\ref{Pract1Prob8} c первой практики). Рассмотрим комплексы $Z_*$,$B_*$ с нулевым дифференциалом и короткую точную последовательность $Z_*\overset{\iota_*}{\hookrightarrow}U_*\overset{\pi_*}{\twoheadrightarrow}B_*[-1]$. Все модули плоские, поэтому последовательность\[\begin{tikzcd}Z_*\otimes_RV_*\ar[hook]{r}{\iota_*\otimes\id_{V_*}}&U_*\otimes_RV_*\ar[two heads]{r}{\pi_*\otimes\id_{V_*}}&B_*[-1]\otimes_RV_*\end{tikzcd}\] тоже точная.
+
+ По лемме~\ref{lesforhomology} есть длинная точная последовательность
+ \[\hspace{-6em}
+ \begin{tikzcd}[sep=tiny]
+ \cdots\ar{r}&H_{n+1}(B_*[-1]\otimes_RV_*)\ar{r}{\delta}&H_n(Z_*\otimes_RV_*)\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&H_n(U_*\otimes_RV_*)\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&H_n(B_*[-1]\otimes_RV_*)\ar{r}{\delta}&\cdots\\
+ &&&\coker\delta\ar[hook]{ur}&&\ker\delta\ar[hook]{ur}&
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ Поймем, что такое ядро и коядро $\delta$. Для этого вспомним, как устроено это отображение. Изначально (до того как потензорили с $V_*$) $\delta=\pi^{-1}d^U\iota^{-1}$. Отображение $\pi$ совпадает с $d^U$, отображение $\iota$~-- вложение, то есть все $\delta$~-- это просто стандартное вложение $B_i\hookrightarrow Z_i$.
+
+ Так как модули $Z_i,B_i,U_i$ плоские, то $H_n(Z_i\otimes_RV_j)=Z_i\otimes_RH_n(V_j)$, отображение $\delta=(B_*\hookrightarrow Z_i)\otimes\id_{V_*}$.
+\end{proof}
+\begin{Def}
+$U_*,V_*$~-- правые $R$-комплексы, Тогда $\Hom_R(U_*,V_*)$~-- комплекс из модулей $\Hom_R(U_*,V_*)_n=\prod\limits_{j-i=n}\Hom_R(U_i,V_j)$ с дифференциалом\[d^{\Hom_R(U_*,V_*)}_n((f_i\colon U_i\to V_{i+n}))=((f_{i-1}d^U_{i-1}+(-1)^{n+1}d_{i+n-1}^Vf_i)\colon U_i\to V_{i+n-1})\]
+\end{Def}
+\begin{thm}[Формула Кюннета для когомологий]
+ Как и раньше, $U_*,V_*$~-- правые $R$-комплексы, что $U_i$ и $d(U_i)$~-- проективные $R$-модули. Тогда существует короткая точная последовательность
+ \[
+ \begin{tikzcd}
+ \prod\limits_{i\in\Z}\Ext_R^1(H_iU_*, H_{i+n+1}V_*)\ar[hook]{r}&H_n\Hom_R(U_*,V_*)\ar[two heads]{r}&\prod\limits_{i\in\Z}\Hom_R(H_iU_*,H_{i+n}V_*)
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{thm}
+\begin{proof}
+ Опять $Z_*\hookrightarrow U_*\twoheadrightarrow B_*[-1]$. $U_i,B_i$ проективные, значит, последовательность расщепляется, значит, $Z_i$ прямое слагаемое $U_i$, значит, он тоже проективный.
+\end{proof}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
