commit 4b7db82bf451fd301964ef6054abcd9c7be38118
parent 6c4f204f85596a7efd9b01e7603b219c86f9bf93
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date:   Sun, 19 Sep 2021 14:21:38 +0300

fixed typos; added practice problems; began lecture 3

Diffstat:
M
notes.pdf
 | 
0

M
notes.tex
 | 
119
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------

2 files changed, 108 insertions(+), 11 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -1,3 +1,7 @@
+% !TeX encoding = UTF-8
+% !TeX spellcheck = ru_RU
+% !TeX root = notes.tex
+
 \documentclass[utf8,a4paper,12pt]{article}
 \usepackage{cmap}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
@@ -47,6 +51,7 @@
 \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
 \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
 \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
+\DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
 \newcommand\Z{\mathbb{Z}}
 \newcommand\Q{\mathbb{Q}}
 \newcommand\N{\mathbb{N}}
@@ -62,7 +67,7 @@
 %1-time use
 \newtheorem*{fivelemma}{5-лемма}
 
-\usepackage{epigraph}
+\makeindex
 
 \begin{document}
 \section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
@@ -104,10 +109,10 @@
 	$(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\overset{\text{def}}{=}Z_n/B_n$.
 \end{Def}
 Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigoplus_{i\in\Z}H_i(X)$.
-\begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}
+\begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}\label{shiftedcomplex}
 	$X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим комплекс $X[n]_i=X_{i+n}$ с дифференциалом $d[n]_i=(-1)^n d_{i+n}$.
 \end{Def}
-\begin{Def}\index{Цикличный комплекс}\index{Точный комплекс}
+\begin{Def}\index{Цикличный комплекс}\index{Точный комплекс}\label{cycliccomplex}
 	Комплекс $X$ называется цикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''.
 \end{Def}
 \begin{Def}\index{Цепное отображение}
@@ -127,17 +132,22 @@
 	\columnbreak\vspace*{\fill}
 	\noindent\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=small]
 	X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar[labels=description]{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^X_{n-1}}&X_{n-1}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n-1}}\\
-	& \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[hook]{urr}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
+	& \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[hook]{urr}\ar[]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
 	& \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[hook]{drr}\ar[two heads]{r} & H_nY\\
 	Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \ar{r}{d^Y_{n-1}}&Y_{n-1}
 	\end{tikzcd}
 	\vspace*{\fill}
 \end{multicols}
-
 \end{proof}
-
 Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(\cdot)$ переводит композицию в композицию. И понятно, что переводит $\id$ в $\id$. Короче, $H_n(\cdot)$~-- функтор.
 
+%Если $H_n(f)$ эпиморфизм, то $(3)$ эпиморфизм, а значит $(1)$ эпиморфизм. Если $H_n(f)$ мономорфизм, то $\ker(3)=\im d_n^X$, значит, $(1)$~-- мономорфизм и $(2)$~-- изоморфизм.
+\begin{stmt}[которого не было на лекциях]
+	$H_n$~-- аддитивный функтор.
+\end{stmt}
+\begin{proof}
+	TODO
+\end{proof}
 \begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
 	Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$.
 \end{Def}
@@ -171,7 +181,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 \begin{exc}
 	$P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$(что то же самое, $T\cong P'\oplus h(P)$) $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис'').
 \end{exc}
-\begin{proof}[Решение] Обозначим $F(P)$~-- свободный модуль, порожденный элементами $P$.Есть понятная сюрьекция $p\colon F(P)\twoheadrightarrow P$.
+\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax Обозначим $F(P)$~-- свободный модуль, порожденный элементами $P$.Есть понятная сюрьекция $p\colon F(P)\twoheadrightarrow P$.
 	\begin{enumerate}
 		\item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективности такая конструкция работать не будет. Например, у $\Z$-модулей $\Z/n\Z$ вообще нет ненулевых гомоморфизмов в $\Z^n$.} Из проективности \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists i}\\F(P)\ar[two heads,swap]{r}{p}&P\end{tikzcd}. $pi=\id$, то есть $P$~-- прямое слагаемое $F(P)$.
 		\item[$2\Rightarrow1$] Подходит $F(P)$. Вспомним, что он проективен.
@@ -180,6 +190,8 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 		T\ar[two heads]{rr} &      & M &
 		\end{tikzcd}
 		\item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=F(P)$.
+		\item[$1\Rightarrow4$] аоао не знаю я хлебушек
+		\item[$1\Leftarrow4$] добавил чтобы утверждение ниже уехало на следующую страницу а оно не уехало
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Для любого модуля $M$ существует проективный модуль $P$ и $P\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} M$.\end{stmt}
@@ -267,6 +279,44 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 \section{Практика 1}
 {\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
 
+На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули.
+
+Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано противоположное. Если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
+
+\begin{enumerate}[start=0]
+	\item Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
+	\begin{itemize}
+		\item $M$ плоский;
+		\item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$.
+		\item $\Tor_n^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$ и любого $n>1$.
+	\end{itemize}
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+		Рассмотрим короткую точную последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ и длинную точную последовательность для $\Tor_n^R(X,M)=L_n(M\otimes_R-)(X)$.
+		\begin{align*}\hspace{-8em}
+		\cdots\to\Tor_2^R(X,M)\to\Tor_1^R(K_X,M)\to\Tor_1^R(P,M)\to\Tor_1^R(X,M)\to M\otimes_R K_X\to M\otimes_R P\twoheadrightarrow M\otimes_R X
+		\end{align*}
+		Пусть $M$ точный, тогда $M\otimes_R K_X\hookrightarrow M\otimes_R P$ мономорфизм. Из точности длинной последовательности $\Tor_1^R(X,M)=0$. Если $\Tor_1^R(X,M)=0$, то $M\otimes_R K_X\hookrightarrow M\otimes_R P$ мономорфизм, то есть $M$ плоский.
+
+		Заметим, что $\Tor_1^R(K_X,M)=0$. Кроме того, $\Tor_n^R(P,M)=0$ (производный функтор от проективного модуля). Поэтому $\Tor_2^R(X,M)\hookrightarrow\Tor_1^R(K_X,M)=0$ мономорфизм. Поэтому $\Tor_2^R(X,M)=0$. В обратную сторону так же. Дальше аналогично.
+	\end{proof}
+	\item Пусть $A$~-- абелева группа. Вычислите $\Tor_n^\Z(\Z/m\Z,A)$ для всех $m,n>0$.
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+		$\Z\overset{\cdot m}{\hookrightarrow}\Z\twoheadrightarrow\Z/m\Z$~-- короткая точная последовательность для $\Z/m\Z$.
+
+		\[
+		0=\Tor_1^R(\Z,A)\to\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)\to A\to A\twoheadrightarrow\Z/m\Z\otimes_{\Z}A
+		\]
+		Все старшие торы, понятно, нулевые. $\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\cdot m)\otimes1}{\longrightarrow}\Z\otimes_{\Z}A)$. В ядро попадают все элементы $a\in A$, что $ma=0$.
+	\end{proof}
+	\item Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
+	\item Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
+	\item Докажите, что $\Tor_1^\Z(\Q/\Z,A)\cong\{a\in A|\exists m\ne 0\colon ma=0\}$.
+	\item Пусть $A$~-- абелева $m$-группа. Вычислите $\Tor_n^{\Z/m\Z}(\Z/d\Z,A)$ для всех $n\ge 0$ и $d|m$.
+	\item Докажите, что $\Tor_1^R(R/I,R/J)\cong\frac{I\cap J}{IJ}$ для любых двусторонних идеалов кольца $R$.
+	\item Докажите, что $\Tor_{n+1}^R(R/I,X)\cong\Tor_n^R(I,X)$ для любых правого идеала $I$, левого модуля $X$ и любого $n\ge 1$.
+	\item Пусть $0\to A\to B\to C\to 0$~-- короткая точная последовательность модулей с плоским $C$. Докажите, что $A$ плоский тогда и только тогда, когда $B$ плоский.
+\end{enumerate}
+
 \section{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября}
 \begin{Def}\index{Точный слева функтор}\index{Точный справа функтор}\index{Точный функтор}
 	$\mathcal{A},\mathcal{B}$~-- абелевы категории (например, категории модулей). Аддитивный ковариантный функтор $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ в $\mathcal{A}$ последовательность $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ в $\mathcal{B}$ точная справа (соотв. точная слева, точная).
@@ -277,7 +327,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 	$P\overset{\varepsilon}{\to} M$ и $Q\overset{\tau}{\to} N$~-- проективные резольвенты. Тогда существует единственный с точностью до гомотопической эквивалентности морфизм комплексов $f_*\colon P\to Q$, что $\tau f_0=f\varepsilon$.
 \end{stmt}
 Доказывается собственно точно так же.
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Производный функтор}
 	$F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (ковариантный аддитивный) точный справа функтор. Определим $i$-й производный функтор $(L_iF)(\cdot)$ так: пусть $M\in\mathrm{Mod\mdash}R$, $P_*\to M$~-- проективная резольвента. Тогда $(L_iF)(M)\overset{\text{def}}{=}H_i(F(P_*))$.
 
 	Так как проективные резольвенты эквивалентны\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$F(P_*)$~-- комплекс, потому что $F(d_i)F(d_{i+1})=F(d_id_{i+1})=F(0)=0$ (так что $\im Fd_{i+1}\subseteq\ker Fd_i$).\end{flushleft}} с точностью до гомотопической эквивалентности, а они квазиизоморфизмы, определение корректно (с точностью до изоморфизма).
@@ -459,15 +509,15 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 \end{enumerate}
 Оказывается, это работает как ``аксиоматическое'' определение производных функторов.
 \begin{thm}
-	Если $T_n$ удовлетворяет свойствам (\ref{derfunct_prop_begin}-\ref{derfunct_prop_end}), то $T_n\cong L_nF$ для некоторого $F$.
+	Если $T_n$ удовлетворяет свойствам (\ref{derfunct_prop_begin}-\ref{derfunct_prop_end}), то $T_n\cong L_nF$ для некоторого точного справа функтора $F$.
 \end{thm}
 \begin{proof}
 	Для любого модуля $X$ найдется точная последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ с проективным $P$.
 	По пункту~\ref{derfunct_prop_end} для нее существует длинная точная последовательность
 	\[
-	\cdots\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX
+	\cdots \to T_2P\to T_2X\to T_1K_X\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX
 	\]
-	По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Дальше аналогично.
+	По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. А дальше как?
 \end{proof}
 \section{Практика 2}
 Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль и следующий
@@ -495,4 +545,51 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
 	\item Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
 	\item Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
 \end{enumerate}
+\section{Функтор $\Tor$}\marginpar{Лекция 3\\16 сентября}\label{torfunctor}
+\begin{Def}
+	$F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bfseries $F$-ацикличным}, если $(L_iF)T=0\,\forall i>0$.
+\end{Def}
+\begin{lemma}
+	$T_*\to X$~-- $F$-ацикличная резольвента (то есть резольвента, где все модули $F$-ацикличные). Тогда $(L_nF)X\cong H_nFT_*$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Рассмотрим последовательность $K_X\hookrightarrow T_0\twoheadrightarrow X$ и запишем для нее длинную точную последовательность:
+	\[
+	\cdots\to L_1FK_X\to \overset{=\{0\}}{L_1FT_0}\to L_1FX\to FK_X\to FT_0\twoheadrightarrow FX
+	\]
+	$L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X\,i\ge1$.
+\end{proof}
+\begin{Def}
+	$U_*,V_*$~-- комплексы, $f\colon U_*\to V_*$~-- морфизм комплексов. {\bfseries Конусом $f$} $\Cone(f)$ называется комплекс $U_*[-1]\oplus V_*$ \marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{shiftedcomplex}} с дифференциалом $\begin{pmatrix}
+	d^{U[-1]} & 0\\
+	f & d^{V}
+	\end{pmatrix}$. Это действительно комплекс:\marginpar{\vspace{3em}\tiny напишите если вы можете поправить это страшное уродство}\[
+	\begin{pmatrix}
+	d^{U[-1]} & 0\\
+	f & d^{V}
+	\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
+	d^{U[-1]} & 0\\
+	f & d^{V}
+	\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+	-d^{U} & 0\\
+	f & d^{V}
+	\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
+	\left(d^{U}\right)^2 & 0\\
+	\underset{\mathclap{\substack{\text{0 по определению}\\\text{морфизма}\\\text{комплексов}}}}{-fd^U+d^Vf} & \left(d^{V}\right)^2
+	\end{pmatrix}=0
+	\]
+\end{Def}
+\begin{lemma}
+	$f\colon U_*\to V_*$~-- цепное отображение. Тогда $f$~-- квазиизоморфизм $\iff\Cone(f)$ цикличен\marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{cycliccomplex}}.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Запишем условие цикличности: пусть $U_{i-1}\oplus V_i\ni(u,v)\in \ker d_{i-1}$. То есть $d^U(u)=0$ и $f(u)+d^V(v)=0$. $(u,v)$ также лежит в образе, значит, $\exists(u',v')\colon u=-d^U(u')$ и $v=f(u')+d^V(v')$.
+
+	\ldots
+
+\end{proof}
+\begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}
+	Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. Функтор $\Tor$~-- это $\Tor_n^R(A,B)\overset{\text{def}}{=}L_n(-\otimes_R B)(A)$.
+\end{Def}
+\printindex
 \end{document}
 \ No newline at end of file