commit 6c4f204f85596a7efd9b01e7603b219c86f9bf93
parent b5ece52d0a07f2d298924171b7ce436f43d8f14c
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Sat, 18 Sep 2021 20:20:41 +0300
added indices; lecture 2
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 368 | +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------- |
2 files changed, 322 insertions(+), 46 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -3,16 +3,30 @@
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools}
+\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
-\usepackage{multicol}
-\usepackage{enumitem}
+\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
+\usepackage{makeidx} % indices
+%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
+\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
-\definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39}
-\usepackage[left=1.25cm,right=1.25cm,
-top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
+%for margin notes
+\reversemarginpar
+
+\definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39}
+\definecolor{cadmiumgreen}{rgb}{0.0, 0.42, 0.24}
+\definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6}
+\definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
+\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
+\hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
+ colorlinks,
+ linkcolor={cadmiumgreen},
+ urlcolor={pigmentblue}
+}
+% reverse column, to typeset adjoint functors or bijections like "f: F<=>G :g"
\newcommand*\cocolon{%
\nobreak
\mskip6mu plus1mu
@@ -23,65 +37,80 @@ top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\mskip2mu
\relax
}
+\mathchardef\mdash="2D
+\DeclareMathOperator{\op}{op}
+
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
+\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
+\newcommand\N{\mathbb{N}}
+
\setcounter{section}{-1}
\newtheorem{Def}{Определение}
\newtheorem{stmt}{Утверждение}
+\newtheorem{thm}{Теорема}
+\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{exc}{Упражнение}
+%1-time use
+\newtheorem*{fivelemma}{5-лемма}
+
+\usepackage{epigraph}
+
\begin{document}
-\section*{Введение}
+\section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
+%\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому -3 от 6 не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
Зачем нужна гомологическая алгебра:
\begin{enumerate}
\item Работа с "препятствиями":
\begin{enumerate}
\item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A\otimes_{\Z}C\hookrightarrow B\otimes_{\Z}C$? Оказывается, что за ``немономорфность'' отвечает $\Tor_\Z(B/A,C)$. Если он равен $0$, то есть мономорфизм.
- \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечнопорожденные). Если $R$ "достаточно хорошее", то выполнена теорема Жордана-Гельдера: существует
+ \item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечнопорожденные). Если $R$ ``достаточно хорошее'', то выполнена теорема Жордана-Гёльдера: существует
$$M=M_0\ge M_1\ge\ldots\ge M_n=\{0\}$$
где $M_i/M_{i+1}$ простые. Значит, нужно описать простые модули и как из них составляются непростые.
(можно доказать, что) есть короткая точная последовательность $$S\hookrightarrow M\twoheadrightarrow T$$
- где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличается'' от $S\oplus T$ отвечает $\Ext_R(T,S)$. Если он равен 0, то $M\cong S\oplus T$. Иначе может быть, что $M\not\cong S\oplus T$.
+ где $S,T$~-- простые. За то, насколько $M$ ``отличается'' от $S\oplus T$, отвечает $\Ext_R(T,S)$. Если он равен 0, то $M\cong S\oplus T$. Иначе может быть, что $M\not\cong S\oplus T$.
\end{enumerate}
\item Поиск инвариантов.
\begin{enumerate}
\item В топологии (ну понятно)
- \item В алгебре: Алгебры сложно классифицировать с точностью до изоморфизма. Но можно брать производные категории (?) и классифицировать с точностью до их эквивалентности. Если эквивалентны, то изоморфны их (ко)гомологии Хохшильда(??)
+ \item В алгебре: алгебры сложно классифицировать с точностью до изоморфизма. Но можно брать производные категории (?) и классифицировать с точностью до их эквивалентности. Если эквивалентны, то изоморфны их (ко)гомологии Хохшильда(??)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Основные определения}
\subsection{Компл\'{е}ксы}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Комплекс}
Компл\'{е}кс $R$-модулей~-- (бесконечная в обе стороны) последовательность модулей $X_i$ $(i\in\Z)$ с гомоморфизмами $d_i\colon X_{i+1}\to X_i$, что $d_{i}\circ d_{i+1}=0\,\forall i\in\Z$.
$$
\cdots\to X_3\overset{d_2}{\to}X_2\overset{d_1}{\to}X_1\overset{d_0}{\to}X_0\overset{d_{-1}}{\to}X_{-1}\overset{d_{-2}}{\to}X_{-2}\to\cdots
$$
\end{Def}
Немного переформулируем определение:
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Градуированный модуль}
Градуированный модуль~-- модуль $X$ с разложением $X=\bigoplus_{i\in\Z}X_i$.
- Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
+ Если $X,Y$~-- градуированные модули (с прямыми слагаемыми разложения $X_i$, $Y_i$), то гомоморфизм $f\colon X\to Y$ {\bfseries степени $m$}, если $\forall i\in\Z\; f(X_i)\subseteq Y_{i+m}$. Обозначение: $|x|=i\overset{\text{def}}{\iff}x\in X_i$. $|f|$~-- степень $f$.
\end{Def}
-\begin{Def} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def}
+\begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def}
\begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный модуль с дифференциалом степени (в нашем случае) $-1$.\end{Def}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Гомологии}
$(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\overset{\text{def}}{=}Z_n/B_n$.
\end{Def}
Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigoplus_{i\in\Z}H_i(X)$.
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}
$X$~-- комплекс, $n\in\Z$. Через $X[n]$ обозначим комплекс $X[n]_i=X_{i+n}$ с дифференциалом $d[n]_i=(-1)^n d_{i+n}$.
\end{Def}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Цикличный комплекс}\index{Точный комплекс}
Комплекс $X$ называется цикличным, если $H_n(X)=0\,\forall n\in\Z$. Еще говорят: ``$X$ точен в каждом члене''. Если $\im d_n=\ker d_{n-1}$, то говорят ``$X$ точен в $X_n$''.
\end{Def}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Цепное отображение}
$(X,d^X)$, $(Y,d^Y)$~-- комплексы. Гомоморфизм $f\colon X\to Y$~-- гомоморфизм комплексов(иногда говорят ``цепное отображение''), если $|f|=0$ и $fd^X=d^Yf$.
\end{Def}
\begin{stmt}
@@ -89,39 +118,39 @@ top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\end{stmt}
\begin{proof}
\begin{multicols}{2}
- Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setlength\parskip{-5pt},leftmargin=0.5cm,itemindent=.4cm,labelwidth=\itemindent,labelsep=0cm,align=left]
+ Заметим следующее: \begin{enumerate}[before=\setlength\parskip{-5pt},leftmargin=0.5cm,itemindent=.4cm,labelwidth=\itemindent,labelsep=0cm,align=left]
\itemsep0em
\item $x\in\ker d_{n-1}^X\Rightarrow 0=f_{n-1}d_{n-1}^X(x)=d_{n-1}^Yf_{n}(x)\Rightarrow f_{n}(\ker d_{n-1}^X)\subseteq\ker d_{n-1}^Y$
\item $f_n(\im d_n^X)=f_nd_n^X(X_{n+1})=d_n^Yf_{n+1}(X_{n+1})\subseteq\im d_n^Y$
- \item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно.
+ \item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно.\qedhere
\end{enumerate}
-
- \columnbreak
- \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
- X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^x_{n-1}}&X_{n-1}\ar{ddd}{f_{n-1}}\\
- & \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[urr]\ar[hook]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
- & \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[drr]\ar[two heads]{r} & H_nY\\
+ \columnbreak\vspace*{\fill}
+ \noindent\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=small]
+ X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar[labels=description]{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^X_{n-1}}&X_{n-1}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n-1}}\\
+ & \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[hook]{urr}\ar[hook]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
+ & \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[hook]{drr}\ar[two heads]{r} & H_nY\\
Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \ar{r}{d^Y_{n-1}}&Y_{n-1}
\end{tikzcd}
+ \vspace*{\fill}
\end{multicols}
+
\end{proof}
Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(\cdot)$ переводит композицию в композицию. И понятно, что переводит $\id$ в $\id$. Короче, $H_n(\cdot)$~-- функтор.
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$.
\end{Def}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Гомотопия}
$f,g\colon X\to Y$~-- морфизмы комплексов. {\bfseries Гомотопией} между $f$ и $g$ называется гомоморфизм $s\colon X\to Y$, $|s|=1$, что $f-g=sd^X+d^Ys$. Обозначают $f\sim g$.
\[\begin{tikzcd}[sep=normal]
- \cdots\ar{r}\ar{dd} & X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[sloped]{f_{i+1}-g_{i+1}} & X_i\ar{r}{d^X_{i-1}}\ar{dd}[sloped]{f_{i}-g_{i}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i+1}} & X_{i-1}\ar{r}\ar{dd}[sloped]{f_{i-1}-g_{i-1}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i}} & \cdots\ar[sloped]{ldd}{s_{i-1}}\\
+ \cdots\ar{r}\ar{dd} & X_{i+1}\ar{r}{d^X_{i}}\ar{dd}[sloped]{f_{i+1}-g_{i+1}}\ar{ddl} & X_i\ar{r}{d^X_{i-1}}\ar{dd}[sloped]{f_{i}-g_{i}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i+1}} & X_{i-1}\ar{r}\ar{dd}[sloped]{f_{i-1}-g_{i-1}}\ar[sloped]{ldd}{s_{i}} & \cdots\ar[sloped]{ldd}{s_{i-1}}\ar{dd}\\
& & & & \\
\cdots\ar{r} & Y_{i+1}\ar{r}{d^Y_{i}} & Y_i\ar{r}{d^Y_{i-1}} & Y_{i-1}\ar{r} & \cdots\\
\end{tikzcd}\]
\end{Def}
-\begin{Def}
- %Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если\\ $\exists f\colon\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]X\ar[r,shift left=0.45ex]& \ar[l,shift right=-0.45ex]Y\end{tikzcd}$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
- Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если\\ $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
+\begin{Def}\index{Гомотопическая эквивалентность}
+ Комплексы $X,Y$ называются {\bfseries гомотопически эквивалентными}, если $\exists f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. $f,g$ называют гомотопическими эквивалентностями.
\end{Def}
\begin{stmt}
Гомотопическая эквивалентность~-- квазиизоморфизм.
@@ -129,10 +158,10 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{proof}
Даны $f\colon X\rightleftarrows Y\cocolon g$, что $gf\sim\id_X, fg\sim\id_Y$. Покажем, что $H_ng\circ H_nf=\id_{H_nX}=H_n(g\circ f)$ (в обратную сторону точно так же). Для этого покажем, что если $f\colon X\to X$~-- морфизм и $f\sim\id_X$, то $H_nf=\id_{H_nX}$. И правда, $H_nf=H_n\id_X\iff H_n(f-\id_X)=0$. Так как $f\sim\id_X$, то $\exists s\colon f-\id_X=sd+ds$. $H_n(sd+ds)\colon H_n(X)\to H_n(X)$. Часть $ds$ переводит в 0 в гомологиях, потому что образ~-- граница. Часть $sd$ переводит в 0 в гомологиях, потому что применяется к циклу.
\end{proof}
-\subsection{Проективные модули}
-\begin{Def}
+\section{Проективные модули}
+\begin{Def}\index{Проективный модуль}
Модуль $P$ называется {\bfseries проективным}, если \[
- \begin{tikzcd}[cramped]
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
P\ar[swap]{d}{\exists h} \ar{dr}{\forall f} & \\
A \ar[two heads]{r}{\forall g} & B % \ar{r} & 0
\end{tikzcd}
@@ -140,24 +169,35 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{Def}
Например, свободный модуль проективен.
\begin{exc}
- $P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$ $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис'').
+ $P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$(что то же самое, $T\cong P'\oplus h(P)$) $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис'').
\end{exc}
+\begin{proof}[Решение] Обозначим $F(P)$~-- свободный модуль, порожденный элементами $P$.Есть понятная сюрьекция $p\colon F(P)\twoheadrightarrow P$.
+ \begin{enumerate}
+ \item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективности такая конструкция работать не будет. Например, у $\Z$-модулей $\Z/n\Z$ вообще нет ненулевых гомоморфизмов в $\Z^n$.} Из проективности \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists i}\\F(P)\ar[two heads,swap]{r}{p}&P\end{tikzcd}. $pi=\id$, то есть $P$~-- прямое слагаемое $F(P)$.
+ \item[$2\Rightarrow1$] Подходит $F(P)$. Вспомним, что он проективен.
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+ & F(P)\ar[sloped,labels=description]{dl}{\exists h}\ar[near start,sloped,labels=description]{dr}{f\circ p}\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{rr}{p} & &\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{ll}{i}P\ar[sloped,labels=description,swap]{dl}{f}\ar[near end,dotted,sloped,labels=description]{llld}{h\circ i}\\
+ T\ar[two heads]{rr} & & M &
+ \end{tikzcd}
+ \item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=F(P)$.
+ \end{enumerate}
+\end{proof}
\begin{stmt}\label{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}Для любого модуля $M$ существует проективный модуль $P$ и $P\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow} M$.\end{stmt}
-\begin{Def}
+\begin{Def}\index{Проективная резольвента}\index{Резольвента}
Пусть $M$~-- модуль. Его можно интерпретировать как комплекс
$$\cdots\to M_2=\{0\}\to M_1=\{0\}\to M_0=M\to M_{-1}=\{0\}\to\cdots$$
Комплекс $P$, где все $P_i$ проективные, с морфизмом комплексов $\varepsilon\colon P\to M$ называется {\bfseries проективной резольвентой}, если $P_i=0\forall i<0$ и $\varepsilon$~-- квазиизоморфизм.
Другими словами (и картинкой)
\[
- \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
\cdots\ar{r}{d_2}& P_2\ar{r}{d_1}& P_1\ar{r}{d_0}\ar[swap,bend left=38]{rd}{0}& P_0\ar{r}\ar{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\
\cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots
\end{tikzcd}
\]
А из квазиизоморфности $H_iP=0,i\ne 0\iff \ker d_{i-1}=\im d_{i}, i\ne 0$. $P/\im d_0\cong M\Rightarrow\varepsilon$~-- эпиморфизм.
\[
- \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
\cdots\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_2P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_1P\ar{r}\ar{d}{\cong}& H_0P\ar{r}\ar[two heads]{d}{\varepsilon}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots \\
\cdots\ar{r}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& H_0M=M\ar[r]{d_2}& 0\ar{r}& 0\ar{r}& \cdots
\end{tikzcd}
@@ -168,18 +208,18 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{stmt}
\begin{proof}
\begin{multicols}{2}
- По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, существует $P_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}M$. Рассмотрим теперь $M_{0}=\ker\varepsilon$. По индукции $M_i=\ker d_{i-1},i>0$. утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, над $M_i$ существует проективный модуль $P_{i+1}\overset{\varepsilon_1}{\twoheadrightarrow}M_i$. Как $d_i$ возьмем композицию $P_{i+1}\twoheadrightarrow M_i\hookrightarrow P_{i}$. По построению это проективная резольвента.
+ По утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, существует $P_0\overset{\varepsilon}{\twoheadrightarrow}M$. Рассмотрим теперь $M_{0}=\ker\varepsilon$. По индукции $M_i=\ker d_{i-1},i>0$. утверждению~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules}, над $M_i$ существует проективный модуль $P_{i+1}\overset{\varepsilon_1}{\twoheadrightarrow}M_i$. Как $d_i$ возьмем композицию $P_{i+1}\twoheadrightarrow M_i\hookrightarrow P_{i}$. По построению это проективная резольвента.\qedhere
- \columnbreak
+ \columnbreak\vspace*{\fill}
\noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
& & & \ker d_0\ar[hook]{dr}{\iota_1} & & & & & \\
\cdots\ar{rr}{d_2}\ar[two heads]{rd} & & P_2\ar{rr}{d_1=\iota_1\varepsilon_2}\ar[two heads]{ur}{\varepsilon_2} & & P_1\ar{rr}{d_0=\iota_0\varepsilon_1}\ar[swap,two heads]{dr}{\varepsilon_1} & & P_0\ar[two heads]{rr}{\varepsilon} & & M \\
& \ker d_1\ar[hook]{ur}& & & & \ker\varepsilon\ar[swap,hook]{ur}{\iota_0}
\end{tikzcd}
+ \vspace*{\fill}
\end{multicols}
\end{proof}
-\setlength{\multicolsep}{\parskip}
-\begin{stmt}
+\begin{stmt}\label{projresolutionequivce}
Пусть $P\overset{\varepsilon}{\to}M$ и $Q\overset{\tau}{\to}M$~-- проективные резольвенты $M$. Тогда $\exists f\colon P\rightleftarrows Q\cocolon g$~-- взаимообратные гомотопические эквивалентности, что $\tau f=\varepsilon$ и $\varepsilon g=\tau$.
\end{stmt}
\begin{proof}
@@ -190,25 +230,28 @@ Cтрелка по построению получается единствен
(ну итд, $d_0'f_1d_1=f_0d_0d_1=0\Rightarrow \im f_1d_1\subseteq\ker d_0'\Rightarrow\exists P_2\to\ker d_0'\Rightarrow\exists f_2\colon P_2\to Q_2$)
- \columnbreak
+ \columnbreak\vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
- \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{\exists f_2}\ar{rd} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar{rd}\ar{dd}{\exists f_1} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar{dd}{\exists f_0} & \\
& \ker d_0'\ar[hook]{rd} & &\ker\tau\ar[hook]{rd} & & M \\
Q_2\ar{rr}{d_1'}\ar[two heads]{ur}& & Q_1\ar{rr}{d_0'}\ar[two heads]{ur} & & Q_0\ar[two heads]{ru}{\tau} &
\end{tikzcd}
\end{center}
Аналогично строится $g_i$, что $\varepsilon g=\tau$.
+ \vspace*{\fill}
\end{multicols}
+ \let\mcsepold\multicolsep
+ \setlength{\multicolsep}{\parskip}
\begin{multicols}{2}
Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалентности. Для этого нужно доказать, что $\exists s\colon P\to P$, что $gf-\id_P=sd+ds$ (в другую сторону точно так же).
Обозначим $gf\overset{\text{def}}{=}h$. Заметим, что $\varepsilon h=\varepsilon gf=\tau f=\varepsilon$, поэтому $\varepsilon(h_0-\id_{P_0})=0$. Поэтому $\im(h_0-\id_{P_0})\subseteq\ker\varepsilon\colon P_1\to\ker\varepsilon$. Из проективности $P_0$ существует $s_1\colon P_0\to P_1$. Из коммутативности всех треугольников получается $h_0-\id_{P_0}=d_0s_1$ (все $P_i=0,i<0$, так что $s_0d_{-1}=0$).
\columnbreak
-
+ \vspace*{\fill}
\noindent\begin{center}
- \begin{tikzcd}[cramped,sep=normal]
+ \begin{tikzcd}[cramped,column sep=small, row sep=normal]
P_2\ar{rr}{d_1}\ar{dd}{} & & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[shift left=0.5em,sloped]{dd}{h_1-\id_{P_1}}\ar[color=coolblack, sloped,swap,shift right=0.25em]{dd}{h_1-\id_{P_1}-s_1d_0}\ar[color=coolblack]{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_2} & & P_0\ar[two heads]{rd}{\varepsilon}\ar[sloped]{dd}{h_0-\id_{P_0}}\ar{dddl}\ar[dotted]{ddll}{s_1} & \\
& & & & & M \\
P_2\ar{rr}{d_1}\ar[two heads]{rd}& & P_1\ar{rr}{d_0}\ar[two heads]{rd} & &
@@ -216,7 +259,240 @@ Cтрелка по построению получается единствен
& \ker d_0\ar[color=coolblack,hook]{ur}& & \ker\varepsilon\ar[hook]{ur} & &
\end{tikzcd}
\end{center}
+ \vspace*{\fill}
\end{multicols}
Далее нужно найти $s_2\colon P_1\to P_2$, что $h_1-\id_{P_1}=s_1d_0+d_1s_2$. Заметим, что $d_0(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)=d_0h_1-d_0-d_0s_1d_0=h_0d_0-d_0-(h_0-\id_{P_0})d_0=0$ (первое слагаемое из того, что $h$~-- это морфизм комплексов). Аналогично случаю для $\varepsilon$ $\im(h_1-\id_{P_1}-s_1d_0)\subseteq\ker d_0$. Поэтому есть стрелка $P_1\to\ker d_0$, поэтому из проективности $P_1$ существует $s_2\colon P_1\to P_2$. Далее аналогично.
+ \setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
+\end{proof}
+\section{Практика 1}
+{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
+
+\section{Производные функторы}\marginpar{Лекция 2\\9 сентября}
+\begin{Def}\index{Точный слева функтор}\index{Точный справа функтор}\index{Точный функтор}
+ $\mathcal{A},\mathcal{B}$~-- абелевы категории (например, категории модулей). Аддитивный ковариантный функтор $F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ в $\mathcal{A}$ последовательность $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ в $\mathcal{B}$ точная справа (соотв. точная слева, точная).
+
+ Контравариантный функтор называется {\bfseries точным справа (соотв. точным слева, точным)}, если соответствующий ковариантный функтор $\mathcal{A}^{\op}\to\mathcal{B}$ точный справа (соотв. точный слева, точный).
+\end{Def}
+\begin{stmt}[обобщение утверждения~\ref{projresolutionequivce}]\label{resolmorphism} $f\colon M\to N$~-- морфизм.
+ $P\overset{\varepsilon}{\to} M$ и $Q\overset{\tau}{\to} N$~-- проективные резольвенты. Тогда существует единственный с точностью до гомотопической эквивалентности морфизм комплексов $f_*\colon P\to Q$, что $\tau f_0=f\varepsilon$.
+\end{stmt}
+Доказывается собственно точно так же.
+\begin{Def}
+ $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (ковариантный аддитивный) точный справа функтор. Определим $i$-й производный функтор $(L_iF)(\cdot)$ так: пусть $M\in\mathrm{Mod\mdash}R$, $P_*\to M$~-- проективная резольвента. Тогда $(L_iF)(M)\overset{\text{def}}{=}H_i(F(P_*))$.
+
+ Так как проективные резольвенты эквивалентны\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$F(P_*)$~-- комплекс, потому что $F(d_i)F(d_{i+1})=F(d_id_{i+1})=F(0)=0$ (так что $\im Fd_{i+1}\subseteq\ker Fd_i$).\end{flushleft}} с точностью до гомотопической эквивалентности, а они квазиизоморфизмы, определение корректно (с точностью до изоморфизма).
+
+ $f\colon M\to N$~-- гомоморфизм. $P_*\to M$ и $Q_*\to N$~-- проективные резольвенты. По утверждению~\ref{resolmorphism} существует $f_*\colon P_*\to Q_*$, а поэтому существует $Ff_*\colon FP_*\to FQ_*$, поэтому определено $(L_iF)f=H_iFf_*\colon (L_iF)(M)\to (L_iF)(N)$. По утверждению~\ref{resolmorphism} $f_*$ для разных резольвент гомотопически эквивалентны, из аддитивности $F$ их $F$-образы тоже, поэтому $(L_iF)f$ не зависит от выбора $f_*$.
+\end{Def}
+Точность справа здесь (пока что) нигде не используется. Но из нее можно сказать, что (так как $F(P_1)\to F(P_0)\twoheadrightarrow F(M)$) $(L_0F)(M)=F(M)$ для любого $M$.
+
+Левые производные функторы можно определить не только для функторов между категориями модулей, но и между любыми абелевыми категориями $\mathcal{A}\to\mathcal{B}$, если в $\mathcal{A}$ \textit{достаточно проективных объектов(enough projectives)} (то есть если $\forall A\in\mathcal{A}$ существует проективный $P\in\mathcal{A}$ и $P\twoheadrightarrow A$ (утверждение~\ref{top1coolestaffactaboutprojectivemodules} как раз об этом)).
+\begin{thm}[о длинной точной последовательности]\label{LESforleftderivedfunctors}
+ $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$~-- короткая точная последовательность в $\mathrm{Mod\mdash}R$. Тогда существует длинная точная последовательность
+ \[
+ \cdots\to(L_2F)Z\overset{\partial}{\to}(L_1F)X\to(L_1F)Y\to (L_1F)Z\overset{\partial}{\to} FX\to FY\twoheadrightarrow FZ
+ \]
+ $\partial$ называется \textbf{связующим гомоморфизмом}.
+
+ Более того, если есть морфизм коротких точных последовательностей
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ X\ar[hook]{r}\ar[]{d} & Y\ar[two heads]{r}\ar[]{d} & Z\ar[]{d} \\
+ X'\ar[hook]{r} & Y'\ar[two heads]{r} & Z'
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ то в длинных точных последовательностях все квадраты коммутируют
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+ \cdots\ar{r}\ar{d} & (L_2F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & (L_1F)X\ar{r}\ar{d} & (L_1F)Y\ar{r}\ar{d} & (L_1F)Z\ar{r}{\partial}\ar{d} & FX\ar{r}\ar{d} & FY\ar[two heads]{r}\ar{d} & FZ\ar{d} \\
+ \cdots\ar{r} & (L_2F)Z'\ar{r}{\partial'} & (L_1F)X'\ar{r} & (L_1F)Y'\ar{r} & (L_1F)Z'\ar{r}{\partial'} & FX'\ar{r} & FY'\ar[two heads]{r} & FZ'
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{thm}
+Для доказательства понадобится несколько (в целом очень важных) лемм.
+\begin{lemma}[о змее]\index{Лемма о змее}\label{snakelemma} Пусть такая диаграмма коммутативна
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ A\ar{r}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar{d}{g}& C\ar{d}{h}\\
+ X\ar[hook]{r}{i} & Y\ar[r] & Z
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ Верхняя строчка точна в $B$ и $C$, нижняя строчка точна в $X$ и $Y$.
+
+ Тогда $\exists \partial\colon\ker h\to\coker f$, что последовательность
+ \[
+ \ker f\to\ker g\to\ker h\overset{\partial}{\to}\coker f\to\coker g\to\coker h
+ \]
+ точна. Более того, если $A\to B$ мономорфизм, то последовательность точна в $\ker f$. А если $Y\to Z$ эпиморфизм, то последовательность точна в $\coker h$. $\partial$ определяется так: $\ker h\ni c\mapsto i^{-1}gp^{-1}(c)\in\coker f$.
+\end{lemma}
+Техника в доказательстве этой леммы называется ``diagram chasing''. Смысл в том, что мы берем элемент из начала и прогоняем его по стрелкам в диаграмме до конца. Так и строится нужный гомоморфизм.
+\let\mcsepold\multicolsep
+\setlength{\multicolsep}{\parskip}
+\begin{proof}
+ \begin{multicols}{2}
+ Берем $x\in\ker h\subseteq C$.
+
+ $p$~-- сюрьекция, поэтому $\exists x'\in p^{-1}(x)$. $x''=g(x')$.
+ \[\beta(x'')=\beta g(x')=hp(x')=h(x)=0\] (т.к. $x\in\ker h$). Поэтому $\exists x'''\in i^{-1}(x'')$.
+
+ Это отображение не зависит от выбора: $i$ мономорфизм, поэтому $x'''$ единственный. $p^{-1}(x)=x'+\ker p=x'+\im\alpha$ (из точности в $B$).
+
+ \columnbreak
+ \noindent{\scriptsize(отождествим $\ker h$ с подмодулем в $C$ для простоты)}
+ \vspace*{\fill}
+ \noindent\begin{center}
+ \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
+ \ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial} \\
+ A \ar{r}{\alpha}\ar{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[name=G]{d}{g}& C\ar{d}{h}\\
+ X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[two heads]{d} & Z\ar[two heads]{d}\\
+ \coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
+ \end{tikzcd}
+ \end{center}
+ %{\tiny\itshape я к сожалению не справился нарисовать эту диаграмму красиво}
+ \vspace*{\fill}
+ \end{multicols}
+ $i^{-1}g(x'+\im\alpha)=i^{-1}g(x')+i^{-1}\im if=i^{-1}g(x')+\im f$ ($i$~-- инъекция). Поэтому результат лежит в одном классе в $\coker f$.
+
+ Получающаяся последовательность действительно точна: TODO.
+
+ Это действительно гомоморфизм (по формуле).
+
+ Если $A\rightarrow B$~-- мономорфизм, то и $\ker f\to\ker g$~-- мономорфизм. Если $Y\rightarrow Z$~-- эпиморфизм, то и $\coker g\to\coker h$~-- эпиморфизм.
+ \setlength{\multicolsep}{\mcsepold}
+
+ На самом деле построенное отображение $\partial$ функторинально в таком смысле: если есть морфизм диаграмм (диаграмм из условия), то квадрат с получающимися морфизмами $\partial$ и $\partial'$ коммутирует:
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+ \ker h\ar{d}\ar{r}{\partial} & \coker f\ar{d}\\
+ \ker h'\ar{r}{\partial'}& \coker f'
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{proof}
+\begin{fivelemma}[\hypertarget{fivelemma}{которой не было на лекции}]\index{5-лемма}
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ A\ar{d}{a}\ar{r} & B\ar{d}{b}\ar{r} & C\ar{d}{c}\ar{r} & D\ar{d}{d}\ar{r} & E\ar{d}{e} \\
+ A'\ar{r} & B'\ar{r} & C'\ar{r} & D'\ar{r} & E' \\
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ Если такая диаграмма с точными строками коммутативна, то
+ \begin{itemize}\setlength\itemsep{0.0em}
+ \item если $b,d$~-- мономорфизмы и $a$~-- эпиморфизм, то $c$~-- мономорфизм.
+ \item если $b,d$~-- эпиморфизмы и $e$~-- мономорфизм, то $c$~-- эпиморфизм.
+ \item (если $a,b,d,e$~-- изоморфизмы, то $c$~-- изоморфзим).
+ \end{itemize}
+\end{fivelemma}
+\begin{lemma}[\hypertarget{horseshoe}{о подкове}]\label{horseshoelemma}\index{Лемма о подкове}
+ В диаграмме c проективными $P,Q$ и точной нижней (ну и верхней, понятно, тоже) строкой
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+ P\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r} & P\oplus Q\ar[two heads]{r} & Q\ar[two heads]{d}\\
+ X\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r} & Z
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ существует $P\oplus Q\twoheadrightarrow Y$, что все квадраты коммутируют.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ Определим $P\to Y$ просто как композицию. Из проективности $Q$ существует отображение $Q\to Y$. Из универсального свойства прямой суммы получается отображение $P\oplus Q\to Y$. Из \hyperlink{fivelemma}{5-леммы} получается, что это эпиморфизм.
\end{proof}
+\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}.]
+ Обозначим $K_X$ ядро понятного из контекста (надеюсь!) морфизма в $X$. Рассмотрим такую диаграмму(слева) и применим к ней функтор $F$(точный справа!):
+ \begin{multicols}{2}
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
+ K_X\ar[hook]{d}\ar[hook]{r} & K_Y\ar[hook]{d}\ar[two heads]{r} &K_Z\ar[hook]{d} \\
+ P\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P\oplus Q\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d}& Q\ar[two heads]{d}\\
+ X\ar{d}\ar[hook]{r} & Y\ar[two heads]{r}& Z\\
+ 0 & &
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ \columnbreak
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
+ K_{FK_X}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d}\ar{r}&K_{FK_Z}\ar[hook]{d} \\
+ FK_X\ar{d}\ar{r} & FK_Y\ar{d}\ar[two heads]{r} &FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{d} \\
+ FP\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & FP\oplus FQ\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d}& FQ\ar[two heads]{d}\\
+ FX\ar{r} & FY\ar[two heads]{r}& FZ
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ \end{multicols}
+ \let\mcsepold\multicolsep
+ \setlength{\multicolsep}{\parskip}
+ \begin{multicols}{2}
+ Так как $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ точно, по лемме о змее $K_Y\twoheadrightarrow K_Z$ будет эпиморфизмом, поэтому к диаграмме справа сверху можно применить лемму о змее. По ней существует стрелка $K_{FK_Z}\to FX$. Убедимся, что $K_{FK_Z}=(L_1F)Z$.
+
+ $\cdots\to Q_2\to Q_1\to Q\twoheadrightarrow Z$~-- проективная резольвента $Z$. Напомню, что проективная резольвента точна, так что $K_Z=\ker(Q\twoheadrightarrow Z)=\coker(Q_1\to Q_0)$. $F$~-- точный справа, поэтому $FK_Z=\coker Fd_1$.
+
+ Отображение $FK_Z\to FQ$ распадается в $FK_Z\twoheadrightarrow\im Fd_0\hookrightarrow FQ$, то есть $K_{FK_Z}\hookrightarrow FK_Z\twoheadrightarrow\im Fd_0$. По \hyperlink{homologyincomplex}{удивительному факту о комплексах} на стр. \pageref{page_homologyincomplex}, получается, что $K_{FK_Z}=H_1FQ_*=(L_1F)Z$.
+ \columnbreak
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ & \vdots\ar{d}\\
+ \im Fd_1\ar[hook]{d} & \ar[two heads]{l}FQ_2\ar{dd}{Fd_1}\\
+ \ker Fd_0\ar[hook]{dr}\ar[two heads]{d}{} & \\
+ K_{FK_Z}\ar[hook]{d} & FQ_1\ar{dd}{Fd_0}\ar[two heads]{dl}\\
+ FK_Z\ar[color=cadmiumgreen]{dr} & \\
+ & FQ\ar[two heads]{d}\\
+ & FZ
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ \end{multicols}
+ Аналогично продолжаем для диаграммы
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped, sep=small]
+ K'_X\ar[hook]{r}\ar[hook]{d}&K'_Y\ar[two heads]{r}\ar[hook]{d}&K'_Z\ar[hook]{d}\\
+ P_1\ar[hook]{r}\ar[two heads]{d} & P_1\oplus Q_1\ar[two heads]{r}\ar[two heads]{d} & Q_1\ar[two heads]{d}\\
+ K_X\ar[hook]{r}\ar{d}& K_Y\ar[two heads]{r}&K_Z\\
+ 0 & & \\
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{proof}
+Из доказательства также получается, что если $Q_*\to Z$~-- проективная резольвента $Z$ и $K_Z=\ker(Q_0\twoheadrightarrow Z)$, то $(L_iF)K_Z=(L_{i+1}F)Z$.
+
+Если $G$~-- контравариантный точный слева функтор, то таким же образом строится $(R_nG)M=H_nGP_*$, если $P_*\to M$~-- проективная резольвента.
+
+Итак, пусть $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to \mathrm{Mod\mdash}S$. Тогда $L_iF$ удовлетворяют следующим свойствам:
+\begin{enumerate}
+ \item \label{derfunct_prop_begin}$L_0F=F$
+ \item \label{derfunct_prop_middle}Для любой короткой точной последовательности $X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z$ строится длинная точная последовательность как в теореме~\ref{LESforleftderivedfunctors}.
+ \item \label{derfunct_prop_end} $(L_iF)P=0\,\forall n\ge 1$, если $P$ проективен (действительно $\cdots\to 0\to P\to 0\to\cdots$~-- проективная резольвента $P$).
+\end{enumerate}
+Оказывается, это работает как ``аксиоматическое'' определение производных функторов.
+\begin{thm}
+ Если $T_n$ удовлетворяет свойствам (\ref{derfunct_prop_begin}-\ref{derfunct_prop_end}), то $T_n\cong L_nF$ для некоторого $F$.
+\end{thm}
+\begin{proof}
+ Для любого модуля $X$ найдется точная последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ с проективным $P$.
+ По пункту~\ref{derfunct_prop_end} для нее существует длинная точная последовательность
+ \[
+ \cdots\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX
+ \]
+ По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Дальше аналогично.
+\end{proof}
+\section{Практика 2}
+Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль и следующий
+\paragraph*{\hypertarget{homologyincomplex}{Увлекательный факт~-- комплекс распадается в набор коротких точных последовательностей.}}\label{page_homologyincomplex}
+Рассмотрим кусок комплекса
+\[
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+\cdots\ar{r} & C_{i+1}\ar{rrr}{d_i}\ar[two heads]{rd} &&& C_i\ar{rrr}{d_{i-1}}\ar[two heads]{rd}\ar[two heads,labels=description]{rrd}{\small(1)} &&& C_{i-1}\ar{r}{d_{i-2}} &\cdots\\
+ & & \im d_i\ar[hook]{r}&\ker d_{i-1}\ar[hook]{ur}\ar[two heads,labels=description]{rd}{\small(3)} & &\coker d_i\ar[two heads,swap]{r}{(2)} & \im d_{i-1}\ar[hook]{ur}& & \\
+ &&&& H_1\ar[hook,labels=description]{ur}{(4)}
+\end{tikzcd}
+\]
+Каждое отображение разбивается в композицию $C_{i+1}\twoheadrightarrow\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\hookrightarrow C_{i}$. $H_i$ по определению $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Последовательность $\im d_{i}\hookrightarrow\ker d_{i-1}\twoheadrightarrow H_i$.
+
+$\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна.
+\vspace*{1em}
+
+На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу 3), но он не проективен(почему???)
+
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$.
+
+\begin{enumerate}
+ \item Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$).
+ \item Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность.
+ \item Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
+ \item Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
+\end{enumerate}
\end{document}
\ No newline at end of file
