commit a7eadc8ad5e8cf6fdf78d84d99fbce09bddeda86
parent 849b85c29c1c11ff6449d02ffea30b4277c557b2
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Thu, 23 Sep 2021 14:10:03 +0300
added reference; reordered colors; removed unnecessary line
Diffstat:
2 files changed, 3 insertions(+), 4 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -20,9 +20,9 @@
\definecolor{coolblack}{rgb}{0.0, 0.18, 0.39}
\definecolor{cadmiumgreen}{rgb}{0.0, 0.42, 0.24}
\definecolor{pigmentblue}{rgb}{0.2, 0.2, 0.6}
-\definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
-\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
\definecolor{brightblue}{HTML}{006699}
+\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
+\definecolor{silver}{rgb}{0.75, 0.75, 0.75}
\hypersetup{ %use colored text instead of ugly boxes
colorlinks,
linkcolor={cadmiumgreen},
@@ -563,7 +563,6 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\cdots \to T_2P\to T_2X\to T_1K_X\to T_1P\to T_1X\to FK_X\to FP\twoheadrightarrow FX
\]
По пункту~\ref{derfunct_prop_middle} $T_1P=0$, поэтому $T_1X=\ker(FK_X\to FP)=(L_1F)X$. Далее из куска последовательности $\overset{=0}{T_nP}\to T_{n}X\to T_{n-1}K_X\to\overset{=0}{T_{n-1}P}$ по индукции получаем, что $T_{n}X\cong T_{n-1}K_X\cong(L_{n-1}F)K_X\cong(L_nF)X$. Из конструкции длинной точной последовательности (теоремы~\ref{LESforleftderivedfunctors}) изоморфизм получается естественный.
-
\end{proof}
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
\addcontentsline{toc}{section}{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
@@ -749,7 +748,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\item $\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- правый }R\text{-модуль}\}$;
\item $\sup\{n\,|\,\exists X,Y\text{ такие, что }\Tor_n^R(X,Y)\ne0\}$.
\end{itemize}
- Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$ совпадают\marginpar{\vspace{-1em}\tinyя не понимаю, что значит это обозначение. Левые и правые $\Tor$-размерности?}.
+ Это число называется {\bfseries\itshape $\Tor$-размерностью $R$}\index{$\Tor$-размерность} и обозначается $\Tordim(R)$. Из задачи следует, что $\Tor$-размерности $R$ и $R^{\op}$\marginpar{\scriptsize \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_ring}{вспомните обозначение}} совпадают.
\item* Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
\item Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
\item Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_R(M)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадают.
