commit e258b9dc3734b1c791b82bdb0fa9e4da35791dda
parent 6985d838f8c23f25368bc73a4bc28c207b88071a
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date:   Wed,  3 Nov 2021 02:34:26 +0300

added solutions to some problems; improved typesetting; began lecture 9

Diffstat:
M
notes.pdf
 | 
0

M
notes.tex
 | 
118
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------------

2 files changed, 96 insertions(+), 22 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -50,7 +50,7 @@
 	pdftitle={Конспект лекций по гомологической алгебре},
 	pdfsubject={Гомологическая алгебра},
 	pdfauthor={},
-	pdfcreator={},
+	%pdfcreator={},
 	pdfdirection={L2R},
 	pdflang={ru-RU}%,
 %	unicode=true
@@ -69,8 +69,12 @@
 }
 \mathchardef\mdash="2D
 
-\DeclareMathOperator{\op}{op}
+%\tikzcdset{
+%	arrow style=tikz,
+%	diagrams={>={Straight Barb[scale=0.8]}}
+%}
 
+\DeclareMathOperator{\op}{op}
 \DeclareMathOperator{\coker}{coker}
 \DeclareMathOperator{\id}{id}
 \DeclareMathOperator{\im}{im}
@@ -108,6 +112,7 @@
 
 \setcounter{section}{-1}
 
+\theoremstyle{definition}
 \newtheorem{Def}{Определение}
 \newtheorem{stmt}{Утверждение}
 \newtheorem{thm}{Теорема}
@@ -123,7 +128,7 @@
 \pagestyle{fancyplain}
 \fancyhf{}
 \fancyhead[R]{\thepage}
-\fancyhead[L]{\scshape\nouppercase\leftmark}
+\fancyhead[L]{\hyperlink{toc}{\scshape\nouppercase\leftmark}}
 \renewcommand{\headrulewidth}{1.2pt}
 
 %index
@@ -159,7 +164,7 @@
 		{\large\texttt{Версия \gitBranch/\gitAbbrevHash}\par\texttt{\gitAuthorDate}\par}
 	\end{titlepage}
 \restoregeometry
-\tableofcontents\newpage
+\hypertarget{toc}\tableofcontents\newpage
 \section*{\marginpar{Лекция 1\\2 сентября}Введение}
 \addcontentsline{toc}{section}{Введение}
 \epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому $-3$ от $6$ не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
@@ -236,8 +241,22 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 \begin{stmt}[которого не было на лекциях]
 	$H_n$~-- аддитивный функтор.
 \end{stmt}
-\begin{proof}
-	\todo{доказательство}
+\begin{proof} Проверим, что $H_n(f+g)=H_n(f)+H_n(g)$. Достаточно проверить, что $H_n(f)+H_n(g)$ делает диаграмму из утверждения~\ref{homologyisafunctor} коммутативной, так как стрелка в между гомологиями единственная.
+	\begin{multicols}{2}
+		\noindent\vspace*{\fill}
+		\[
+		\begin{tikzcd}
+		\ker d^X_{n-1}\ar{d}{f+g}\ar[two heads]{r}{\pi_X}&H_nX\ar{d}{H_nf+H_ng}\\
+		\ker d^Y_{n-1}\ar[two heads]{r}{\pi_Y}&H_nY
+		\end{tikzcd}
+		\]
+		\vspace*{\fill}
+		\columnbreak
+
+		Действительно, $f,g$~-- цепные отображения, так что для них квадрат коммутативен:
+		\[H_nf\circ\pi_X=\pi_Y\circ f\text{ и }H_ng\circ\pi_X=\pi_Y\circ g\]
+		Складываем и получаем то, что нужно.\qedhere
+	\end{multicols}
 \end{proof}
 \begin{Def}\index{Квазиизоморфизм}
 	Морфизм $f\colon X\to Y$ комплексов называется квазиизоморфизмом, если $H_nf$~-- изоморфизм $\forall n\in\Z$.
@@ -306,6 +325,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 	\end{tikzcd}
 	\]
 \end{Def}
+\needspace{10\baselineskip}
 \begin{stmt}\label{stmt_projresexists}
 	У любого модуля существует проективная резольвента.
 \end{stmt}
@@ -509,13 +529,13 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 		\vspace*{\fill}
 		\noindent\begin{center}
 			\begin{tikzcd}[cramped, sep=scriptsize]
-			\ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}%\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial}
-			\ar[rounded corners,
+			\ker f\ar[hook]{d}\ar{r} & \ker g\ar[hook]{d}\ar{r} &\ker h\ar[hook]{d}%\ar[rounded corners,color=silver,swap]{dddll}{\partial}\\
+			\ar[rounded corners,%color=silver,
 			to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
-				|- (X.center) \tikztonodes
+				|- (G.center) \tikztonodes
 				-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
 				-- (\tikztotarget)}]{dddll}[near start]{\partial} \\
-			A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[crossing over,near start]{d}{g}& C\ar[crossing over,near start]{d}{h}\\
+			A \ar{r}{\alpha}\ar[crossing over,near start]{d}{f} & B\ar[two heads]{r}{p}\ar[crossing over,near start]{d}[name=G]{g}& C\ar[crossing over,near start]{d}{h}\\
 			X\ar[two heads]{d}\ar[hook]{r}{i} & Y\ar{r}{\beta}\ar[two heads]{d} & Z\ar[two heads]{d}\\
 			\coker f\ar{r} & \coker g\ar{r} &\coker h
 			\end{tikzcd}
@@ -662,28 +682,28 @@ Cтрелка по построению получается единствен
 
 $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subseteq\ker d_{i-1}$, то отображение $(1)$ по универсальному свойству пропускается через $\coker d_i=C_i/\im d_i$. $(1)$~-- эпиморфизм, так что $(2)$ тоже эпиморфизм. Его ядро по комбинации третьей (что если $S\subseteq T\subseteq B$, то $(B/T)/(S/T)\cong B/S$) и первой теорем о гомоморфизме это в точности $\ker d_{i-1}/\im d_i=H_i$. Поэтому существует инъективный гомоморфизм (4), соответственно, последовательность $H_i\hookrightarrow\coker d_i\twoheadrightarrow\im d_{i-1}$ точна.
 
-Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker_{d_{i-2}}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker_{d_{i-2}}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.\marginpar{\vspace{-2em}\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
+Кроме того заметим, что можно взять композицию отображения $(2)$ и вложения $\im d_{i-1}\hookrightarrow\ker d_{i-2}$~-- отображение $\coker d_i\to\ker d_{i-2}$. Его ядро~-- $H_i$, а коядро~-- $H_{i-1}$. Just saying.\marginpar{\vspace{-2em}\tiny(Можно это применить в лемме о змее к короткой точной последовательности комплексов $A_*\hookrightarrow B_*\twoheadrightarrow C_*$ и получить длинную точную последовательность гомологий)}
 \end{fact} %\vspace*{1em}
 
 На этой практике обсуждались плоские модули. Из задачи 0 прошлой практики понятно, что всякий проективный модуль плоский. Обратное, однако, неверно. $\Q$ как $\Z$-модуль плоский (потому что свободно от кручения, см. задачу~\ref{Pract1Prob3}), но он не проективен.\todo{почему}
 
-Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(r\cdot f)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$.\todo{правое или левое}
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$. Если $A$~-- модуль, то через $A^*$ обозначается модуль $\Hom_\Z(A,\Q/\Z)$. На нем есть структура $R$-модуля: $(f\cdot r)(a)=f(ra),r\in R,a\in A,f\in\Hom_\Z(A,\Z/\Q)$. Это действительно модуль: $((f\cdot r)\cdot r')(a)=(f\cdot r)(r'a)=f(rr'a)=(f\cdot(rr'))(a)$. Остальные свойства должны быть совсем понятные.\marginpar{\tiny\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Module_homomorphism\#Module_structures_on_Hom}{вспомните, как задаётся структура модуля на $\Hom$}}
 
 \begin{enumerate}
 	\item\label{Pract2Prob1} Докажите, что $A=0\iff A^*=0$ (используйте инъективность $\Q/\Z$).
-	\begin{proof}\let\qed\relax$ $
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
 	\begin{itemize}
 		\item[$\Rightarrow$] Если $A=0$, то из $A$ есть единственный нулевой морфизм в $\Q/\Z$.
 		\item[$\Leftarrow$] Если $x\in A$, то по определению инъективности для любого $f\colon\langle x\rangle\to\Q/\Z$ (выберем ненулевое, например, см. с.~\pageref{submoduleinjection_QZ}) и вложения $\langle x\rangle\hookrightarrow A$ существует $A\to\Q/\Z$, пропускающее $f$. Но единственное отображение $A\to\Q/\Z$~-- это $0$. Противоречие.
 	\end{itemize}
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract2Prob2} Докажите, что $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность тогда и только тогда, когда $0\to N^*\to M^*\to L^*\to 0$~-- короткая точная последовательность.
-	\begin{proof}\let\qed\relax
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Последовательность точная, значит, $H_i=0$ во всех членах. Применение звездочки применяет ее и к ядрам, коядрам и гомологиям, поэтому $H_i^*=0$ по задаче~\ref{Pract2Prob1}.
 	\end{proof}
 	\item\label{Pract2Prob3} Пусть $\sigma\colon A^*\otimes_RM\to\Hom_R(M,A)^*$ определен равенством $\sigma(f\otimes x)(h)=f(h(x))$ для $f\in A^*, x\in M, h\colon M\to A$. Конечно представимый модуль\index{Конечно представимый модуль}~-- это модуль, изоморфный коядру некоторого отображения $R^m\to R^n (m,n\in\N)$. Докажите, что $\sigma$~-- изоморфизм для любого конечно представимого $M$ и любого $A$.
 	\item\label{flfprisproj} Докажите, что любой плоский конечно представимый модуль проективен.
-	\begin{proof}\let\qed\relax
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		$M$~-- плоский конечно представимый. Проверим, что $\Hom(M,-)$ точный справа (тогда $M$ будет проективным). Пусть $X\twoheadrightarrow Y$~-- эпиморфизм. Тогда $Y^*\hookrightarrow X^*$~-- мономорфизм из задачи~\ref{Pract2Prob2}. Так как $M$ плоский, $Y^*\otimes_RM\hookrightarrow X^*\otimes_RM$ тоже мономорфизм. Применим к обоим модулям изоморфизм из задачи~\ref{Pract2Prob3}:
 		\[\begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
 			Y^*\otimes_RM\ar[hook]{r}\ar{d}{\cong} & X^*\otimes_RM\ar{d}{\cong}\\
@@ -869,7 +889,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
 		\[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,M)\ne0\}\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}\]
 		Переставим $\sup$-ы и по задаче~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
 	\end{proof}
-	\item Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_R(M)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадают.
+	\item\label{Pract3Prob8} Пусть $R$~-- нётерово слева кольцо, а $M$~-- конечно порождённый $R$-модуль. Докажите, что $\pd_R(M)=\fd_R(M)$. Выведите отсюда, что для нётерова (слева и справа) кольца $R$ выполнено $\gldim(R)=\Tordim(R)=\gldim(R^{\op})$. В частности, для нётерова кольца левая и правая глобальные размерности совпадают.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Поскольку проективные модули плоские, понятно, что $\fd_R(M)\le\pd_R(M)$.
 
@@ -879,7 +899,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
 
 		Из задач~\ref{tordim_fdim} и \ref{gldim_fdim} получаем равенство $\Tordim(R)=\gldim(R)$, из задачи~\ref{tordim} получаем равенство $\Tordim(R)=\Tordim(R^{\op})=\gldim(R^{\op})$.
 	\end{proof}
-	\item Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность. Докажите, что $\pd_R(M)\le\max(\pd_R(L),\pd_R(N))$,$\pd_R(N)\le\max(\pd_R(L)+1,\pd_R(M))$ и $\pd_R(L)\le\max(\pd_R(M),\pd_R(N)-1)$. Сформулируйте и докажите аналогичные неравенства для инъективной и плоской размерностей.
+	\item\label{Pract3Prob9} Пусть $0\to L\to M\to N\to 0$~-- короткая точная последовательность. Докажите, что $\pd_R(M)\le\max(\pd_R(L),\pd_R(N))$,$\pd_R(N)\le\max(\pd_R(L)+1,\pd_R(M))$ и $\pd_R(L)\le\max(\pd_R(M),\pd_R(N)-1)$. Сформулируйте и докажите аналогичные неравенства для инъективной и плоской размерностей.
 	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
 		Запишем длинную точную последовательность для $\Ext$ из короткой точной последовательности и из задачи~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
 	\end{proof}
@@ -1135,12 +1155,35 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
 \end{proof}
 \section*{Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
 \addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseries Практики 4, 5 и 6: гомологические размерности, продолжение}
+Напомним интересный факт для коротких точных последовательностей в $R\mdash{Mod}$.
+\begin{fact}[Лемма о расщеплении]\label{fact_splittinglemmaformodules}
+	Для короткой точной последовательности $A\overset{\iota_A}{\hookrightarrow} C\overset{\pi_B}{\twoheadrightarrow} B$ в абелевой категории следующие утверждения эквивалентны:
+	\begin{itemize}
+		\item Существует отображение $\iota_B\colon B\to C$, что $\pi_B\iota_B=\id_B$;
+		\item Существует отображение $\pi_A\colon C\to A$, что $\pi_A\iota_A=\id_A$;
+		\item $C\cong A\oplus B$.
+	\end{itemize}
+\end{fact}
 Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
 \begin{enumerate}
-	\item Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по фон Нейману\index{Регулярное по фон Нейману кольцо}}, если для любого $a\in R$ существует $x\in X$ такой, что $axa=a$. Докажите, что $R$ регулярно по фон Нейману, если для любого конечно порождённого левого идеала $I$ модуль $R/I$ проективен.
+	\item\label{Pract4Prob1} Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по фон Нейману\index{Регулярное по фон Нейману кольцо}}, если для любого $a\in R$ существует $x\in X$ такой, что $axa=a$. Докажите, что $R$ регулярно по фон Нейману, если для любого конечно порождённого левого идеала $I$ модуль $R/I$ проективен.
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
+
+	\end{proof}
 	\item Докажите, что $\Tordim(R)=0$ тогда и только тогда, когда $R$ регулярно по фон Нейману.
+	\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax\leavevmode
+		\begin{enumerate}
+			\item[$\Rightarrow$] $\Tordim(R)=0$, значит, любой модуль плоский. $I$~-- конечно порождённый идеал, значит, $R/I$ конечно представим. Вспомним (задача~\ref{flfprisproj} с практики 2), что конечно представимый плоский модуль проективен.
+			\item[$\Leftarrow$] Из задачи~\ref{Pract4Prob1} $\pd_R(R/I)=0\Rightarrow \fd_R(R/I)=0$. То есть плоская размерность однопорождённых модулей равна 0.
 
+			По индукции $M$~-- конечно порождённый модуль, $\{x_1,\ldots,x_n\}$~-- его порождающие. Рассмотрим короткую точную последовательность $\langle x_n\rangle\hookrightarrow M\twoheadrightarrow\langle x_1,\ldots,x_{n-1}\rangle$. Из задачи~\ref{Pract3Prob9} c прошлой практики \[\fd_R(M)\le\pd_R(M)\le\max(\pd_R(\langle x_n\rangle),\pd_R(\langle x_1,\ldots,x_{n-1}\rangle))=0\text{.}\] Получается, что плоская размерность всех конечно порождённых модулей 0.
+
+			Из задачи~\ref{tordim_fdim} c прошлой практики $\Tordim(R)=0$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
 	Напомним, что кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape полупростым (слева)\index{Полупростое кольцо}}, если для любого левого идеала $I$ кольца $I$ вложение $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный. Известно (теорема Веддербарна-Артина), что кольцо $R$ полупросто тогда и только тогда, когда оно является конечной прямой суммой $\Mat_n(D)$, где $D$~-- тело. Из этого в частности следует, что кольцо полупросто справа тогда и только тогда, когда оно полупросто слева (этим можно пользоваться при решении следующей задачи).
+
+	Понятно, что полупростые кольца регулярны по фон Нейману: из задачи~\ref{Pract4Prob1} для любого конечного идеала $I$ короткая точная последовательность $I\hookrightarrow R\twoheadrightarrow R/I$ расщепляется справа. Из \hyperlink{fact_splittinglemmaformodules}{леммы о расщеплении} она расщепляется слева, то есть для любого конечно порождённого идеала $I$ вложение $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный. А у полупростых колец это верно для любого идеала
 	\item Докажите, что следующие условия эквивалентны:
 		\begin{itemize}
 			\item $\gldim(R)=0$;
@@ -1149,6 +1192,11 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
 			\item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово справа;
 			\item $\gldim(R^{\op})=0$.
 		\end{itemize}
+	\begin{proof}\let\qed\relax
+		Любой идеал $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный$\iff$любой идеал однопорождён, значит, полупростое кольцо нётерово.
+
+		Кольцо полупростое$\Rightarrow$регулярное по фон Нейману$\Rightarrow\Tordim(R)=0$.
+	\end{proof}
 	\item Пусть имеется точная последовательность $0\to T_n\to\cdots\to T_0\to X\to 0$ такая, что $\pd_R(T_i)\le m$ для любого $0\le i\le n$. Докажите, что $\pd_R(X)\le n+m$.
 	\item Пусть $R\to S$~-- гомоморфизм колец, а $X$~-- $S$-модуль. Докажите, что $\pd_R(X)\le\pd_S(X)+\pd_R(S)$.
 	\item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля. Опишите $\Tor_n^R(R/(x),X)$ для всех модулей $X$ и для всех $n\ge0$. Докажите, что если $X$ является проективным $R/(x)$-модулем, то $\pd_R(X)=1$.
@@ -1511,7 +1559,7 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
 \begin{Def}
 	Расширение $A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если $\exists G\overset{\sigma}{\to}E$~-- гомоморфизм групп, что $\beta\sigma=\id_G$.
 \end{Def}
-\begin{stmt}
+\begin{stmt}[Лемма о расщеплении]
 	Расширение расщепляется тогда и только тогда, когда оно изоморфно полупрямому произведению.
 \end{stmt}
 
@@ -1633,7 +1681,7 @@ A\ar[hook]{r}&E_2\ar[two heads,shift left=-0.7]{r}&\ar[shift left=-0.7,swap]{l}{
 		Группа $\frac{N}{N\cap X}$ порядка $m$, порядок группы $\frac{N\cap X}{P}$~-- делитель $q$ и не делитель $p$ (иначе она не была бы силовской), так что по индукции существует подгруппа порядка $m$ в $\frac{N}{P}$. Обозначим её $\frac{H}{P}$ для некоторого $P\trianglelefteqslant H\le N$.
 		Так как $P$ нормальна в $H$, $H$ должна сохранять $C$, поэтому $C\trianglelefteqslant H$.
 		Из третьей теоремы об изоморфизме есть короткая точная последовательность \[\frac{P}{C}\hookrightarrow\frac{H}{C}\twoheadrightarrow\frac{H}{P}\text{.}\]
-		\marginpar{\tiny бабка за дедку, дедка за центр, тянут-потянут и вытянули группу порядка $m$}$\frac{H}{P}$ порядка $m$; так как $C$ нетривиален, порядок $\frac{P}{C}$ меньше $q$. По индукционному предположению $\exists L\colon C\trianglelefteqslant L\le H$, что $|L/C|=m$. Поэтому есть расширение $C\hookrightarrow L\twoheadrightarrow L/C$. $C$ абелева, поэтому в $L$ есть подгруппа $K$ порядка $m$. $K\le L\le H\le N\le E$. Нашли подгруппу порядка $m$ в $E$.
+		\marginpar{\tiny\ldots бабка за дедку, дедка за центр, тянут-потянут и вытянули группу порядка $m$}$\frac{H}{P}$ порядка $m$; так как $C$ нетривиален, порядок $\frac{P}{C}$ меньше $q$. По индукционному предположению $\exists L\colon C\trianglelefteqslant L\le H$, что $|L/C|=m$. Поэтому есть расширение $C\hookrightarrow L\twoheadrightarrow L/C$. $C$ абелева, поэтому в $L$ есть подгруппа $K$ порядка $m$. $K\le L\le H\le N\le E$. Нашли подгруппу порядка $m$ в $E$.
 		\qedhere
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
@@ -1650,7 +1698,7 @@ Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\\
 
 Как и раньше, $X\overset{\alpha}{\hookrightarrow}G\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$~-- расширение. Опять $\sigma\colon G\to E\in\Hom_{\mathcal{S}et}(G,E)$, что $\beta\sigma=\id_G$. Опять если оно~-- гомоморфизм групп, то $E\cong G\ltimes X$.
 
-Как раньше определим $f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)$. Определим $\Aut(X)\ni\gamma_y\colon x\mapsto\sigma(y)^{-1}x\sigma(y)$.
+Как раньше определим $f(g,h)=\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)$. Определим отображение (как множеств) $\gamma\colon y\mapsto \gamma_y$, $\Aut(X)\ni\gamma_y\colon x\mapsto\sigma(y)^{-1}x\sigma(y)$.
 
 \[\bar{\gamma_y}=\psi(y)\text{~-- класс }\gamma_y\text{ в }\Out(X)\]
 \begin{equation}\label{eqn_arbext_condition1}\gamma_y\gamma_z(x)=(\sigma(z)\sigma(y))^{-1}x\underbrace{(\sigma(z)\sigma(y))}_{=\sigma(zy)f(z,y)}=\nu_{f(z,y)}(\gamma_{zy}(x))\end{equation}
@@ -1667,6 +1715,32 @@ Z(X)\ar[hook]{r}&X\ar{rr}\ar[two heads]{rd}&&\Aut(X)\ar[two heads]{r}&\Out(X)\\
 
 	Обратное тоже верно: если для $\gamma$ и $f$ выполняются эти условия, то $[G,X,\gamma,f]$~-- расширение, индуцирующее $\psi$.
 \end{thm}
-Вопрос: для каких $G,X,\psi$ можно построить функции $\gamma$ и $f$ (соответственно, построить расширение). Понятно, что можно построить $\gamma$~-- просто поднять $\psi$. Непонятно, как построить $f$.
+Вопрос: для каких $G,X,\psi$ можно построить функции $\gamma$ и $f$ (соответственно, построить расширение)? Понятно, что можно построить $\gamma$~-- просто поднять $\psi$\marginpar{\begin{flushleft}\tiny$\gamma$~-- отображение {\itshape множеств}!\end{flushleft}}. Непонятно, как построить $f$.
+
+Более того, мы можем добиться, чтобы для некоторого $f$ и получившегося $\gamma$ выполнялось равенство~\ref{eqn_arbext_condition1}. Остается проверить равенство~\ref{eqn_arbext_condition2}.\marginpar{\vspace*{-1.8em}Лекция 9\\28 октября}
+
+	Решили, что хотим проверить ассоциативность $\gamma$.
+	\begin{multline}\label{eqn_arbext_condition3}
+	\nu_{\gamma_zf(x,y)}\nu_{f(xy,z)}\gamma_{xyz}=\nu_{\gamma_zf(x,y)}\gamma_{z}\gamma_{xy}=\gamma_z(\nu_{f(x,y)}\gamma_{xy})=\gamma_z(\gamma_y\gamma_x)=\\(\gamma_z\gamma_y)\gamma_x=(\nu_{f(y,z)}\gamma_{yz})\gamma_x=\nu_{f(y,z)}\nu_{f(x,yz)}\gamma_{xyz}
+	\end{multline}
+	Чтобы выполнялось~\ref{eqn_arbext_condition3}, нужно, чтобы $\nu_{f(y,z)f(x,yz)}=\nu_{\gamma_zf(x,y)f(xy,z)}$, то есть элементы $f(y,z)f(x,yz)$ и $f(xy,z)\gamma_zf(x,y)$ могут быть разными, но должны отличаться друг от друга на элемент центра $K(x,y,z)\in C_X=Z(X)$.
+	\begin{equation}\label{eqn_arbext_condition4}
+	f(y,z)f(x,yz)K(x,y,z)=f(xy,z)\gamma_zf(x,y)\text{ для некоторого }K\in C^3(G,C_X)
+	\end{equation}
+	Чтобы узнать что-то интересное про $K$, докажем несколько лемм.
+	\begin{lemma}\label{lemma_Kis3cocycle}
+		$K\in Z^3(G,C_X)$.
+	\end{lemma}
+	\begin{lemma}\label{lemma_Kisinhomology}
+		Если $\gamma$ зафиксировано, то можно заменить $K$ на любой коцикл $K'$, отличающийся от $K$ на 3-кограницу.
+
+		Другими словами, если $f,f'\colon G\times G\to C_X$ удовлетворяют~\ref{eqn_arbext_condition1} для $\gamma$ тогда и только тогда, когда строящиеся из соотношения~\ref{eqn_arbext_condition4} коциклы $K,K'$ отличаются на элемент $B^3(G,C_X)$.
+	\end{lemma}
+	\begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kis3cocycle}]
+		Рассмотрим выражение $f(xyz,t)\gamma_t(f(xy,z)\gamma_zf(x,y))$ и преобразуем его разными способами
+	\end{proof}
+	\begin{proof}[Доказательство леммы~\ref{lemma_Kisinhomology}]
+
+	\end{proof}
 \printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
 \end{document}
 \ No newline at end of file