commit 0bda24a2a56685676011b949566ed5a4dc9bfe46
parent 75bcb17df84399d2a15a214d9d7fbeb6453a1611
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Tue, 28 Sep 2021 14:58:35 +0300
added most of the 4th lecture
Diffstat:
| M | notes.pdf | | | 0 | |
| M | notes.tex | | | 275 | ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- |
2 files changed, 246 insertions(+), 29 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -2,14 +2,14 @@
% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX root = notes.tex
\documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
-\usepackage{cmap,fancyhdr}
+\usepackage{cmap} % make output searchable and copyable
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[]{amsmath,amssymb,textcomp,amsthm,mathtools,yhmath}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
-\usepackage{imakeidx} % indices
+\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
%\usepackage[left=1.75cm,right=1.25cm,top=1cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\usepackage[top=2.5cm, left=3.5cm, right=2cm, bottom=3.0cm,marginparwidth=2.7cm, marginparsep=0.5cm]{geometry}
@@ -59,9 +59,15 @@
\DeclareMathOperator{\fd}{fd}
\DeclareMathOperator{\gldim}{gldim}
\DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
+\DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
+\newcommand\defeq{\overset{\text{def}}{=}}
+
+\let\phi\varphi
+\renewcommand{\le}{\leqslant}
+\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\setcounter{section}{-1}
@@ -92,7 +98,7 @@
%\epigraph{Мы как бы не в школе, поэтому -3 от 6 не отличаем.}{Безумно можно быть первым}
Зачем нужна гомологическая алгебра:
\begin{enumerate}
- \item Работа с "препятствиями":
+ \item Работа с ``препятствиями'':
\begin{enumerate}
\item Пусть $A\hookrightarrow B$, в каких случаях $A\otimes_{\Z}C\hookrightarrow B\otimes_{\Z}C$? Оказывается, что за ``немономорфность'' отвечает $\Tor_\Z(B/A,C)$. Если он равен $0$, то есть мономорфизм.
\item Пусть $R$~-- кольцо. Описываем какие-то модули над $R$ (например, конечно порождённые). Если $R$ ``достаточно хорошее'', то выполнена теорема Жордана-Гёльдера: существует
@@ -124,7 +130,7 @@
\begin{Def}\index{Дифференциал} Дифференциал на $X$~-- гомоморфизм $d\colon X\to X$, что $d\circ d=0$.\end{Def}
\begin{Def}[переопределение комплекса] Комплекс~-- градуированный модуль с дифференциалом степени (в нашем случае) $-1$.\end{Def}
\begin{Def}\index{Гомологии}
- $(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\overset{\text{def}}{=}Z_n/B_n$.
+ $(X,d)$~-- комплекс, тогда (из определения дифференциала) $\im d_n\subseteq \ker d_{n-1}$. Элементы $Z_n=\ker d_{n-1}$ называются $n$-циклами. Элементы $B_n=\im d_n$ называются $n$-границами. $n$-е гомологии $X$~-- это $H_n(X)\defeq Z_n/B_n$.
\end{Def}
Градуировка на $X$ индуцирует градуировку на $H_*(X)=\bigoplus_{i\in\Z}H_i(X)$.
\begin{Def}\index{Сдвинутый комплекс}\label{shiftedcomplex}
@@ -199,15 +205,15 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{exc}
$P$ проективный $\iff$ $\exists F$~-- свободный, что $F\cong P\oplus P'$ для некоторого $P'$ $\iff$ $\forall T\overset{f}{\twoheadrightarrow}P\quad\exists P\overset{h}{\rightarrow}T$, что $fh=\id_P$(что то же самое, $T\cong P'\oplus h(P)$) $\iff$ $\exists \{e_i\in P\}_{i\in I}$ и $f_i\colon P\to R$, что $\forall x\in P$ $f_i(x)=0$ для почти всех $i\in I$ и $x=\sum_{i\in I}e_if_i(x)$ (это называется ``проективный базис'').
\end{exc}
-\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax Обозначим $F(P)$~-- свободный модуль, порожденный элементами $P$.Есть понятная сюрьекция $p\colon F(P)\twoheadrightarrow P$.
+\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax Обозначим $\langle P\rangle_R$~-- свободный $R$-модуль, порожденный элементами $P$. Есть понятная сюрьекция $p\colon\langle P\rangle_R\twoheadrightarrow P$.
\begin{enumerate}
- \item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективности такая конструкция работать не будет. Например, у $\Z$-модулей $\Z/n\Z$ вообще нет ненулевых гомоморфизмов в $\Z^n$.} Из проективности \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists i}\\F(P)\ar[two heads,swap]{r}{p}&P\end{tikzcd}. $pi=\id$, то есть $P$~-- прямое слагаемое $F(P)$.
- \item[$2\Rightarrow1$] Подходит $F(P)$. Вспомним, что он проективен.
+ \item[$1\Rightarrow2$]\marginpar{\tiny Без проективности такая конструкция работать не будет. Например, у $\Z$-модулей $\Z/n\Z$ вообще нет ненулевых гомоморфизмов в $\Z^n$.} Из проективности \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists i}\\\langle P\rangle_R\ar[two heads,swap]{r}{p}&P\end{tikzcd}. $pi=\id$, то есть $P$~-- прямое слагаемое $\langle P\rangle_R$.
+ \item[$2\Rightarrow1$] Подходит $\langle P\rangle_R$. Вспомним, что он проективен.
\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
- & F(P)\ar[sloped,labels=description]{dl}{\exists h}\ar[near start,sloped,labels=description]{dr}{f\circ p}\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{rr}{p} & &\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{ll}{i}P\ar[sloped,labels=description,swap]{dl}{f}\ar[near end,dotted,sloped,labels=description]{llld}{h\circ i}\\
+ & \langle P\rangle_R\ar[sloped,labels=description]{dl}{\exists h}\ar[near start,sloped,labels=description]{dr}{f\circ p}\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{rr}{p} & &\ar[near start,labels=description,shift right=0.22em]{ll}{i}P\ar[sloped,labels=description,swap]{dl}{f}\ar[near end,dotted,sloped,labels=description]{llld}{h\circ i}\\
T\ar[two heads]{rr} & & M &
\end{tikzcd}
- \item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=F(P)$.
+ \item[$1\Leftrightarrow 3$] очевидно? \begin{tikzcd}[cramped,sep=small]&P\ar{d}{\id}\ar[swap]{dl}{\exists h}\\T\ar[two heads,swap]{r}{\forall f}&P\end{tikzcd}. В обратную сторону берем $f=p$ и $T=\langle P\rangle_R$.
\item[$1\Rightarrow4$] аоао не знаю я хлебушек
\item[$1\Leftarrow4$] добавил чтобы утверждение ниже уехало на следующую страницу а оно не уехало
\end{enumerate}
@@ -233,7 +239,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{tikzcd}
\]
\end{Def}
-\begin{stmt}
+\begin{stmt}\label{stmt_projresexists}
У любого модуля существует проективная резольвента.
\end{stmt}
\begin{proof}
@@ -276,7 +282,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\begin{multicols}{2}
Теперь доказываем, что это гомотопические эквивалентности. Для этого нужно доказать, что $\exists s\colon P\to P$, что $gf-\id_P=sd+ds$ (в другую сторону точно так же).
- Обозначим $gf\overset{\text{def}}{=}h$. Заметим, что $\varepsilon h=\varepsilon gf=\tau f=\varepsilon$, поэтому $\varepsilon(h_0-\id_{P_0})=0$. Поэтому $\im(h_0-\id_{P_0})\subseteq\ker\varepsilon\colon P_1\to\ker\varepsilon$. Из проективности $P_0$ существует $s_1\colon P_0\to P_1$. Из коммутативности всех треугольников получается $h_0-\id_{P_0}=d_0s_1$ (все $P_i=0,i<0$, так что $s_0d_{-1}=0$).
+ Обозначим $gf\defeq h$. Заметим, что $\varepsilon h=\varepsilon gf=\tau f=\varepsilon$, поэтому $\varepsilon(h_0-\id_{P_0})=0$. Поэтому $\im(h_0-\id_{P_0})\subseteq\ker\varepsilon\colon P_1\to\ker\varepsilon$. Из проективности $P_0$ существует $s_1\colon P_0\to P_1$. Из коммутативности всех треугольников получается $h_0-\id_{P_0}=d_0s_1$ (все $P_i=0,i<0$, так что $s_0d_{-1}=0$).
\columnbreak
\vspace*{\fill}
@@ -298,12 +304,12 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 1: функтор $\Tor$}
{\itshape Волчара решил, что давать на праках часть определений из будущего~-- это очень хорошая идея, поэтому тут в начале будут ссылки на будущие лекции, наверное.}
-На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}).
+На этой практике нужно знать, что такое функтор $\Tor$ (c.~\pageref{torfunctor}) и что такое плоские модули (с.~\pageref{def_flatmodule}). Кроме того, для решения задач~\ref{Pract1Prob2} и~\ref{Pract1Prob3} понадобится следствие из теоремы~\ref{derivedfunctorpreservesfcolimits} (c.~\pageref{torpreservesfilteredcolimits}) и <факт о том, что группа это копредел конечно порождённых подгрупп>.
Во всех задачах $R,S$~-- кольца. Все модули левые, если не указано противоположное. Если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
\begin{enumerate}[start=0]
- \item \label{Pract1Prob0}Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
+ \item\label{Pract1Prob0} Пусть $M$~-- модуль. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
\begin{itemize}
\item $M$ плоский;
\item $\Tor_1^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$.
@@ -329,11 +335,11 @@ Cтрелка по построению получается единствен
$\Tor_1^\Z(\Z/m\Z,A)=\ker(\Z\otimes_{\Z}A\overset{(\cdot m)\otimes1}{\longrightarrow}\Z\otimes_{\Z}A)$. В ядро попадают все элементы $a\in A$, что $ma=0$.
\end{proof}
- \item Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
+ \item\label{Pract1Prob2} Пусть $A,B$~-- абелевы группы. Докажите, что $\Tor_n^\Z(A,B)$ равен нулю для $n>1$ и является группой кручения\marginpar{\scriptsize Отсюда и обозначение функтора (от слова torsion).} для $n=1$ (то есть $\forall x\in\Tor_1^\Z(A,B)\exists m\ne 0\colon mx=0$).
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
\end{proof}
- \item Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
+ \item\label{Pract1Prob3} Пусть $A$~-- абелева группа. Докажите, что $A$ является плоским $\Z$-модулем тогда и только тогда, когда $A$ свободна от кручения.
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
\end{proof}
@@ -374,7 +380,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\end{stmt}
Доказывается собственно точно так же.
\begin{Def}\index{Производный функтор}
- $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (ковариантный аддитивный) точный справа функтор. Определим $i$-й производный функтор $(L_iF)(\cdot)$ так: пусть $M\in\mathrm{Mod\mdash}R$, $P_*\to M$~-- проективная резольвента. Тогда $(L_iF)(M)\overset{\text{def}}{=}H_i(F(P_*))$.
+ $F\colon\mathrm{Mod\mdash}R\to\mathrm{Mod\mdash}S$~-- (ковариантный аддитивный) точный справа функтор. Определим $i$-й производный функтор $(L_iF)(\cdot)$ так: пусть $M\in\mathrm{Mod\mdash}R$, $P_*\to M$~-- проективная резольвента. Тогда $(L_iF)(M)\defeq H_i(F(P_*))$.
Так как проективные резольвенты эквивалентны\marginpar{\tiny\begin{flushleft}$F(P_*)$~-- комплекс, потому что $F(d_i)F(d_{i+1})=F(d_id_{i+1})=F(0)=0$ (так что $\im Fd_{i+1}\subseteq\ker Fd_i$).\end{flushleft}} с точностью до гомотопической эквивалентности, а они квазиизоморфизмы, определение корректно (с точностью до изоморфизма).
@@ -569,7 +575,7 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\section*{Практика 2: плоские конечно представимые модули}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 2: плоские конечно представимые модули}
Для решения задач из этой практики нужно знать, что такое инъективный модуль несколько фактов:
-\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]
+\begin{fact}[\hypertarget{projinjdef}{Другой критерий проективности и инъективности}]\label{page_projinjdef}
$R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда для любого $Y\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}Z$ отображение \[\begin{tikzcd}\Hom_R(X,Y)\ar[two heads]{r}{\Hom_R(X,\pi)}&\Hom_R(X,Z)\end{tikzcd}\]~-- эпиморфизм. Другими словами, $R$-модуль $X$ проективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный только слева) ковариантный функтор $\Hom_R(X,-)$ точный.
Двойственно, $R$-модуль $X$ инъективный тогда и только тогда, когда (по умолчанию точный слева) контравариантный функтор $\Hom_R(-,X)$ точный.
@@ -603,7 +609,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\begin{Def}
$F$~-- точный справа функтор. Объект $T$ называется {\bfseries $F$-ацикличным}, если $(L_iF)T=0\,\forall i>0$.
\end{Def}
-\begin{lemma}
+\begin{lemma}\label{acyclicres}
$T_*\to X$~-- $F$-ацикличная резольвента (то есть резольвента, где все модули $F$-ацикличные). Тогда $(L_nF)X\cong H_nFT_*$.
\end{lemma}
\begin{proof}
@@ -611,7 +617,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\[
\cdots\to L_1FK_X\to \overset{=\{0\}}{L_1FT_0}\to L_1FX\to FK_X\to FT_0\twoheadrightarrow FX
\]
- $L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X\,i\ge1$.
+ $L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X,\,i\ge1$.
\end{proof}
\begin{Def}\label{def_flatmodule}
$R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $-\otimes_RX$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
@@ -656,13 +662,13 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
Видно, что условие про $u$~-- это (c точностью до знака) условие на мономорфность, а условие на $v$~-- это условие на эпиморфность с точностью до границы.
\end{proof}
\begin{Def}\index{Функтор $\Tor$}\index{$\Tor$}
- Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. Функтор $\Tor$~-- это $\Tor_n^R(A,B)\overset{\text{def}}{=}L_n(-\otimes_R B)(A)$.
+ Пусть $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- левый $R$-модуль. Функтор $\Tor$~-- это $\Tor_n^R(A,B)\defeq L_n(-\otimes_R B)(A)$.
\end{Def}
Для доказательства фактов про $\Tor$ нужно еще несколько определений.
\begin{Def}[тензорное произведение комплексов]\index{Тензорное произведение комплексов}
- $U_*$~-- комплекс $\mathrm{{Mod}\mdash}R$, $V_*$~-- комплекс $R\mathrm{\mdash{Mod}}$. {\bfseries Тензорным произведением комплексов} $U_*\otimes_R V_*$ называется комплекс с \[(U_*\otimes_R V_*)_n\overset{\text{def}}{=}\bigoplus_{i+j=n}(U_i\otimes_RV_j)\]
+ $U_*$~-- комплекс $\mathrm{{Mod}\mdash}R$, $V_*$~-- комплекс $R\mathrm{\mdash{Mod}}$. {\bfseries Тензорным произведением комплексов} $U_*\otimes_R V_*$ называется комплекс с \[(U_*\otimes_R V_*)_n\defeq\bigoplus_{i+j=n}(U_i\otimes_RV_j)\]
Достаточно определить дифференциал на прямом слагаемом: $u\otimes v\in U_i\otimes_RV_j$
- \[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\overset{\text{def}}{=}\underset{\in U_{i-1}}{d^U_{i-1}(u)}\otimes v+(-1)^iu\otimes \underset{\in V_{i-1}}{d^V_{j-1}(v)}\]
+ \[d^{U_*\otimes_RV_*}(u\otimes v)\defeq\underset{\in U_{i-1}}{d^U_{i-1}(u)}\otimes v+(-1)^iu\otimes \underset{\in V_{i-1}}{d^V_{j-1}(v)}\]
\[
\begin{tikzcd}[sep=scriptsize]
\ddots\ar{r}\ar{d}& \vdots\ar{d}\ar{r}& \vdots\ar{d}\ar{r} &\vdots\ar{d}\ar{r} & \adots\ar{d} \\
@@ -706,7 +712,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
База: длина $P_*$~-- $1$. Проективные модули~-- плоские, поэтому сохраняют короткие точные последовательности, поэтому $P_0\otimes X$ ацикличен.
- Длина $P_*$~-- $m+1$. \[P_{m+1}\to \underbrace{P_m\to\cdots\to P_1\to P_0\to 0\to\cdots}_{\overset{\text{def}}{=}\bar{P}}\] можно представить как конус $\Cone(P_{m+1}[m]\overset{d^P_m}{\longrightarrow}\bar{P})$ ($P_{m+1}$ интерпретирован как комплекс $\cdots\to0\to P_{m+1}\to0\to\cdots$ ну как раньше).
+ Длина $P_*$~-- $m+1$. \[P_{m+1}\to \underbrace{P_m\to\cdots\to P_1\to P_0\to 0\to\cdots}_{\defeq\bar{P}}\] можно представить как конус $\Cone(P_{m+1}[m]\overset{d^P_m}{\longrightarrow}\bar{P})$ ($P_{m+1}$ интерпретирован как комплекс $\cdots\to0\to P_{m+1}\to0\to\cdots$ ну как раньше).
Тогда $P_*\otimes_RX=\Cone(P_{m+1}[m]\otimes_RX\to\bar{P}\otimes_RX)$ ациклично: $P_{m+1}[m]\otimes_RX$ так как $P_{m+1}[m]$ длины 1, а $\bar{P}\otimes_RX$ по индукции.
@@ -714,12 +720,14 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\end{proof}
Аналогичным образом доказывается, что $H_n(A\otimes_RQ_*)\cong H_n(P_*\otimes_RQ_*)$, поэтому верно
\begin{corollary*}
- $L_n(-\otimes_RB)(A)\cong L_n(A\otimes_R-)(B)\overset{\text{def}}{=}\Tor_n^R(A,B)$.
+ $L_n(-\otimes_RB)(A)\cong L_n(A\otimes_R-)(B)\defeq\Tor_n^R(A,B)$.
\end{corollary*}
-Можно вычислять $\Tor$, используя плоские резольвенты.
\begin{stmt}\index{Плоский модуль}
Левый модуль плоский тогда и только тогда, когда для любого правого модуля $Y$ он $(Y\otimes_R-)$-ациклический.
\end{stmt}
+\begin{corollary*}
+ Из леммы~\ref{acyclicres} следует, что можно вычислять $\Tor$, используя плоские резольвенты.
+\end{corollary*}
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\section*{Практика 3: гомологические размерности}
@@ -745,9 +753,9 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\fd_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Tor^R_n(X,M)\ne 0\}\text{.}
\end{align*}
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
- Понятно, что $\pd_R(M)\le\sup\{\ldots\}$ (или непонятно\ldots).В другую сторону: заметим, что если есть короткая точная последовательность $K_M\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$ с проективным $P$, то $\pd_R(K_M)=\pd_R(M)-1$. По индукции $\pd_R(K_M)=n$, запишем кусок длинной точной последовательности
+ Понятно, что $\pd_R(M)\le\sup\{\ldots\}$ (или непонятно\ldots). В другую сторону: заметим, что если есть короткая точная последовательность $K_M\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$ с проективным $P$, то $\pd_R(K_M)=\pd_R(M)-1$. По индукции $\pd_R(K_M)=n$, запишем кусок длинной точной последовательности
\[\Ext_R^n(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^n(P,X)}\to\Ext_R^n(K_M,X)\to\Ext_R^{n+1}(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^{n+1}(P,X)}\]
- Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\marginpar{я потом допишу}
+ Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\marginpar{\tinyя потом допишу}
\end{proof}
\item\label{RIid} Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
\item\label{gldim} Докажите, что следующие числа равны:
@@ -799,7 +807,216 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\end{enumerate}
{\bfseries Фильтрованным копределом}\index{Фильтрованный копредел} называется копредел функтора из фильтрованной категории.
\end{Def}
-kerkerkercokerkerkerkercokerker~--\marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
-Леди Гага научилась применять лемму о змее
+\marginpar{Лекция 4\\23 сентября}
+Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из малой (пока что не обязательно фильтрованной) категории. Вспомним, как устроены его копределы.
+Для $a\in A_i$ обозначим $[\cdot]_i\colon A_i\to\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i$ вложение в копроизведение.\marginpar{\tiny ker ker ker coker ker ker ker coker ker~-- Леди Гага научилась применять лемму о змее}
+\[
+\bigoplus_{\phi\colon i\to j}A_i\overset{f}{\to}\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\coker f\text{, где для }\phi\colon i\to j\text{ и }a\in A_i\,f\colon a\mapsto [a]_i-[(A\phi)(a)]_j\text{.}
+\]
+$\coker f$ и будет копределом $A$.
+
+Рассмотрим функторы $A,B,C\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$ и предположим, что для всех $i\in\Ob\mathcal{I}$ последовательность $A_i\overset{\alpha_i}{\hookrightarrow}B_i\overset{\beta_i}{\twoheadrightarrow}C_i$ точна и для всех $\phi\colon i\to j$ в диаграмме
+\[
+\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
+ A_i\ar{d}{A\phi}\ar[hook]{r}{\alpha_i} & B_i\ar{d}{B\phi}\ar[two heads]{r}{\beta_i} & C_i\ar{d}{C\phi} \\
+ A_j\ar[hook]{r}{\alpha_j} & B_j\ar[two heads]{r}{\beta_j} & C_j
+\end{tikzcd}
+\]
+все квадраты коммутируют. Тогда (по построению и лемме о змее) коммутативна следующая диаграмма:
+\begin{equation}\label{colimitdiagram}
+\begin{tikzcd}
+\bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}A_i\ar{d}\ar[hook]{r}{\bigoplus\alpha_i} & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}B_i\ar{d}{}\ar[two heads]{r}{\bigoplus\beta_i} & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}C_i\ar{d}{} \\
+\bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\ar[two heads]{d}{\pi_A}\ar[hook]{r}{\bigoplus\alpha_i} & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}B_i\ar[two heads]{d}{\pi_B}\ar[two heads]{r}{\bigoplus\beta_i} & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}C_j\ar[two heads]{d}{\pi_C}\\
+\colim A\ar{r} &\colim B\ar{r} &\colim C
+\end{tikzcd}
+\end{equation}
+По лемме о змее $\colim B\twoheadrightarrow\colim C$~-- эпиморфизм. $\colim A\to\colim B$ в общем случае может и не быть мономорфизмом, но
+\begin{thm}\label{filteredcolimitisexact_mainthm}
+ Если в условиях диаграммы~\ref{colimitdiagram} $\mathcal{I}$~-- фильтрованная категория, то $\colim A\to\colim B$~-- мономорфизм.
+\end{thm}
+Для доказательства понадобится следующая техническая лемма.
+\begin{lemma}\label{propertiesoffilteredcolimit}
+ Если $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из фильтрованной категории, то
+ \begin{enumerate}
+ \item\label{colimelement} любой элемент из $\colim A$ имеет вид $\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$.
+ \item\label{colimkernel} $\ker(A_i\to\colim A)=\bigcup_{\phi\colon i\to j}\ker(A_i\overset{A\phi}{\to}A_j)$
+ \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof} $ $
+ \begin{enumerate}
+ \item Пусть $x\in\colim A$, тогда (так как $\pi$ сюрьективное) он имеет вид $x=\pi((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}})$, где $(a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}}\in\bigoplus_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i$ и только конечное число $a_i\ne0$.
+
+ Так как $\mathcal{I}$ фильтрованная, существует $j\in\Ob\mathcal{I}$, что для всех $i$, для которых $a_i\ne 0$ существует $\phi_i\colon i\to j$.
+ \begin{align*}\hspace{-8em}
+ \pi((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}})=\underbrace{\pi\left((a_i)_{i\in\Ob\mathcal{I}}-\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)}_{=0\text{ из определения }f}+\pi\left(\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)=\pi\left(\left[\sum_{i\colon a_i\ne 0}(A\phi_i)(a_i)\right]_j\right)
+ \end{align*}
+ \item Отображение $A_i\to\colim A$~-- это в точности $\pi([\cdot]_i)$. Пусть $a\in\ker(A_i\to\colim A)\iff\pi([a]_i)=0$. Это означает, что $\exists\phi_k\colon i_k\to j_k$ и $c_k\in A_{i_k}$, что \[
+ [a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}\right)
+ \]
+ Из фильтрованности $\mathcal{I}$ найдется $j\in\Ob\mathcal{I}$, что $\exists j_k\overset{\psi_k}{\to}j,i\overset{\phi}{\to}j$.
+
+ Можно считать, что $i=j$, потому что
+ \[
+ [(A\phi)(a)]_j=[a]_i-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}\right)-([a]_i-[(A\phi)(a)]_j)
+ \]
+ и для всех $\psi_k\colon j_k\to j$
+ \[
+ [c_k]_{i_k}-[(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}=[c_k]_{i_k}-[(A\psi_k\phi_k)(c_k)]_j-\left([(A\phi_k)(c_k)]_{j_k}-[(A\psi_k)((A\phi_k)(c_k))]_j\right)
+ \]
+ Поэтому можно считать, что \([a]_i=\sum_{k}\left([c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i\right)\) для некоторых $\phi\colon i_k\to i$ и $c_k\in A_{i_k}$.
+
+ Если $i_k=i$, то $[c_k]_{i_k}-[A\phi_k(c_k)]_i=[c_k-A\phi_k(c_k)]_i\in\ker A\gamma$ для некоторого $\gamma\colon i\to i'$: из определения фильтрованной категории
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped]
+ i\ar[shift left=0.25em]{r}{\id}\ar[swap,shift right=0.25em]{r}{\phi_k} & i\ar{r}{\gamma}& i'
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ существует $\gamma\colon i\to i'$, что $\gamma=\gamma\phi_k$.
+ Дальше я потерялся\ldots\qedhere
+ \end{enumerate}
+\end{proof}\pagebreak
+\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{filteredcolimitisexact_mainthm}]
+ \begin{multicols}{2}
+ Обозначим $f\colon\colim A\to\colim B$. Пусть $x\in\colim A\colon f(x)=0$. По пункту~\ref{colimelement} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $x=\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$. Из коммутативности $\pi_B\alpha_i(a)=0\Rightarrow\alpha_i(a)\in\ker(B_i\to\colim B)$. Из пункта~\ref{colimkernel} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $\exists\phi\colon i\to j$, что $(B\phi)\alpha_i(a)=0$. Из определения $\alpha_i$ $(B\phi)\alpha_i(a)=\alpha_j(A\phi)(a)\Rightarrow (A\phi)(a)=0\Rightarrow\pi(a)=0$.\qedhere
+ \columnbreak
+ \vspace*{\fill}
+ \noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
+ & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}A_i\ar{dd}\ar[near start,hook]{rrr}{\bigoplus\alpha_i} & & & \bigoplus\limits_{\phi\colon i\to j}B_i\ar{dd}{} \\
+ a\in A_i\ar[mapsto]{dd}\ar[mapsto]{rrr}\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in}& & &\alpha_i(a)\in B_i\ar[mapsto]{dd}\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in} \\
+ & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}A_i\ar[near start,two heads]{dd}{\pi_A}\ar[near start,hook]{rrr}{\bigoplus\alpha_i} & & & \bigoplus\limits_{i\in\Ob\mathcal{I}}B_i\ar[near start,two heads]{dd}{\pi_B}\\
+ \pi(a)\ar[mapsto]{rrr}\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in}& & &0\ar[dash,labels=description,sloped]{rd}{\in} & \\
+ & \colim A\ar{rrr}{f} & & &\colim B
+ \end{tikzcd}
+ \vspace*{\fill}
+ \end{multicols}
+\end{proof}
+\begin{corollary*}
+ Фильтрованный копредел точный.
+\end{corollary*}
+\begin{thm}\label{derivedfunctorpreservesfcolimits}
+ Пусть $A\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$~-- функтор из фильтрованной категории, а $F$~-- точный справа функтор, коммутирующий с фильтрованным копределом, такой, что любой фильтрованный копредел проективных модулей $F$-ацикличный. Тогда \[(L_nF)(\colim A)\cong\colim(L_nFA)\text{.}\]
+\end{thm}
+\begin{proof}
+ Пусть $i\overset{\phi}{\to}j\overset{\psi}{\to}k$~-- стрелки в $\mathcal{I}$ и $A_i\overset{A\phi}{\to}A_j\overset{A\psi}{\to}A_k$~-- образ в $\mathrm{Mod\mdash}R$. Хотим поднимать $A\phi$, $A\psi$ в морфизм резольвент так, чтобы такая диаграмма%для любого $n$ $P_n^i\overset{(A\phi)^n}{\to}P_n^j\overset{(A\psi)^n}{\to}P_n^k$
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped]
+ \cdots\ar{r} & P_1^i\ar{rr}\ar[swap,labels=description]{d}{(A\phi)^1}\ar[bend left=32,labels=description,near start]{ddr}{(A\psi\phi)^1} & & P_0^i\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_i}\ar[swap,labels=description]{d}{(A\phi)^0}\ar[bend left=32,labels=description,near start]{ddr}{(A\psi\phi)^0} & & A_i\ar[swap,labels=description,near start]{d}{A\phi}\ar[bend left=32,labels=description,near start]{ddr}{A\psi\phi}\\
+ \cdots\ar{r} & P_1^j\ar{rr}\ar[swap,labels=description]{dr}{(A\psi)^1} & & P_0^j\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_j}\ar[swap,labels=description]{dr}{(A\psi)^0} & & A_j\ar[swap,labels=description]{dr}{A\psi}\\
+ & \cdots\ar{r} & P_1^k\ar{rr} & & P_0^k\ar[two heads]{rr}{\varepsilon_k} & & A_k\\
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ была коммутативной\marginpar{\vspace{-5em}\tinyконструкция резольвенты в общем случае не предполагает, что $(A\psi\phi)^i=(A\psi)^i(A\phi)^i$, только их гомотопность, но нам этого недостаточно}. В $\mathrm{Mod\mdash}R$ можно построить хорошие резольвенты: выберем
+ \[P_0^i\defeq\langle A_i\rangle_R\]
+ $\varepsilon_i$ отправляет элемент базиса, соответствующий $a\in A_i$ (обозначим его $[1]_a$) в $a$.
+ \begin{multicols}{2}
+ \noindent\vspace*{\fill}
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=scriptsize]
+ P_1^i=\langle K_0^i\rangle_R\ar[two heads]{rd}\ar{dd}{\exists(A\phi)^1} & & P_0^i\ar{dd}{(A\phi)^0}\ar[two heads]{r}{\varepsilon_i} & A_i\ar{dd}{A\phi} \\
+ & K_0^i\ar[hook]{ur}\ar[dotted,near start]{dd}{\exists!} & & \\
+ P_1^j=\langle K_0^j\rangle_R\ar[two heads]{rd} & & P_0^j\ar[two heads]{r}{\varepsilon_j} & A_j \\
+ & K_0^j\ar[hook]{ur} & &
+ \end{tikzcd}
+ \]
+ \vspace*{\fill}
+
+ \columnbreak
+ Строим $(A\phi)^0\colon P_i^0\to P_j^0$ так: $(A\phi)^0$ отправляет $[1]_a$ в $[1]_{(A\phi)(a)}$. Ну и из конструкции понятно, что $(A\psi\phi)^0=(A\psi)^0(A\phi)^0$.
+
+ Дальше продолжаем как для построения проективной резольвенты (вспомните утв.~\ref{stmt_projresexists}): $K_n^i=\ker(P_n^i\to P_{n-1}^i)$.
+
+ По универсальному свойству ядра существует единственное отображение $(A\phi)^n|_{K_n^i}\colon K_n^i\to K_n^j$. Определим $P_{n+1}^i\defeq\langle K_n^i\rangle_R$ и поднимем $(A\phi)^n|_{K_n^i}$ до $(A\phi)^{n+1}\colon P_{n+1}^i\to P_{n+1}^j$. Понятно, что композиция сохранится.
+ \end{multicols}
+ То есть $P_*$ функториален на резольвентах. Тогда $\colim(P_*)_*$~-- комплекс и из точности фильтрованного копредела $\colim(P_*)_*\overset{\colim\varepsilon}{\longrightarrow}\colim(A)$~-- квазиизоморфизм. Так как копредел проективных модулей $F$-ацикличен,\marginpar{\tiny третье равенство из точности фильтрованного копредела (вспомните \hyperlink{homologyincomplex}{замечательный факт} со стр.~\pageref{page_homologyincomplex}).} \[(L_nF)\colim A=H_nF\colim(P_*)_*=H_n\colim(FP_*)=\colim(H_nFP_*)=\colim((L_nF)A)\text{.}\]
+\end{proof}
+Еще одно полезное свойство тензорного произведения.
+\begin{lemma}
+ Фильтрованный копредел плоских модулей плоский.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+ $X\hookrightarrow Y$~-- мономорфизм, $A\colon\mathcal{I}\to R\mathrm{\mdash Mod}$~ функтор из фильтрованной категории, такой, что ${A_i}_{i\in\Ob\mathcal{I}}$~-- плоские модули.
+ Тогда $X\otimes_R A_i\hookrightarrow Y\otimes_R A_i$~-- мономорфизм $\forall i\in\Ob\mathcal{I}$.
+
+ Так как $\colim$ точен $\colim (X\otimes_R A_i)\hookrightarrow\colim(Y\otimes_R A_i)$~-- мономорфизм. $X\otimes_R\colim(A)\cong\colim(X\otimes_R A_i)$ для любого $X$, поэтому $X\otimes_R\colim(A)\hookrightarrow Y\otimes_R\colim(A)$~-- мономорфизм, поэтому $\colim(A)$ плоский.
+\end{proof}
+\begin{corollary*}\label{torpreservesfilteredcolimits}
+ $\Tor_n^R(\colim A,B)\cong\colim\Tor_n^R(A,B)$.
+\end{corollary*}
+\section{Функтор $\Ext$}
+\subsection{Инъективные модули}
+\begin{Def}\index{Инъективный модуль}
+ Модуль $M$ называется {\bfseries\itshape инъективным}, если
+ \[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
+ & M \\
+ X\ar{ur}{\forall f} \ar[hook]{r}{\forall i} & Y\ar[swap]{u}{\exists g}
+ \end{tikzcd}
+ \]
+\end{Def}
+Вспомните один из критериев инъективности \hyperlink{projinjdef}{c практики} (стр.~\pageref{page_projinjdef}).
+
+Понятно, что если $\{M_i\}_{i\in I}$~-- инъективные модули, то $\prod_{i\in I}M_i$ тоже инъективный:
+\begin{multicols}{2}
+\noindent\vspace*{\fill}
+\[
+ \begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
+ M_i & \prod_{i\in I}M_i\ar{l}{\pi_i} \\
+ X\ar{u}{\pi_if}\ar[near start]{ur}{\forall f} \ar[hook]{r}{\forall i} & Y\ar[swap,near start]{ul}{\exists g_i}\ar[dotted,swap]{u}{\exists!g}
+ \end{tikzcd}
+\]
+\vspace*{\fill}
+
+\columnbreak
+$\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$ из инъективности всех $M_i$ найдется $Y\overset{g_i}{\to}M_i$, что $\pi_if=g_ii$. Из универсального свойства произведения $\exists! Y\overset{g}{\to}\prod_{i\in I}M_i\colon \pi_if=g_ii=\pi_igi$ для всех $f,i$, значит (из единственности $g$) $f=gi$.
+\end{multicols}
+\subsection{Критерий Баера}
+Оказывается, что для того, чтобы модуль был инъективным, достаточно, чтобы его определение выполнялось для идеалов кольца:
+\begin{thm}[\hypertarget{baercriterion}{Критерий Баера}]\index{Критерий Баера}\label{page_baercriterion}
+ $M$ инъективен тогда и только тогда, когда для любого правого идеала $I\subseteq R$ и любого $I\overset{f}{\hookrightarrow}M$ выполнено условие инъективности.
+\end{thm}
+\begin{proof} Часть $\Rightarrow$ совсем понятная~-- это просто частный случай инъективности.
+
+ Доказываем часть $\Leftarrow$. $X\overset{i}{\hookrightarrow} Y$ и $X\overset{f}{\to}M$. Докажем, что найдется нужный $f\colon Y\to M$.
+
+ \begin{multicols}{2}
+ Рассмотрим частично упорядоченное множество подмодулей $(X',f')$, таких, что $X\subseteq X'\subseteq Y$ c $f\colon X'\to M$ таким, что $f'i'=f$ ($i'\colon X\hookrightarrow X'$~-- вложение). $(X',f')\le(X'',f'')$, если $X'\hookrightarrow X''$ и $f''|_{X'}=f'$.
+
+ \columnbreak
+ \noindent\[ %\vspace*{\fill}\[
+ \begin{tikzcd}[cramped]
+ X''\ar{rrd}{f''} & & \\
+ & X'\ar{r}{f'}\ar[hook]{ul} & M \\
+ & X\ar[hook]{u}{i'}\ar[hook]{r}{i}\ar{ur}{f}\ar[hook]{uul}{i''} & Y
+ \end{tikzcd}
+ \]\vspace*{\fill}
+\end{multicols}
+ В нем у любой цепи есть верхняя грань, поэтому оно удовлетворяет условиям леммы Цорна: существует максимальный $X'$.
+
+ От противного докажем, что $X'=Y$. Предположим, что $\exists b\in Y\smallsetminus X'$. Рассмотрим $J=\{r\in R\,|\,br\in X'\}$~-- правый идеал $R$. Определим $J\overset{\phi'}{\to}M\colon r\mapsto f'(br)$. Из условия теоремы существует $\phi\colon R\to M$, что $\phi|_{J}=\phi'$. Но тогда рассмотрим $X''=X'+bR$ и $f''\colon X''\to M$, который определен так: $f''(a+br)=f'(a)+\phi(r)$.
+
+ $f''$ корректно определено: по определению $J$ $X'\cap bR=J$, а $f''$ корректно определено на пересечении. Существование $X'',f''$ противоречит максимальности $X'$.
+\end{proof}
+\begin{Def}
+ Абелева группа $A$ называется {\bfseries\itshape делимой}, если \[\forall a\in A,n\in\Z\smallsetminus\{0\}\exists b\in A\colon nb=a\text{.}\]
+\end{Def}
+\begin{corollary*}[из~\hyperlink{baercriterion}{критерия Баера}]
+ Абелева группа $A$ инъективна тогда и только тогда, когда она делимая.
+\end{corollary*}
+\begin{proof}
+ \begin{multicols}{2}
+ Любой идеал в $\Z$~-- это $\Z$. Отображения $\Z\hookrightarrow\Z$~-- это умножение на $n\in\Z\smallsetminus\{0\}$, поэтому для любой $\Z\to A$ определяется образом единицы $1\mapsto a$.\qedhere
+
+ \columnbreak
+ \noindent\[
+ \begin{tikzcd}[sep=large]
+ & A \\
+ \Z\ar[sloped]{ur}{1\mapsto a}\ar[hook]{r}{\cdot n} & \Z\ar[swap,sloped]{u}{\exists1\mapsto b}
+ \end{tikzcd}
+ \]\vspace*{\fill}
+ \end{multicols}
+\end{proof}
+\section*{Практика 4: гомологические размерности. Продолжение}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 4: гомологические размерности. Продолжение}
+
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
