commit 0e16d165b58ed7f0c3bfb2ad8ba5acf05349deb1
parent e2f55eb39e59c89b1f92ac13302dda49491c67be
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Sun, 17 Oct 2021 03:48:28 +0300
finished lecture 7
Diffstat:
2 files changed, 47 insertions(+), 8 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -6,7 +6,6 @@
% Encoding
\usepackage{fontspec}
\usepackage{polyglossia}
-\usepackage{csquotes}
\setdefaultlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}
@@ -22,7 +21,8 @@
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{comment}
\usepackage{fancyhdr,imakeidx,needspace} % fancy headers, indices
-\usepackage{multicol,enumitem,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better enumerations, better hyperrefs
+\usepackage{multicol,hyperref,cleveref,todonotes} %better columns, better hyperrefs
+\usepackage[inline]{enumitem} % better enumerations
\usepackage[datesep={.}]{datetime2}
\DTMsetdatestyle{ddmmyyyy}
%\renewcommand{\dateseparator}{.}
@@ -1461,19 +1461,58 @@ $G$ действует на $(\Z G)^{\otimes n+1}$ по правилу $(b_1,b_2
$G$~-- конечная группа, $|G|=m$, тогда $m\cdot H^n(G,A)=m\cdot H_n(G,A)=\{0\}$ для любого $G$-модуля $A$ и любого $n\ge1$.
\end{thm}
\begin{proof}
- Рассмотрим $\phi_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}\colon[a_1,\ldots,a_n]\mapsto\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]$. Так как $G$ конечна, все корректно определено. Вычислим $d_n\phi_n+\phi_{n+1}d_{n+1}$:
+ Рассмотрим $\phi_n\colon\Barr_n\to\Barr_{n+1}\colon[a_1,\ldots,a_n]\mapsto\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]$. Так как $G$ конечна, все корректно определено. Вычислим $d_n\phi_n+\phi_{n-1}d_{n-1}$:
\begin{multline*}
$$
- (d_n\phi_n+\phi_{n+1}d_{n+1})([a_1,\ldots,a_n])=d_n\left(\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]\right)+\\
+ (d_n\phi_n+\phi_{n-1}d_{n-1})([a_1,\ldots,a_n])=d_n\left(\sum_{g\in G}[g,a_1,\ldots,a_n]\right)+\\
\phi_{n-1}\left([a_2,\ldots,a_n]+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i[a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_{n}]+(-1)^n[a_1,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)=\\
$$
\end{multline*}
- \begin{comment}
- m[a_1,\ldots,a_n]+\sum_{g\in G}\left(-[ga_1,a_2,\ldots,a_n]+\sum(-1)^i[g,a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_n]+\phantom{\right)}\\\phantom{\left(\sum_{g\in G}}(-1)^{n+1}[g,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)+\\
- \left(\sum_{g\in G}[g,a_2,\ldots,a_n]+\right)
+ \vspace*{-4.5em}\begin{multline*}
+ $$
+ m[a_1,\ldots,a_n]+\\\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}\left(-[ga_1,a_2,\ldots,a_n]\vphantom{\sum_1^n}\right.}+\underline{\color{pigmentblue}\underline{\left.\color{pigmentblue}\sum_{i=2}^{n}(-1)^i[g,a_1,\ldots,a_ia_{i+1},\ldots,a_n]+(-1)^{n+1}[g,\ldots,a_{n-1}]a_n\right)}}+\\
+ \left(\underline{\color{applegreen}\sum_{g\in G}[g,a_2,\ldots,a_n]}+\underline{\color{pigmentblue}\underline{\color{pigmentblue}\sum_{g\in G}\left(\sum_{i=1}^{n-1}\cdots\cdots\cdots\right)}}\right)
$$
\end{multline*}
- \end{comment}
+ Части, подчёркнутые один и два раза в последней строке, отличаются от соответствующих частей в предпоследней строке на знак, поэтому они обнуляются, остается только $m[a_1,\ldots,a_n]$.
+
+ Получается, что умножение на $m$ гомотопно нулевому отображению для всех $n>0$. Поэтому оно отображает гомологии в 0 для всех $n>0$.
\end{proof}
+\subsection{Расширения групп}
+\begin{Def}
+ Расширение группы $G$ с помощью $A$~--- короткая точная последовательность в (в категории групп)\[A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G\text{.}\]
+ Два расширения $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$ и $A\hookrightarrow E'\twoheadrightarrow G$ называются {\bfseries\itshape эквивалентными}, если\marginpar{\tiny всё как раньше} существует $\phi\colon E\to E'$, что все коммутирует. Опять из 5-леммы он будет изоморфизмом.
+\end{Def}
+Мы хотим описывать расширения $G$ c помощью $A$. Пока что рассмотрим случай, когда $A$~-- абелева группа. Тогда она $\Z$-модуль. Если существует расширение $A\hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, то $А$ ещё и $E$-модуль (так как она нормальна в $E$, $E$ действует на $A$ сопряжениями) и действует на себя тривиально (она абелева), так что действие $E/A\cong G$ определено корректно.
+
+Итак, задача разбивается на две: \begin{enumerate*}\item описать все структуры $G$-модуля на $A$;\item описать все расширения\end{enumerate*}. Первым пунктом мы заниматься не будем и везде будем считать, что нам задано действие $G$ на $A$.
+
+Итак, нам даны группы $A,G$ и действие $G$ на $A$ $\cdot\colon A\times G\to A$. Вспомним, что всегда существует тривиальное расширение $A\hookrightarrow A\rtimes G\twoheadrightarrow G$. $A\rtimes G$~-- это группа с множеством элементов $A\times G$ и умножением $(a,g)(b,h)=(a\cdot h+b,gh)$.
+\begin{Def}
+ Расширение $A\overset{\alpha}{\hookrightarrow}E\overset{\beta}{\twoheadrightarrow}G$ называется {\bfseries\itshape расщепляющимся}, если $\exists G\overset{\sigma}{\to}E$~-- гомоморфизм групп, что $\beta\sigma=\id_G$.
+\end{Def}
+\begin{stmt}
+ Расширение расщепляется тогда и только тогда, когда оно изоморфно полупрямому произведению.
+\end{stmt}
+
+Теперь рассматриваем случай, когда гомоморфизма $\sigma$ нет. Тем не менее, всегда существует $\sigma$~-- отображение множеств, что $\beta\sigma=\id_G$ (каждому $g\in G$ сопоставляется какой-то его прообраз). Договоримся выбирать его так, чтобы $\sigma(1_G)=1_E$.
+
+Любой элемент $E$ можно представить в виде $\sigma(g)\alpha(x)$:\[e=\underbrace{\sigma\beta(e)}_{\in\im\sigma}\underbrace{(\sigma\beta(e))^{-1}e}_{\in\im\alpha}\]
+$(\sigma\beta(e))^{-1}e\in\im\alpha$: применим $\beta$, получим $\beta((\sigma\beta(e))^{-1})\beta(e)=(\underbrace{\beta\sigma}_{\id_G}\beta(e))^{-1}\beta(e)=1_G\Rightarrow(\sigma\beta(e))^{-1}e\in\ker\beta=\im\alpha$.
+
+$E\cong G\times A$ как множество. Хотим понять, как устроено умножение. Запишем его просто и используем наше представление элементов $E$:
+\[
+\sigma(g)\alpha(x)\sigma(h)\alpha(y)=\sigma(g)\sigma(h)\underbrace{\overbrace{\sigma(h)^{-1}\alpha(x)}^{=\alpha(x\cdot h)}\sigma(h)\alpha(y)}_{=\alpha(x\cdot h+y)}=\sigma(gh)\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\alpha(x\cdot h+y)
+\]
+$\beta(\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h))=1_G\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)\in\im\alpha\Rightarrow\sigma(gh)^{-1}\sigma(g)\sigma(h)=\alpha(f(g,h))$ для некоторой функции $f\colon G\times G\to A$. Получается, что умножение $*$ на $E$ задается такой формулой:
+\[(g,x)*(h,y)=(gh,f(g,h)+x\cdot h+y)\text{.}\]
+Чтобы это было групповой операцией, нужно проверить ассоциативность: она непонятная только для странной функции $f$, поэтому достаточно проверять ее для элементов вида $(g,0)$.
+\[
+((g,0)*(h,0))*(t,0)=(gh,f(g,h))*(t,0)=(ght,f(g,h)\cdot t+f(gh,t))
+\]
+\[
+(g,0)*((h,0)*(t,0))=(g,0)*(ht,f(h,t))=(ght,f(g,ht)+f(h,t))
+\]
+То есть $*$ определяет группу тогда и только тогда, когда для $f$ выполняется условие \[\forall g,h,t\in G\colon f(h,t)-f(gh,t)+f(g,ht)-f(g,h)t=0\text{.}\] Заметим, что это эквивалентно тому, что отображение $\tilde{f}\colon\Z G\otimes\Z G\to A$ (соответствующее $f$)~-- 2-коцикл!
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
