Lecture notes in homological algebra (in russian). git clone https://tilde.club/~simplicialcomplex/git/homalg_lecnotes.git Log | Files | Refs

commit a432dc8a8ff8d50731cde8af25845cd04703569f
parent 22302e0093a8c3c0eaa04abdff74cbafc8afc1ea
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date:   Thu, 14 Oct 2021 23:31:03 +0300

Diffstat:
Mnotes.pdf | 0
Mnotes.tex | 10+++++-----

2 files changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -1103,12 +1103,12 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$

Пусть $R,S$~-- кольца, $A$~-- правый $R$-модуль, $B$~-- $R$-$S$-бимодуль, $C$~-- правый $S$-модуль. Тогда функтор $-\otimes_RB$ сопряжен слева функтору $\Hom_S(B,-)$, то есть выполняется естественный изоморфизм
$-\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\overset{\overset{\phi}{\longrightarrow}}{\underset{\underset{\psi}{\longleftarrow}}{\cong}}\Hom_R(A\otimes_RB,C) +\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\overset{\overset{\phi}{\longrightarrow}}{\underset{\underset{\psi}{\longleftarrow}}{\cong}}\Hom_S(A\otimes_RB,C)$
\setlength{\columnseprule}{0.4pt}
\begin{multicols}{2}
Отображение $\phi$ устроено так: если $g\colon A\to\Hom_S(B,C)\text{, то}$
-	$\Hom_R(A\otimes_RB,C)\ni\phi_g(a\otimes b)=g(a)(b)$
+	$\Hom_S(A\otimes_RB,C)\ni\phi_g(a\otimes b)=g(a)(b)$

\columnbreak

@@ -1119,8 +1119,8 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Естественность'' означает, что для морфизма левых $R$-модулей $\gamma\colon A\to A'$ коммутативна такая диаграмма
\begin{tikzcd}
-	\Hom_R(A',\Hom_S(B,C))\ar{rrr}{\Hom_R(\gamma,\Hom_S(B,C))}\ar{d}{\phi} &&&\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ar{d}{\phi}\\
-	\Hom_R(A'\otimes_RB,C)\ar{rrr}{\Hom_S(\gamma\otimes\id_B,C)} &&&\Hom_R(A\otimes_RB,C)
+	\Hom_R(A',\Hom_S(B,C))\ar{rrr}{\Hom_R(\gamma,\Hom_S(B,C))}\ar{d}{\psi} &&&\Hom_R(A,\Hom_S(B,C))\ar{d}{\psi}\\
+	\Hom_S(A'\otimes_RB,C)\ar{rrr}{\Hom_S(\gamma\otimes\id_B,C)} &&&\Hom_S(A\otimes_RB,C)
\end{tikzcd}

и аналогичная для $\psi$.
@@ -1128,7 +1128,7 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
Пусть $R$~-- кольцо; тогда на нём задается структура $\Z$-модуля. $\Q$\marginpar{\tinyна лекциях писали про $\Q$, нам нужно про $\Q/\Z$, для него это тоже все это верно}~-- инъективный $\Z$-модуль (делимая абелева группа). Докажем, что $\Hom_\Z(R,\Q)$ тоже инъективный: вспомним, \hyperlink{projinjdef}{факт} (стр.~\pageref{page_projinjdef}) что модуль инъективный, если функтор $\Hom_R(-,\Hom_\Z(R,\Q))$ точный. А он действительно точный из диаграммы~\ref{homtpnaturaladjunction}: пусть $M\hookrightarrow N$~-- мономорфизм, тогда
$\begin{tikzcd} -\Hom_R(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{эпиморфизм из}\\\text{инъективности }\Q}}}\ar{d}{\cong} &&&\Hom_R(\overset{\cong M}{M\otimes_RR},\Q)\ar{d}{\cong}\\ +\Hom_\Z(\overset{\cong N}{N\otimes_RR},\Q)\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{эпиморфизм из}\\\text{инъективности }\Q}}}\ar{d}{\cong} &&&\Hom_\Z(\overset{\cong M}{M\otimes_RR},\Q)\ar{d}{\cong}\\ \Hom_R(N,\Hom_\Z(R,\Q))\ar[two heads]{rrr}{\mathclap{\substack{\text{значит, и тут}\\\text{эпиморфизм}}}} &&&\Hom_R(M,\Hom_\Z(R,\Q)) \end{tikzcd}$