commit d04265ae8d1ae1cb5131fc72d1879b9dad99648c
parent 0bda24a2a56685676011b949566ed5a4dc9bfe46
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Thu, 30 Sep 2021 01:45:18 +0300
added practice problems
Diffstat:
2 files changed, 35 insertions(+), 8 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -60,6 +60,7 @@
\DeclareMathOperator{\gldim}{gldim}
\DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
\DeclareMathOperator*{\colim}{colim}
+\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
@@ -732,7 +733,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\section*{Практика 3: гомологические размерности}
\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 3: гомологические размерности}
-Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективные модули, функтор $\Ext$ и коммутирование левых производных функторов и фильтрованных копределов.
+Для решения задач из этой практики нужно знать про инъективные модули (c.~\pageref{def_injmodule}), функтор $\Ext$ и коммутирование левых производных функторов и фильтрованных копределов (c.~\pageref{derivedfunctorpreservesfcolimits}).
Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
@@ -757,6 +758,8 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\[\Ext_R^n(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^n(P,X)}\to\Ext_R^n(K_M,X)\to\Ext_R^{n+1}(M,X)\to\overset{=0}{\Ext_R^{n+1}(P,X)}\]
Так что $\Ext_R^{n+1}(M,X)\ne0$.\marginpar{\tinyя потом допишу}
\end{proof}
+ \begin{proof}[Альтернативное решение]\let\qed\relax
+ \end{proof}
\item\label{RIid} Докажите, что $\id_R(M)=\sup\{n\,|\,\exists X\text{ такой, что }\Ext_R^n(R/I,M)\ne 0\}$.
\item\label{gldim} Докажите, что следующие числа равны:
\begin{itemize}
@@ -775,7 +778,7 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\item*\label{tordim_fdim} Докажите, что $$\Tordim(R)=\sup\{\fd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
\item\label{gldim_fdim} Докажите, что $$\gldim(R)=\sup\{\pd_R(M)\,|\,M\text{~-- {\itshapeконечно порождённый} левый }R\text{-модуль}\}\text{.}$$
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
- Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конечно порожденных $M$. В другую сторону докажем более сильное неравенство~-- для однопорождённых модулей. Из задач~\ref{RIid} и \ref{gldim}
+ Совсем понятно, что $\pd_R(M)\le\gldim(R)$ для конечно порождённых $M$. В другую сторону докажем более сильное неравенство~-- для однопорождённых модулей. Из задач~\ref{RIid} и \ref{gldim}
\[\gldim(R)=\sup\{\sup\{n\,|\,\exists I\colon\Ext^n_R(R/I,M)\ne0\}\,|\,M\text{~-- левый }R\text{-модуль}\}\]
Переставим $\sup$-ы и по задаче~\ref{pdidfd} получим то, что нужно.
\end{proof}
@@ -816,12 +819,12 @@ $\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
$\coker f$ и будет копределом $A$.
Рассмотрим функторы $A,B,C\colon\mathcal{I}\to\mathrm{Mod\mdash}R$ и предположим, что для всех $i\in\Ob\mathcal{I}$ последовательность $A_i\overset{\alpha_i}{\hookrightarrow}B_i\overset{\beta_i}{\twoheadrightarrow}C_i$ точна и для всех $\phi\colon i\to j$ в диаграмме
-\[
+\begin{equation}\label{elementsinfilteredcolimit_ses}
\begin{tikzcd}[cramped,sep=small]
A_i\ar{d}{A\phi}\ar[hook]{r}{\alpha_i} & B_i\ar{d}{B\phi}\ar[two heads]{r}{\beta_i} & C_i\ar{d}{C\phi} \\
A_j\ar[hook]{r}{\alpha_j} & B_j\ar[two heads]{r}{\beta_j} & C_j
\end{tikzcd}
-\]
+\end{equation}
все квадраты коммутируют. Тогда (по построению и лемме о змее) коммутативна следующая диаграмма:
\begin{equation}\label{colimitdiagram}
\begin{tikzcd}
@@ -877,7 +880,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
\end{proof}\pagebreak
\begin{proof}[Доказательство теоремы~\ref{filteredcolimitisexact_mainthm}]
\begin{multicols}{2}
- Обозначим $f\colon\colim A\to\colim B$. Пусть $x\in\colim A\colon f(x)=0$. По пункту~\ref{colimelement} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $x=\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$. Из коммутативности $\pi_B\alpha_i(a)=0\Rightarrow\alpha_i(a)\in\ker(B_i\to\colim B)$. Из пункта~\ref{colimkernel} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $\exists\phi\colon i\to j$, что $(B\phi)\alpha_i(a)=0$. Из определения $\alpha_i$ $(B\phi)\alpha_i(a)=\alpha_j(A\phi)(a)\Rightarrow (A\phi)(a)=0\Rightarrow\pi(a)=0$.\qedhere
+ Обозначим $f\colon\colim A\to\colim B$. Пусть $x\in\colim A\colon f(x)=0$. По пункту~\ref{colimelement} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $x=\pi(a)$ для некоторого $a\in A_i$ для некоторого $i\in\Ob\mathcal{I}$. Из коммутативности $\pi_B\alpha_i(a)=0\Rightarrow\alpha_i(a)\in\ker(B_i\to\colim B)$. Из пункта~\ref{colimkernel} леммы~\ref{propertiesoffilteredcolimit} $\exists\phi\colon i\to j$, что $(B\phi)\alpha_i(a)=0$. Из определения $\alpha_i$ (вспомните диаграмму~\ref{elementsinfilteredcolimit_ses} со стр.~\pageref{elementsinfilteredcolimit_ses}) $(B\phi)\alpha_i(a)=\alpha_j(A\phi)(a)\Rightarrow (A\phi)(a)=0\Rightarrow\pi(a)=0$.\qedhere
\columnbreak
\vspace*{\fill}
\noindent\begin{tikzcd}[cramped,sep=tiny]
@@ -944,7 +947,7 @@ $\coker f$ и будет копределом $A$.
\end{corollary*}
\section{Функтор $\Ext$}
\subsection{Инъективные модули}
-\begin{Def}\index{Инъективный модуль}
+\begin{Def}\index{Инъективный модуль}\label{def_injmodule}
Модуль $M$ называется {\bfseries\itshape инъективным}, если
\[
\begin{tikzcd}[cramped,sep=large]
@@ -1015,8 +1018,32 @@ $\forall f\colon X\to\prod_{i\in I}M_i$ $\forall X\overset{i}{\hookrightarrow}Y$
\]\vspace*{\fill}
\end{multicols}
\end{proof}
-\section*{Практика 4: гомологические размерности. Продолжение}
-\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 4: гомологические размерности. Продолжение}
+\section*{Практика 4: гомологические размерности, продолжение}
+\addcontentsline{toc}{subsection}{\bfseriesПрактика 4: гомологические размерности, продолжение}
+Во всех задачах $R$~-- кольцо. Все модули левые; если не указано, над какой алгеброй модуль, то он над $R$.
+\begin{enumerate}
+ \item Кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape регулярным по фон Нейману\index{Регулярное по фон Нейману кольцо}}, если для любого $a\in R$ существует $x\in X$ такой, что $axa=a$. Докажите, что $R$ регулярно по фон Нейману, если для любого конечно порождённого левого идеала $I$ модуль $R/I$ проективен.
+ \item Докажите, что $\Tordim(R)=0$ тогда и только тогда, когда $R$ регулярно по фон Нейману.
+ Напомним, что кольцо $R$ называется {\bfseries\itshape полупростым (слева)\index{Полупростое кольцо}}, если для любого левого идеала $I$ кольца $I$ вложение $I\hookrightarrow R$ имеет левый обратный. Известно (теорема Веддербарна-Артина), что кольцо $R$ полупросто тогда и только тогда, когда оно является конечной прямой суммой $\Mat_n(D)$, где $D$~-- тело. Из этого в частности следует, что кольцо полупросто справа тогда и только тогда, когда оно полупросто слева (этим можно пользоваться при решении следующей задачи).
+ \item Докажите, что следующие условия эквивалентны:
+ \begin{itemize}
+ \item $\gldim(R)=0$;
+ \item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово слева;
+ \item кольцо $R$ полупросто;
+ \item $\Tordim(R)=0$ и $R$ нётерово справа;
+ \item $\gldim(R^{\op})=0$.
+ \end{itemize}
+ \item Пусть имеется точная последовательность $0\to T_n\to\cdots\to T_0\to X\to 0$ такая, что $\pd_R(T_i)\le m$ для любого $0\le i\le n$. Докажите, что $\pd_R(X)\le n+m$.
+ \item Пусть $R\to S$~-- гомоморфизм колец, а $X$~-- $S$-модуль. Докажите, что $\pd_R(X)\le\pd_S(X)+\pd_R(S)$.
+ \item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля. Опишите $\Tor_n^R(R/(x),X)$ для всех модулей $X$ и для всех $n\ge0$. Докажите, что если $X$ является проективным $R/(x)$-модулем, то $\pd_R(X)=1$.
+ \item Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль. Докажите, что если $X$ не проективен над $R/(x)$, то $\pd_{R/(x)}(X)=\infty$.
+ \item(Первая проективная теорема о замене кольца\index{Первая проективная теорема о замене кольца}) Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R/(x)$-модуль проективной размерности $m<\infty$. Докажите (индукцией по $m$), что $\pd_R(X)=m+1$.
+ \item(Вторая проективная теорема о замене кольца\index{Вторая проективная теорема о замене кольца}) Пусть $x$~-- центральный элемент кольца $R$, не являющийся делителем нуля, а $X$~-- $R$-модуль такой, что $xy\ne0$ для любого ненулевого $y\in X$. Докажите (индукцией по $\pd_R(X)$, поняв, почему так можно), что $\pd_R(X)\ge\pd_{R/(x)}(X/xX)$.
+ \item Докажите, что для любого модуля $X$ выполнено $\pd_{R[x]}(R[x]\otimes_RX)=\pd_R(X)$.
+ \item Используя первую проективную теорему о замене кольца и предыдущую задачу, докажите, что $\gldim(R[x])\ge\gldim(R)+1$.
+ \item Пусть $X$~-- $R[x]$-модуль. Докажите, что последовательность $0\to R[x]\otimes_RX\overset{\alpha}{\to}R[x]\otimes_RX\overset{\pi}{\to}X\to0$, где $\pi(f\otimes y)=fy$ и $\alpha(f\otimes y)=fx\otimes y-f\otimes xy$, является точной. Выведите отсюда, что $\pd_{R[x]}(X)\le\gldim(R)+1$ и как следствие, что $\gldim(R[x])=\gldim(R)+1$.
+ \item Докажите, что $\gldim(k[x_1,\ldots,x_n])=n$ для любого поля $k$.
+\end{enumerate}
\printindex\thispagestyle{fancyplain}\addcontentsline{toc}{section}{Индекс}
\end{document}
\ No newline at end of file
