commit e4092b77cbe33c2e7aba738bc252b421b7fbad49
parent e0c0a8bc9813b78a7cc6697e3bd2d0e5c6de5dca
Author: simplicialcomplex <simplicialcomplex@tilde.club>
Date: Mon, 20 Sep 2021 15:45:31 +0300
fixed typo about left and right modules
Diffstat:
2 files changed, 11 insertions(+), 8 deletions(-)
diff --git a/notes.pdf b/notes.pdf
Binary files differ.
diff --git a/notes.tex b/notes.tex
@@ -1,7 +1,6 @@
% !TeX encoding = UTF-8
% !TeX spellcheck = ru_RU
% !TeX root = notes.tex
-
\documentclass[utf8,a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage{cmap,fancyhdr}
\usepackage[utf8]{inputenc}
@@ -54,6 +53,10 @@
\DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
\DeclareMathOperator{\Tot}{Tot}
\DeclareMathOperator{\Ob}{Ob}
+\DeclareMathOperator{\pd}{pd}
+\DeclareMathOperator{\fd}{id}
+\DeclareMathOperator{\gldim}{gldim}
+\DeclareMathOperator{\Tordim}{Tordim}
\newcommand\Z{\mathbb{Z}}
\newcommand\Q{\mathbb{Q}}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
@@ -139,14 +142,14 @@
\item $f_n(\im d_n^X)=f_nd_n^X(X_{n+1})=d_n^Yf_{n+1}(X_{n+1})\subseteq\im d_n^Y$
\item стрелка $\ker d_{n-1}^X\to H_nY$~-- композиция. из универсального свойства фактормодуля получается что нужно.\qedhere
\end{enumerate}
- \columnbreak\vspace*{\fill}
+ \columnbreak%\vspace*{\fill}
\noindent\begin{tikzcd}[cramped,column sep=tiny,row sep=small]
X_{n+1}\ar{rrrr}{d^X_n}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n+1}}\ar[two heads]{rd}& & & & X_n\ar[labels=description]{ddd}{f_{n}} \ar{r}{d^X_{n-1}}&X_{n-1}\ar[labels=description]{ddd}{f_{n-1}}\\
& \im d^X_{n}\ar[hook]{r}\ar[]{d}{\text{\tiny(2)}}& \ker d^X_{n-1}\ar[hook]{urr}\ar[]{d}{\text{\tiny(1)}}\ar[two heads]{r}\ar[sloped]{rd}{\text{\tiny(3)}} & H_nX\ar[dotted]{d}\\
& \im d^Y_{n}\ar[hook]{r}& \ker d^Y_{n-1}\ar[hook]{drr}\ar[two heads]{r} & H_nY\\
Y_{n+1}\ar{rrrr}{d^Y_n}\ar[two heads]{ur} & & & & Y_n \ar{r}{d^Y_{n-1}}&Y_{n-1}
\end{tikzcd}
- \vspace*{\fill}
+ %\vspace*{\fill}
\end{multicols}
\end{proof}
Cтрелка по построению получается единственная, так что $H_n(\cdot)$ переводит композицию в композицию. И понятно, что переводит $\id$ в $\id$. Короче, $H_n(\cdot)$~-- функтор.
@@ -301,11 +304,11 @@ Cтрелка по построению получается единствен
\item $\Tor_n^R(X,M)=0$ для любого правого модуля $X$ и любого $n>1$.
\end{itemize}
\begin{proof}[Решение]\let\qed\relax
- Рассмотрим короткую точную последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ и длинную точную последовательность для $\Tor_n^R(X,M)=L_n(M\otimes_R-)(X)$.
+ Рассмотрим короткую точную последовательность $K_X\hookrightarrow P\twoheadrightarrow X$ и длинную точную последовательность для $\Tor_n^R(X,M)=L_n(-\otimes_RM)(X)$.
\begin{align*}\hspace{-8em}
- \cdots\to\Tor_2^R(X,M)\to\Tor_1^R(K_X,M)\to\Tor_1^R(P,M)\to\Tor_1^R(X,M)\to M\otimes_R K_X\to M\otimes_R P\twoheadrightarrow M\otimes_R X
+ \cdots\to\Tor_2^R(X,M)\to\Tor_1^R(K_X,M)\to\Tor_1^R(P,M)\to\Tor_1^R(X,M)\to K_X\otimes_RM\to P\otimes_RM\twoheadrightarrow X\otimes_RM
\end{align*}
- Пусть $M$ точный, тогда $M\otimes_R K_X\hookrightarrow M\otimes_R P$ мономорфизм. Из точности длинной последовательности $\Tor_1^R(X,M)=0$. Если $\Tor_1^R(X,M)=0$, то $M\otimes_R K_X\hookrightarrow M\otimes_R P$ мономорфизм, то есть $M$ плоский.
+ Пусть $M$ точный, тогда $K_X\otimes_RM\hookrightarrow P\otimes_RM$ мономорфизм. Из точности длинной последовательности $\Tor_1^R(X,M)=0$. Если $\Tor_1^R(X,M)=0$, то $K_X\otimes_RM\hookrightarrow P\otimes_RM$ мономорфизм, то есть $M$ плоский.
Заметим, что $\Tor_1^R(K_X,M)=0$. Кроме того, $\Tor_n^R(P,M)=0$ (производный функтор от проективного модуля). Поэтому $\Tor_2^R(X,M)\hookrightarrow\Tor_1^R(K_X,M)=0$ мономорфизм. Поэтому $\Tor_2^R(X,M)=0$. В обратную сторону так же. Дальше аналогично.
\end{proof}
@@ -599,7 +602,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
$L_1FT_0=0$, так что $L_1FX=\ker(FK_X\to FT_0)=H_1FT_*$. Дальше строим для $T_2\to T_1\twoheadrightarrow K_X$ и пользуемся тем, что $(L_{i+1}F)X=(L_iF)K_X\,i\ge1$.
\end{proof}
\begin{Def}
- $R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $X\otimes_R-$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
+ $R$-модуль $X$ называется {\bfseries плоским}, если $-\otimes_RX$ точный (что то же самое, он сохраняет мономорфизмы).
\end{Def}
\begin{Def}
$U_*,V_*$~-- комплексы, $f\colon U_*\to V_*$~-- морфизм комплексов. {\bfseries Конусом $f$} $\Cone(f)$ называется комплекс $U_*[-1]\oplus V_*$ \marginpar{\scriptsize вспомните определение~\ref{shiftedcomplex}} с дифференциалом $\begin{pmatrix}
@@ -695,7 +698,7 @@ $\ker((1)\colon C_i\to\im d_{i-1})=\ker d_{i-1}$. Так как $\im d_i\subsete
\end{corollary*}
Можно вычислять $\Tor$, используя плоские резольвенты.
\begin{stmt}
- Модуль плоский тогда и только тогда, когда $\forall Y$ он $(-\otimes_RY)$-ациклический.
+ Левый модуль плоский тогда и только тогда, когда для любого правого модуля $Y$ он $(Y\otimes_R-)$-ациклический.
\end{stmt}
$\Q$ над $\Z$ плоский, но не проективный.
\section{Практика 3}
